GTK Kalkulus 1 epizód tartalma:

Itt szuper-érthetően elmeséljük, hogyan kell racionális törtfüggvényeket integrálni parciális törtekre bontással. Vicces lesz: Racionális törtfüggvények integrálása, Parciális törtek, Parciális törtekre bontás, Elemi törtek, Primitív függvény keresés, f'/f típusú integrál, Arkusztangensre vezető integrál, Határozatlan együtthatók módszere, A határozatlan együtthatók kiszámolása.

A képsor tartalma

RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA

A racionális törtfüggvények integrálása roppant szórakoztató dolog.

A történet azzal fog kezdődni, hogy kifejlesztjük magunkban az úgynevezett elemi törtek integrálásának képességét.

Kétféle elemi tört létezik:

I. II.

Az első típusú elemi tört nevezője elsőfokú, számlálója pedig egy konstans.

A második típusú elemi tört nevezője másodfokú, ami nem alakítható elsőfokú tényezők szorzatára, a számlálója pedig elsőfokú.

Lássuk, hogyan kell integrálni az elemi törteket.

Aztán an egy ilyen, hogy

A számlálót egy kicsit átalakítjuk, hogy megjelenjen benne a nevező deriváltja.

Ez még ide kéne, ezért hozzá is adjuk meg le is vonjuk.

És íme, megjelent a nevező deriváltja a számlálóban.

Valami konstans tag társaságában.

Most pedig felbontjuk a törtet két tört összegére:

Ez első integrálás kész is:

A másodikkal még szenvedünk egy kicsit.

A nevezőben teljes négyzetet alakítunk ki.

Itt a nevezőben megjelenik a teljes négyzet. A mögötte létrejövő tagot az egyszerűség kedvéért elnevezzük D-nek.

Őket itt elnevezzük D-nek és aztán hopp:

Most pedig oldjunk meg egy feladatot.

Bármilyen racionális törtfüggvényt nagyon egyszerűen tudunk integrálni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy fölbontjuk elemi törtekre és az elemi törteket az előbbi módszereinkkel integráljuk.

Éppen itt is van egy feladat:

Elsőként ellenőrizzük, hogy a számláló foka kisebb-e mint a nevezőé. Ha ugyanis ez nem teljesül, akkor polinomosztásra van szükség.

A polinomosztás egy marhajó dolog, majd később megnézzük, most azonban szerencsére nincs rá szükség.

A számláló ugyanis másodfokú, a nevező meg harmadfokú.

Megkezdjük az elemi törtekre bontást. Ehhez a nevezőt elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontanunk.

x-et ki tudunk emelni, ez pedig már nem bontható tovább, mert negatív a diszkriminánsa.

Kész van tehát a szorzattá alakítás.

Ezek lesznek a parciális törtek nevezői.

Most ki kell találnunk a számlálókat. Egyelőre nem a konkrét számlálókat, hanem a paraméteres alakjukat. Lássuk mit is jelent ez.

Feltett szándékunk az elemi törtekre való bontás. Elemi törtből márpedig kétféle van.

Az I. típusú elemi tört olyan, hogy nevezője elsőfokú.

A II. típusú elemi tört olyan, hogy a nevezője másodfokú, és nem bontható szorzattá.

A felbontás során mindig a nevezőkből indulunk ki. Az első tört nevezője szemmel láthatóan elsőfokú, így ez minden bizonnyal csak egy I. típusú elemi tört lehet. A számláló tehát valami A.

A második tört nevezője viszont egy másodfokú kifejezés, így hát ez a tört szükségképpen II. típusú, ekként számlálója AX+B alakú.

Nos A már foglalt, tehát mondjuk Bx+C lesz a számláló.

Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi vajon A, B és C.

Ehhez őket kell egy kicsit nézegetnünk.

Beszorzunk a nevezőkkel,

és felbontjuk a zárójeleket

Aztán pedig megnézzük, hogy jobb oldalon hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.

Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.

Megoldjuk az egyenletrendszert.

Az első tört kész is, a második egy kicsit tovább fog tartani.

Először kialakítjuk a nevező deriváltját, majd

Racionális törtfüggvényeket tehát úgy integrálunk, hogy először parciális törtekre bontjuk, majd ezeket a parciális törteket integráljuk. Maga a parciális törtekre bontás nem nehéz és a parciális törtek integrálása sem igényel különösebb szaktudást. Ez remek.

 

Racionális törtfüggvények integrálása

14
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Itt szuper-érthetően elmeséljük, hogyan kell racionális törtfüggvényeket integrálni parciális törtekre bontással. Vicces lesz: Racionális törtfüggvények integrálása, Parciális törtek, Parciális törtekre bontás, Elemi törtek, Primitív függvény keresés, f'/f típusú integrál, Arkusztangensre vezető integrál, Határozatlan együtthatók módszere, A határozatlan együtthatók kiszámolása.

Itt jön egy fantasztikus
GTK Kalkulus 1 epizód.
Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!