Számítástudomány alapjai

Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

$n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.

Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.

Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.

A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.

Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.

Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.

Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.

Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.

Egy gráf feszítőfája a gráf minden csúcsát tartalmazó fa részgráf.

A minimális feszítőfa egy gráfban a legkisebb élsúlyú feszítőfa.

A Kruskal algoritmus segítségével minimális feszítőfát lehet megtalálni.

Gráfok egy adott pontjából való feltérképezésére alkalmas módszer a szélességi keresés (BFS = Breadth-first search).

A DFS algoritmus lényege, hogy elindulunk egy úton, és megyünk, amíg csak tudunk.

A BFS és DFS algoritmusok végrehajtása során a gráfnak egy-egy feszítőfáját kapjuk. Ezeket nevezzük BFS és DFS fának.

Egy gráf csúcsainak bejárására van egy nagyon speciális módszer, amit Hamilton körnek nevezünk, és az a lényege, hogy egy olyan körön haladunk végig a gráfban, amely a gráf összes pontját tartalmazza.

A Hamilton út egy olyan út, amely a gráf minden csúcsát tartalmazza.

A Dirac-tétel azt mondja ki, hogy ha egy $G$ egyszerű, $n \geq 3$ csúcsú gráfban minden csúcs foka legalább $\frac{n}{2}$, akkor a gráfban van Hamilton kör.

Az Ore-tétel egy feltétel Hamilton kör létezésére.

A $G$ gráf egy $( V(G), E(G) )$ rendezett pár, ahol $V(G)$ egy nem üres halmaz, $E(G)$ pedig a $V(G)$-ből képezhető párok egy halmaza.

Azokat az élsorozatokat, amelyek a gráf semelyik pontján nem haladnak át többször, útnak nevezzük.

Ha egy élsorozat ugyanabból a csúcsból indul, mint ahova érkezik, akkor körsétának nevezzük.

Minden gráfban a csúcsok fokszámainak összege az élek számának a kétszerese.

Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

A nem összefüggő körmentes gráfok neve erdő.

Egy gráf komplementere azt a gráfot jelenti, aminek csúcsai ugyanazok, mint az eredeti gráfnak, és két csúcs pontosan akkor szomszédos benne, ha az eredeti gráfban nem.

Két gráf izomorf, ha van köztük bijekció.

Két gráf akkor topologikusan izomorf, ha topologikusan ekvivalens lépések egymás utáni alkalmazásával el tudjuk érni, hogy a két gráf izomorf legyen.

Egy 5 lépésből álló titkos recept a gráfok izomorfiájának vizsgálatához.

Egy gráf síkbarajzolható, ha lerajzolható úgy, hogy élei csak a csúcspontokban találkozzanak.

A Kuratowski-tétel szerint egy gráf pontosan akkor nem síkbarajzolható, ha tartalmaz $K_{3,3}$-mal vagy $K_5$-tel topológiailag izomorf részgráfot.

Az Euler-féle poliéder-tétel azt mondja, hogy egy konvex poliéder csúcsainak számának és lapjainak számának összege megegyezik az élek száma plusz kettővel.

A síkbarajzolhatóság feltétele, ha egy egyszerű gráfban minden kör legalább k hosszú.

Ha egy gráf síkbarajzolható, akkor az élek számának kisebbnek vagy egyenlőnek kell lennie a csúcsok számának 3-szorosa minusz 6-nál.

A DFS algoritmusnak az a lényege, hogy kiindulunk egy csúcsból, és megyünk ameddig tudunk.

A DFS algoritmus eredményeként kapjuk a DFS-fát.

A BFS-algoritmus lényege, hogy kiindulunk egy csúcsból, aztán megkeressük a közvetlen szomszédjait. Innen folytatódik az algoritmus, és az új csúcsoknak keressük meg a szomszédjait.

A BFS algoritmus eredményeként kapjuk a BFS-fát.

A Dijkstra algoritmus lényege, hogy kiválasztunk egy pontot, és ebből a pontból kiindulva csúcsról csúcsra haladva felderítjük az egész gráfot.

Egy $G$ gráf $k$-szorosan élösszefüggő, ha bárhogyan hagyunk el belőle $k$-nál kevesebb élt, a maradék gráf összefüggő marad.

Egy $G$ gráf $k$-szorosan pontösszefüggő, ha legalább $k+1$ pontja van és bárhogyan hagyunk el belőle $k$-nál kevesebb pontot, a maradék gráf összefüggő marad.

Menger tételei egy G irányított gráfban lévő élidegen és pontidegen utak maximális számáról szólnak.

Mindig létezik egy olyan út, ami csak azokon a pontokon halad át, ahol a tartalékidő nulla, és az út hossza megegyezik a teljes folyamat hosszával. Ezt az utat kritikus útnak nevezzük.

Hall tétele arról szól, hogy egy $G(A,B,E)$ páros gráfban mikor létezik $A$-t fedő párosítás.

Frobenius tétele arról szól, hogy mikor létezik egy gráfban teljes párosítás.

A legkevesebb színt, amivel egy gráf csúcsait kiszinezhetjük úgy, hogy a szomszédos csúcsok ne legyenek egyforma színűek, a gráf kromatikus számának nevezzük.

Egy $G$ egyszerű gráfban klikknek nevezzük azokat a részgráfokat, amelyek teljes gráfok.

Egy gráf klikkszáma a gráfban található maximális klikk elemszáma.

A $G$ gráfban a $G'$ részgráf feszített részgráf, ha bármely két csúcs a $G'$ gráfban pontosan akkor szomszédos, ha $G$-ben is szomszédos.

Ha egy gráf minden feszített részgráfája igaz, hogy azok kromatikus száma egyenlő a klikkszámával, akkor a gráf perfekt.

Egy gráf kromatikus száma a gráf klikkszáma és a gráf maximális fokszáma plusz egy közé esik.

A mohó színezés egy algoritmus a gráfok színezésére.

A Brooks-tétel egy felső becslés a kromatikus számra.

Egy $G$ gráfban azt a legkisebb számot, amire a gráfnak már van jó élszínezése, a $G$ gráf élkromatikus számának nevezzük.

A Vizing-tétel a gráfok élkromatikus számára ad alsó és felső becslést.

Az intervallumgráf egy olyan gráf, melynek csúcsai megfeleltethetőek a valós számok egy-egy intervallumának, és két csúcs között akkor vezet él, ha a nekik megfeleltethető két intervallum metszete nem üres.

Egy gráfot páros gráfnak nevezünk, ha csúcsainak halmaza felbontható két diszjunkt részhalmazra, úgy hogy a két halmazon belül nem vezetnek élek, csak köztük.

A Mycielski-gráfok olyan gráfok, amelyek klikkszáma 2, a kromatikus számuk pedig bármilyen nagy lehet.

A független ponthalmaz precíz definíciójára mindjárt kettő is van.

Egy $G$ gráfban a $T \subset V(G)$ ponthalmaz lefogó ponthalmaz, ha $G$ minden élének legalább az egyik végpontja $T$-ben van.

Ha vesszük egy gráfban a maximális számú független pontokat és a minimális számú lefogó pontokat, akkor épp megkapjuk a gráf összes pontját.

Egy $G$ gráf éleinek $M$ részhalmaza független élhalmaz, ha $M$ semelyik két elemének nincs közös végpontja.

Egy $G$ gráf éleinek $R$ részhalmaza lefogó élhalmaz, ha a gráf minden csúcsa valamelyik $R$-beli él végpontja.

Ha vesszük egy gráfban a minimális számú lefogó éleket, és a maximális számú független éleket, akkor a gráf minden pontjához pontosan egy él fog tartozni.

A lefogó élhalmaz mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a független ponthalmaz. A lefogó ponthalmaz mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a független élhalmaz.

Egy $G$ gráf akkor és csak akkor páros, ha minden $G$-ben szereplő kör páros hosszúságú.

Egy $G$ gráfban az $E(G)$ élhalmaznak egy $M$ részhalmazát párosításnak nevezzük, ha $M$ semelyik két elemének nincs közös végpontja.

Egy élsorozat akkor lesz egy párosítás javító útja, ha a következő 3 feltétel teljesül rá.

Azokat a párosításokat nevezzük teljes párosításoknak, ami a gráf összes csúcsát lefedi.

Egy gráfban akkor és csakis akkor létezik teljes párosítás, ha bárhogyan hagyunk el a gráfból néhány pontot, a megmaradt gráfban a páratlan komponensek száma nem több az elhagyott pontok számánál.

Legyen $X$ egy részhalmaza a gráfnak, ami tartalmazza $S$-t. Ekkor az $X$ és a többi csúcs alkotta részgráf (amik nincsenek benne az $X$-ben) közötti éleket vágásnak nevezzük.

Egy vágás kapacitása a vágásban szereplő élek kapacitásainak összege.

A Ford-Fulkerson algoritmus egy olyan algoritmus, amit a maximális folyam megkeresésére használunk.

Irányított gráfban egy él kapacitása az a nem negatív valós szám, amit hozzá rendelünk az élhez.

A $(G, S, T, c)$ egy hálózat.

A hálózatban folyamnak nevezünk egy olyan függvényt, amely az élekhez rendel hozzá pozitív valós számokat és amire teljesül, hogy az egy csúcsba befolyó mennyiség megegyezik a csúcsból kifolyóval.

A folyam értékén az S-ből kifolyó és S-be befolyó mennyiségek különbségét értjük.

A Ford-Fulkerson tétel azt mondja ki, hogy egy hálózatban a maximális folyam mindig megegyezik a minimális vágással.

A mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.

Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.

Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.

Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

A bázis független generátorrendszer.

Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma

W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.

A legfeljebb n-ed fokú polinomok vektorteret alkotnak az összeadás és a skalárral való szorzás műveletekre.

A generált altér vektorok lineáris kombinációja.

Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.

Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.

Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.

Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.

A szabadságfok a szabadváltozók száma.

A Gauss-Jordan elimináció a Gauss-elimináció pro változata.

Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Egy mátrix sorrangja a sorvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

A mátrix rangja a mátrix Gauss elimináció során keletkezett vezéregyeseinek száma, amely megegyezik a mátrix sorrangjával vagy oszlopvektorával

Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Bármely mátrixot fel lehet bontani két olyan mátrix szorzatára, amelyek közül az egyik teljes oszloprangú, a másik pedig teljes sorrangú.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.

Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.

Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.

Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.

A sajátfelbontás egy olyan, kizárólag diagonalizálható mátrixokkal végezhető felbontás, ami megkönnyíti a hatványozást.

A spektrálfelbontás segítségével könnyebben hatványozhatunk.

Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.

Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.

Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.

Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.

Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..

Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...

A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.

A lineáris leképezés egy test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény.

A képtér egy olyan altér $V_2$-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a $V_1$-beli vektorokból csinál a leképezés.

A magtér egy olyan altér $V_1$-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.

A képtér és a magtér dimenzióinak összege éppen $V_1$ dimenziója.

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal.

Egy leképezésnek akkor létezik inverze, ha a leképezés mátrixának létezik inverze.

Két leképezés kompozíciója a mátrixaik szorzata.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.

A lineáris leképezések másnéven homomorfizmusok. Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak, ezt a vektorteret $Hom(V_1, V_2)$-nek nevezzük.

Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik egy C mátrix, amivel ha jobbról szorozzuk a B-t, balról pedig a C inverzével szorozzuk, akkor ennek eredménye A.

Két számok legnagyobb közös osztója az a szám, amelyik mindkét számot osztja és ezek közül a legnagyobb.

Két szám relatív prímek, ha a legnagyobb közös osztójuk 1.

Néhány izgalmas oszthatósági szabály.

A nullától és az egységszorzóktól különböző összes $n$ egész szám felbontható prímek szorzatára a sorrendtől és az egységszeresektől eltekintve egyértelműen.

Egy $p$ szám akkor prím, ha $p$ oszt egy szorzatot, akkor csak az egyik szorzótényezőnek lehet osztója.

Egy $q$ szám felbonthatatlan, ha nem létezik olyan egységtől különböző $a$ és $b$ szám, hogy $q=ab$

Az euklideszi algoritmus egy formányos módszer két szám legnagyobb közös osztójának kiszámolására.

A Diofantoszi egyenletek olyan egész együtthatós kétismeretlenes egyenletek, amelyek megoldásait az egész számok halmazán keressük.

Ha $a$ és $b$ ugyanazt a maradékot adja $m$-mel osztva, akkor azt mondjuk, hogy $a$ és $b$ kongruensek modulo $m$.

A kongruencia reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Két szám akkor kongruensek mod m, ha m osztja a két szám különbségét.

Kongruenciák szorzása és osztása egy egész számmal.

Egy adott $m$ modulus esetén az $a$-val kongruens elemek halmazát az $a$ által reprezentált maradékosztálynak nevezzük.

Egy mod $m$ modulus esetén az $m$-hez relatív prím elemekből álló maradékosztályokat redukált maradékosztálynak nevezzük.

Az euler féle $ \varphi$ függvény azt adja meg, hogy hány $m$-nél nem nagyobb, $m$-hez relatív prím pozitív szám létezik.

A kis Fermat-tétel általánosítása.

A kis Fermat-tétel szerint ha veszünk egy $a$ egész számot és azt $p$-edik hatványra emeljük, ahol $p$ prímszám, akkor ez a hatvány $p$-vel osztva $a$ maradékot ad.

A lineáris kongruenciák olyan kongruenciák, amikben x is szerepel.

Lineáris kongruenciák megoldásának lépései.

Az RSA lényege, hogy a titkosítás kulcsa nyilvános, vagyis azt bárki ismerheti. Csak a dekódolás kulcsa az, ami titkos.