Nevezetes folytonos és diszkrét eloszlások

Itt az idő, hogy megnézzük hogyan működik a három legfontosabb diszkrét eloszlás, a hipergeometriai, a binomiális és a Poisson eloszlás.

Nézzünk mindegyikhez egy kis mesét.

Ez tulajdonképpen az a történet, hogy egy dobozban van 30 golyó, amiből 12 piros.

Kiveszünk 7 darabot és mi a valószínűsége, hogy 2 piros?

Itt már más a helyzet, ugyanis nem pontosan 12, hanem átlag 12 balesetes nap van.

Ez Poisson pedig még izgalmasabb lesz. A kérdés mindhárom mesében ugyanaz, hogy mekkora a P(X=2) valószínűség. A válasz viszont már mindegyik mesében más lesz. Az első két mesében X a balesetes napok száma, a harmadikban pedig a balesetek száma.

Ebben a két történetben az a közös, hogy egyikben sem tudjuk, hány baleset történik a 30 nap alatt pontosan, csak azt tudjuk, hogy várhatóan mennyi. Amiben viszont eltérnek egymástól, hogy az egyikben X a balesetes napok száma, a másikban viszont a balesetek száma. Ez egy döntő különbség.

ISMERT,HOGY MENNYI AZ ÖSSZES ELEM ÉS AZ ÖSSZES SELEJT: HIPERGEOMETRIAI

ELOSZLÁS

CSAK VALAMI %-OS IZÉ ISMERT,

A VÁRHATÓ, AZ ÁTLAG, AZ ARÁNY, A VALÓSZÍNŰSÉG: BINOMIÁLIS

ELOSZLÁS vagy POISSON

ELOSZLÁS

Ez a bizonyos λ tehát a Poisson eloszlás várható értéke.

A várható értéket megnézhetjük a másik két eloszlásnál is. Ott erre külön képletek vannak.

Nézzük meg a szórásokat is. Erre mindegyik eloszlásnál külön képlet van forgalomban.

Most pedig lássuk a valószínűségeket.

Az X valószínűségi változó n és p paraméterű binomiális eloszlást követ – vagy rövidebben binomiális eloszlású – pontosan akkor, ha

[\bold P (X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0, 1, 2, ... , n \quad ,]

ahol 0 < p < 1. Azt, hogy az X valószínűségi változó n és p paraméterű binomiális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni: X ∼ B(n,p). Speciálisan, ha X ∼ B(1,p), akkor X-et Bernoulli-eloszlásúnak nevezzük.

A valószínűségszámításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, a binomiális eloszlás határeloszlása. Kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát

Az X valószínűségi változó λ paraméterű Poisson-eloszlást követ – vagy rövidebben: Poisson-eloszlású – pontosan akkor, ha

[\bold P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0, 1, 2, ... \quad]

ahol λ > 0 konstans. 

A binomiális eloszlás

Egy dobókockával négyszer egymás után dobunk. Mi a valószínűsége, hogy mind a négy dobás egyes? Annak a valószínűsége, hogy egy dobás egyes világos, hogy 1/6. Ha tehát mind a négy dobás egyes, akkor ennek valószínűsége:

Mekkora annak a valószínűsége, hogy a négy dobásból csak két dobás egyes? Ekkor az egyes dobás valószínűsége még mindig 1/6, míg annak a valószínűsége, hogy a dobás nem egyes 5/6. A kapott eredmény tehát

ez az eredmény azonban hibás! Azért hibás, mert ugyan négy darab 1-est csak egyféleképpen tudunk dobni – történetesen, hogy mindegyik dobás 1-es – ám két 1-est és két nem 1-est jóval többféleképpen. A négy hely közül azt a kettőt, ahol az 1-es lesz hatféleképpen lehet kiválasztani, a helyes megoldás tehát

Ez a sajnálatos körülmény azonban jelentős fennakadásokat okozhat a feladatok megoldásánál. Az emberek legnagyobb része ugyanis hajlamos elfelejteni ezt a kis kellemetlenséget, hogy kell az a bizonyos 6-os szorzó, vagy ha épp emlékszik is rá, hogy kell oda még valami, miért pont 6-os. Hogy mindezen szörnyűségeket elkerüljük, megalkotunk egy képletet direkt az ilyen esetekre. A képlet a következő:

Egy esemény bekövetkezésére van n darab független lehetőség. Az esemény minden egyes alkalommal vagy bekövetkezik vagy nem. A bekövetkezés valószínűsége minden egyes alkalommal p. Annak valószínűsége, hogy az n darab lehetőség közül éppen x-szer következik be:

Nézzünk néhány feladatot.

Egy nap 0,2 valószínűséggel esik az eső.  Mi a valószínűsége, hogy egy hét alatt három nap esik?

Azonosítsuk be, hogy ki kicsoda. Egy héten maximum hét nap lehet, így a lehetőségek száma hét: n=7 Az esős napok száma három, vagyis x=3, annak a valószínűsége pedig, hogy egy nap esik, p=0,2. Ekkor:

Egy üzletben 100 vásárlóból átlag 7-en reklamálnak. Mi a valószínűsége, hogy ha 10-en állnak sorba, akkor 2-en fognak reklamálni?

a)Mi a valószínűsége, hogy a 10 emberből legfeljebb ketten reklamálnak?

b)Mi a valószínűsége, hogy a 10 emberből legalább ketten reklamálnak?

Ha 10-en állnak sorba, akkor a reklamálók száma maximum 10, ezek szerint n=10. A képletben p mindig 1 db bekövetkezés valószínűsége. Most tehát p annak a valószínűsége, hogy 1 db ember reklamál. Ha 100 vásárlóból 7-en reklamálnak, akkor a vásárlók 7%-a reklamál, vagyis p=0,7. Annak valószínűsége, hogy éppen ketten reklamálnak:

a) annak valószínűsége, hogy legfeljebb ketten reklamálnak

ezeket egyesével mind kiszámoljuk.

b) Most számoljuk ki annak valószínűségét, hogy a 10 emberből legalább ketten reklamálnak. Ekkor nem lenne célravezető, hogy

ez ugyanis kicsit sok számolással jár. Helyette a komplementer eseményt fogjuk számolni. Történetesen azt, hogy kettőnél kevesebb ember reklamál, ami azt jelenti, hogy vagy nulla, vagy egy ember reklamál.

ez jóval kellemesebb.

100 emberből átlag 80-nak van bankkártyája. Egy bevásárlóközpontban egy adott időpontban 1000 ember vásárol. Várhatóan hány rendelkezik bankkártyával? Ha 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7 embernek lesz bankkártyája? Mi a valószínűsége, hogy van olyan ember, akinek van bankkártyája?

A 10 sorba álló mindegyike rendelkezhet bankkártyával, az összes lehetőség száma így n=10. annak valószínűsége, hogy valakinek van bankkártyája 0,8 hiszen 100 emberből átlag 80-nak van, ami 80%-ot jelent. Annak valószínűsége, hogy a sorba állók közül 7-nek van:

Az, hogy van olyan ember akinek van bankkártyája, azt jelenti, hogy legalább egy embernek van, vagyis

Ezt kiszámolhatjuk úgy, hogy

ám ez roppant időigényes lenne, ezért helyette

Módszert alkalmazzuk. Ekkor

Az USA déli államainak kőolaj ellátásához a Mexikói-öbölbe telepített 30 olajfúró toronyból legalább 27-nek kell zavartalanul működnie. A működésben kisebb zavar 0,02 valószínűséggel fordul elő. Mi a valószínűsége, hogy egy nap zavartalan lesz az ellátás?

Az ellátás akkor zavartalan, ha legalább 27 olajfúró torony működik. Ennek valószínűségét kell kiszámolnunk. Itt n=30, p=0,98, tehát:

Az előző képsorban megkezdtük a barátkozást a három legfontosabb diszkrét eloszlással, most pedig nézzünk néhány feladatot.

Egy bankba óránként átlag 24 ügyfél érkezik.

a)Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt éppen 2-en érkeznek?

b)Mi a valószínűsége, hogy 7 perc alatt legfeljebb 2-en érkeznek?

c)Mi a valószínűsége, hogy 5 perc alatt legalább 2-en érkeznek?

Óránként átlag 24 ügyfél érkezik, de ez csak egy átlag. Vagyis megeshet, hogy egyik órában nem jön senki, a másikban pedig 50-en. Az ügyfelek száma tehát nem korlátos, akármennyi lehet. Na azért nem valószínű, hogy a következő 7 percben 7 milliárd ügyfél érkezik, de ki tudja. Ha még emlékszünk a balesetes példára, balesetes nap biztosan csak 7 darab lehet egy héten, de baleset lehet akár 7 milliárd is. Az ügyfelek száma a bankban tehát nem a balesetes nap, hanem a baleset.

Ez tehát egy POISSON ELOSZLÁS így szükségünk van a várható értékre.

Ha óránként 24 ügyfél érkezik, akkor percenként 24/60=0,4 és 7 perc alatt 7-szer annyi: 2,8.

Öt perc alatt várhatóan nem ugyanannyi ügyfél érkezik, mint 7 perc alatt, ezért a várható értéket itt más lesz.

Ha óránként 24 ügyfél érkezik, akkor percenként 24/60=0,4 és 5 perc alatt 5-ször annyi, vagyis éppen 2.

azt jelenti, hogy

Ami egy kicsit sok, ezért inkább a komplementerrel számoljunk.

Egy bizonyos évszakban minden nap 0,2 valószínűséggel esik eső. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?

X=esős napok száma

Ez biztosan korlátos, mert egy héten maximum 7 esős nap lehet.

Egy autópályán 100 autóból átlag 12-nél találnak valamilyen szabálytalanságot. 10 autót véletlenszerűen megállítva mi a valószínűsége, hogy

a) pontosan két autónál lesz valamilyen szabálytalanság?

b) legfeljebb két autónál lesz szabálytalanság?

c) legalább két autónál lesz szabálytalanság?

d) két egymást követő autó szabálytalan?

X=szabálytalan autó

10 autót állítanak meg, ezért meglepő lenne, ha mondjuk 13 lenne szabálytalan.

A szabálytalan autók száma tehát korlátos, maximum 10 lehet.

p=annak valószínűsége, hogy egy autó szabálytalan.

Ha 100 autóból 12 szabálytalan, akkor az autók 12%-a szabálytalan, így

Ez így kicsit sok lesz, úgyhogy inkább a komplementerrel számolunk.

Egy autó p=0,12 valószínűséggel szabálytalan. És a másik is.

A közúti ellenőrzés során óránként átlag 8 autónál találnak valamilyen szabálytalanságot. Mi a valószínűsége, hogy

a) negyed óra alatt háromnál?

b) fél óra alatt legfeljebb kettőnél?

X=szabálytalan autó

X itt is a szabálytalan autók száma, ahogyan az előbb.

De az előbb az volt, hogy a 10 megállított autóból hány szabálytalan, most meg, hogy negyed óra alatt hány szabálytalan.

10 autóból legrosszabb esetben is csak 10 lehet szabálytalan, de negyed óra alatt bármennyi.

Most tehát X nem korlátos, így POISSON ELOSZLÁS.

Ha óránként 8 autó szabálytalan, akkor negyed óra alatt a negyede: 8/4=2

Fél óra alatt kétszer annyi szabálytalan autó várható.

Végül itt jön egy olyan eset, amiben mindhárom eloszlás felbukkan majd.

Ehhez csinálnunk kell egy kis helyet.

Egy szövet anyagában átlag 10 méterenként van apró hiba.

a) Mi a valószínűsége, hogy egy 6 méteres darab hibátlan?

b) Mi a valószínűsége, hogy ha 30 méternyi szövetet 6 méteres darabokra vágnak, 

    akkor pontosan két hibás darab lesz?

c) Egy 120m-es szövetet 6 méteres darabokra vágtak föl és így 9 hibás darab keletkezett. Ha 5 darabot kiválasztunk, mi a valószínűsége, hogy 2 hibás?

X=hibák száma

Ha azt szeretnénk, hogy hibátlan legyen, akkor a hibák száma alighanem nulla.

Átlag 10 méterenként van 1 hiba.

De ez nem azt jelenti, hogy a szövetet úgy gyártják, hogy na megint lement a 10 méter, akkor tegyünk be egy hibát.

A hibák tehát teljesen kiszámíthatatlan módon helyezkednek el, így 10 méteren előfordulhat akár 2 hiba is, sőt 13, sőt bármennyi.

Ez tehát egy POISSON ELOSZLÁS és ha 10 méteren van átlag 1 hiba, akkor 6 méteren 0,6:

Y=hibás darabok száma

Hiba lehet bármennyi, de hibás darab maximum 5, tehát Y korlátos.

Itt p annak a valószínűsége, hogy egy darab hibás.

Lássuk csak, mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy egy darab hibás.

Az előző kérdés az volt, hogy egy darab milyen valószínűséggel hibátlan.

Nos akkor hibás:

Ha 120 méternyi szövetet 6 méteres részekre vágnak, akkor 20 darab keletkezik.

Úgy hozta a sors, hogy ezek közül 9 hibás.

Kiválasztunk 5 darabot.

Z=hibás darabok száma

Folytonos valószínűségi változók többnyire időt, távolságot, meg olyanokat mérnek, hogy hány kiló, hány liter, stb. Természetükből adódóan itt nincs értelme olyat kérdezni, hogy mekkora a  valószínűség, mert minden ilyen valószínűség nulla. Ez könnyen igazolható, ha mondjuk ellátogatunk egy olyan kocsmába, ahol sört csapolnak. Vagy több sört fogunk kapni, vagy általában inkább kevesebbet, de, hogy pont annyit nem, amennyi elő van írva, az biztos. Nos nem ez a legegzaktabb magyarázat erre a jelenségre, de jegyezzük meg, hogy folytonos valószínűségi változók esetén csak intervallumokat van értelme kérdezni, hogy  vagy  vagy

A valószínűségeket az eloszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény segítségével tudjuk kiszámolni, és többnyire mi döntjük el, hogy melyiket használjuk. Azok, akik leküzdhetetlen vágyat éreznek az integrálás iránt, nos ők használják bátran a sűrűségfüggvényt, de szenvedéseink mértéke kisebb, ha az eloszlásfüggvényt használjuk.

1. lépés, hogy a valószínűséget átalakítjuk eloszlásfüggvényre, a 2. lépés pedig az, hogy megkeressük a konkrét eloszlásfüggvényt. EGYENLETES ELOSZLÁS

Valaki egy telefonhívást vár, ami 2 és 7 óra között érkezik, minden időpontban ugyanakkora valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy 4ig hívják?

X=hány óra van

Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye

       most a=10 és b=15             

Az, hogy délig hívják:

EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS

Egy bankba általában 12 ügyfél érkezik óránként. Mekkora valószínűséggel telik el 10 perc úgy, hogy nem jön senki?

X=eltelt idő, perc                              

                                           0                            10                                                perc

Ha 10 percig nem jön senki, akkor a két ügyfél között eltelt idő 10 percnél több.

, tehát a

valószínűséget szeretnénk kiszámolni.

Várhatóan 12 ügyfél érkezik óránként, ezért az ügyfelek közt eltelt idő 60/12=5 perc,

vagyis a várható érték

perc és így

Az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye

     most                

Az, hogy 10 percig nem jön senki:

NORMÁLIS ELOSZLÁS

Egy bankban az ügyfelek napi száma normális eloszlású, 560 fő várható értékkel és 40 fő szórással.

Ez azt jelenti, hogy az esetek nagy részében az ügyfelek száma napi 560 fő körül van, de előfordulhat, hogy azért több, vagy pedig, hogy kevesebb.

Az viszont már ritka, hogy sokkal több vagy sokkal kevesebb.

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye

Ez egy nagyon remek függvény, csak sajnos van vele egy kis gond.

Nem tudjuk integrálni. Úgy értem nem ma, hanem egyáltalán.

Nem baj, mert a valószínűségeket eddig sem a sűrűségfüggvénnyel, hanem az eloszlásfüggvénnyel számoltuk ki.

Csak sajnos van egy kis gond. Eloszlásfüggvény ugyanis nincs.

Ezt a kis kellemetlenséget úgy tudjuk kiiktatni, hogy bevezetünk egy speciális normális eloszlást, aminek a várható értéke nulla, a szórása pedig egy.

Ezt standard normális eloszlásnak nevezzük.

A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye

eloszlásfüggvénye pedig egy táblázat formájában létező függvény, aminek jele .

Lássuk a táblázatot.

Nos mindjárt két táblázat is van. De aggodalomra semmi ok, a két táblázat lényegében ugyanaz, mindjárt meglátjuk.

A standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye az úgynevezett Gauss-görbe.

Az első táblázat az eloszlásfüggvény értékeit tartalmazza, vagyis azt, hogy mekkora a görbe alatti terület mínusz végtelentől z-ig.

Ha z=0 akkor ez pont a fele a teljes területnek.

Mivel a sűrűségfüggvények görbe alatti területe 1, ezért a fele 0.5

Ha z egy picit nagyobb, mint 0,

akkor a terület is egy picit nagyobb.

Itt jön aztán a másik táblázat, ami csak abban különbözik az előzőtől, hogy a területek 0-tól kezdődnek.

A területek így éppen 0.5-el kisebbek, mint a másikban.

Teljesen mindegy, hogy egy feladat megoldásánál melyik táblázatot használjuk, de ha választani lehet, inkább az elsőt érdemes.

Végül van itt még egy dolog.

  tehát a rajzon ez a terület.

pedig ez a terület.

Ha megfigyeljük, ezek éppen a teljes területté egészítik ki egymást.

.

Hát ez remek, és akkor most folytassuk a feladat megoldását.

 Most egy olyan normális eloszlásunk van, ahol a várható érték 560 a szórás pedig 40.

Annak valószínűsége, hogy egy adott napon az ügyfelek száma 616-nál kevesebb:

Ha az első táblázatot használjuk, akkor éppen a keresett valószínűséget kapjuk.

Ha a másodikat, akkor még 0.5-öt hozzá kell adni.

Nézzünk meg még egy ilyet.

Mekkora  valószínűséggel lesz az ügyfelek száma 480-nál kevesebb?

A folytonos valószínűségi változók többnyire időt, távolságot, meg olyanokat mérnek, hogy hány kiló, hány liter, stb.

Természetükből adódóan itt nincs értelme olyat kérdezni, hogy mekkora a P(X=a) valószínűség, mert minden ilyen valószínűség nulla.

Ez könnyen igazolható, ha mondjuk ellátogatunk egy olyan kocsmába, ahol sört csapolnak. Vagy több sört fogunk kapni, vagy általában inkább kevesebbet, de, hogy pont annyit nem, amennyi elő van írva, az biztos. Nos nem ez a legegzaktabb magyarázat erre a jelenségre, de jegyezzük meg, hogy folytonos valószínűségi változók esetén csak intervallumokat van értelme kérdezni, hogy P(X<a) vagy P(X>a) vagy P(a<X<b)

A valószínűségeket az eloszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény segítségével tudjuk kiszámolni, és többnyire mi döntjük el, hogy melyiket használjuk. Azok, akik leküzdhetetlen vágyat éreznek az integrálás iránt, nos ők használják bátran a sűrűségfüggvényt, de szenvedéseink mértéke kisebb, ha az eloszlásfüggvényt használjuk.

1. lépés, hogy a valószínűséget átalakítjuk eloszlásfüggvényre, a 2. lépés pedig az, hogy megkeressük a konkrét eloszlásfüggvényt.

A POISSON ELOSZLÁS ÉS AZ EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS KAPCSOLATA

Egy benzinkúthoz óránként átlag 12 autó érkezik.

1. Mekkora a valószínűsége, hogy 10 perc alatt három autó érkezik?

2. Mekkora a valószínűsége, hogy két autó érkezése közt legalább 10 perc telik el?

Az első kérdés az autók számáról, míg a második az érkezésük közt eltelt időről szól.

Az autók száma diszkrét eloszlás, és mivel érkezhet bármennyi, ezért Poisson, az eltelt idő folytonos eloszlás és történetesen exponenciális.

1. X=autók száma 10 perc alatt, darab, POISSON

A várható érték óránként 12 autó, tehát 1 perc alatt 12/60=0,2 és 10 perc alatt  darab

2. Y=autók közt eltelt idő, perc, EXPONENCIÁLIS

A várható érték óránként 12 autó, tehát az átlagosan eltelt idő 60/12=5 perc  perc

 Mindkét eloszlás ugyanazt a történetet írja le, csak az egyik a bekövetkezések számát vizsgálja, a másik pedig a köztük eltelt időt.

Így hát ennek a bizonyos -nak mindkét helyen történő rejtélyes felbukkanása sem pusztán a véletlen műve. A két  valójában ugyanaz.

Ehhez azt kell megértenünk, hogy Poisson-eloszlás várható értéke függ a vizsgált időtartamtól,

Hosszabb idő alatt többen jönnek, rövidebb idő alatt kevesebben.

Mondjuk 10 perc alatt , de 15 perc alatt már .

Az exponenciális eloszlás várható értéke viszont a várhatóan eltelt idő, ami 5 perc, és ez nem függ a vizsgált időtartamtól.

Fél óra alatt ugyanúgy átlagosan 5 percenként érkeznek az autók, mint 20 perc alatt. Itt tehát a  mindig ugyanannyi.

Ha pedig a Poisson eloszlásnál éppen akkora időtartamot nézünk, ami az exponenciális eloszlásnál az idő múlásának a mértékegysége, akkor a két  mindig megegyezik.

Nézzük meg mi a helyzet ezzel a konkrét példánk esetében.

Ha az exponenciális eloszlásnál az eltelt időt percben mérjük, akkor a várható érték 5 perc és így .

Most számoljuk ki a -t a Poisson-eloszlásnál egy perces időtartamra.

Óránként 12-en jönnek, tehát egy perc alatt 12/60=0,2 vagyis , a két  tehát megegyezik.

Ha az exponenciális eloszlásnál az eltelt időt mondjuk órában mérjük, akkor az 5 perces várható érték, lássuk csak 5 perc = 5/60 óra, tehát úgy durván 0,083 óra.

Ekkor .

Most számoljuk ki a -t a Poisson-eloszlásnál egy órás időtartamra.

Mivel a feladat úgy szólt, hogy óránként 12-en jönnek, a jelek szerint

.

A két  tehát ilyenkor is megegyezik.

X = bekövetkezések száma adott idő alatt

Y = két bekövetkezés között eltelt idő

Egy földterületen átlagosan 16 havonta van a Richter-skála szerinti 5-ösnél erősebb földrengés.

a) Mi a valószínűsége, hogy egy év alatt két ilyen földrengés is van?

b) Mi a valószínűsége, hogy két ilyen földrengés közt legalább három év telik el?

X = erősebb földrengések száma egy év alatt

Lássuk hány földrengés van évente. Egy év 12 hónap, a földrengések pedig 16 havonta vannak.

Egy év alatt tehát  földrengés van.

Y = a földrengések között eltelt idő

X Poisson eloszlású és a földrengések száma, Y viszont exponenciális eloszlású és a földrengések közt eltelt idő.

A várható érték tehát most nem azt jelenti, hogy várhatóan hány földrengés van, hanem azt, hogy várhatóan hány hónap telik el köztük.

 3 év = 36 hónap

Na ennyi elég is volt az exponenciális eloszlásból.

Egy mobiltelefon élettartama exponenciális eloszlású, 4 év várható élettartammal.

a) Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 3 évig működik?

b) Mekkora a valószínűsége, hogy 3 évnél tovább, de 5-nél kevesebb ideig működik?

c) Mi a valószínűsége, hogy ha már 3 éve működik, a következő 2 évben elromlik?

 A folytonos valószínűségi változók többnyire időt, távolságot, meg olyanokat mérnek, hogy hány kiló, hány liter, stb.

Természetükből adódóan itt nincs értelme olyat kérdezni, hogy mekkora a P(X=a) valószínűség, mert minden ilyen valószínűség nulla.

Ez könnyen igazolható, ha mondjuk ellátogatunk egy olyan kocsmába, ahol sört csapolnak. Vagy több sört fogunk kapni, vagy általában inkább kevesebbet, de, hogy pont annyit nem, amennyi elő van írva, az biztos. Nos nem ez a legegzaktabb magyarázat erre a jelenségre, de jegyezzük meg, hogy folytonos valószínűségi változók esetén csak intervallumokat van értelme kérdezni, hogy P(X<a) vagy P(X>a) vagy P(a<X<b)

A valószínűségeket az eloszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény segítségével tudjuk kiszámolni, és többnyire mi döntjük el, hogy melyiket használjuk. Azok, akik leküzdhetetlen vágyat éreznek az integrálás iránt, nos ők használják bátran a sűrűségfüggvényt, de szenvedéseink mértéke kisebb, ha az eloszlásfüggvényt használjuk.

Most pedig nézzünk meg néhány exponenciális eloszlással kapcsolatos rémtörténetet. Az exponenciális eloszlás az egyik legfontosabb folytonos eloszlás, az exponenciális eloszlású valószínűségi változó általában időt és távolságot mér. Itt jön az első exponenciális eloszlásos feladat megoldása:

Itt is van az első:

Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó 5 év szórással.

Mekkora a valószínűsége, hogy egy ilyen készülék legfeljebb 8 évig működik?

Hát ez elég könnyű volt. Lássunk egy nehezebbet.

Egy bankban, az esetek negyedében fordul elő, hogy egy ügyfelet 10 percen belül nem követ másik.

Mi a valószínűsége, hogy 20 percig nem jön senki?

Egy óra alatt várhatóan hány ügyfél érkezik?

A jelek szerint várhatóan 7,215 percenként érkeznek ügyfelek.

Egy óra alatt  ügyfél érkezik.

Egy üzletben 10 perc alatt átlagosan 5 vevő fordul meg. A vevők érkezése között eltelt idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. 10.00-kor érkezik egy vevő. Mi a valószínűsége, hogy a következő vevő 10.12 és 10.15 között érkezik?

Átlagosan 2 perc telik el a vevők érkezése között:

Egy készülék élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, annak valószínűsége, hogy legalább 6 évig működik . 

Hány éves legyen a garancia idő, ha a termékek legfeljebb 20%-a hibásodhat meg garanciaidőn belül?

X=hány évig működik

y év garancia

A jelek szerint tehát legfeljebb 0,669 év garanciaidőre van szükség.

Ez nap.

A normális eloszlás

A normális eloszlás az egyik legfontosabb valószínűségi eloszlás. Általában a dolgok mennyiségbeli eloszlását írja le. Például egy repülőtér napi forgalma, egy iskolában a hallgatók magassága, egy palackozó üzemben a palackokba töltött folyadék mennyisége mind-mind normális eloszlásúnak tekinthető. A normális eloszlás eloszlásfüggvényének grafikonja igen jellegzetes, kinézetre olyan, az óriáskígyó, amikor lenyelte az elefántot. A görbét harang-görbének vagy Gauss-görbének szokás nevezni, a görbét leíró függvény pedig:

Itt  a normális eloszlás várható értéke,  pedig a szórása. A várható érték mindig a függvény grafikonjának legmagasabb pontjánál van, ez egyúttal a leggyakoribb érték, vagyis a módusz. A sűrűségfüggvény segítségével számoljuk ki a valószínűségeket, úgy, hogy meghatározzuk a függvény görbe alatti területét.

Nézzünk egy példát! Normális eloszlású például az 1,5 literes ásványvizes üvegben a beletöltött víz mennyisége. A palackozó gép azonban nem képes minden egyes üvegbe pontosan 1,5 liter vizet tölteni, az egyikbe egy kicsivel többet, a másikba egy kicsivel kevesebbet tölt. Ezt az ingadozást írja le a szórás. Legyen most a szórás 30 ml.

A normális eloszlás várható értéke tehát , szórása pedig, a 30 millilitert átváltva literre .

Számoljuk most ki annak a valószínűségét, hogy egy üvegben a beletöltött víz mennyisége kevesebb, mint 1,56 liter. Jelöljük x-el az üvegbe töltött víz mennyiségét. Amit ki kell számolnunk:

Rajzoljuk föl a normális eloszlás sűrűségfüggvényét. A maximuma 1,5-nél lesz, a grafikon valami ilyesmi:

Rajzoljuk most be azt is, amit ki szeretnénk számolni, nevezetesen, hogy egy üvegben a beletöltött víz mennyisége kevesebb, mint 1,56 liter. A keresett valószínűség éppen a görbe alatti terület lesz.

Ahhoz, hogy ezt a területet képesek legyünk meghatározni, szükségünk van egy táblázatra, amely minden egyes x értékhez megadja a hozzá tartozó görbe alatti területet. Azonban lehetetlen minden egyes normális eloszláshoz, vagyis minden egyes lehetséges várható értékhez és szóráshoz külön táblázatot készíteni. A problémát úgy oldhatjuk meg, ha készítünk csak egy táblázatot, méghozzá egy igen speciális normális eloszláshoz, a többi normális eloszlást pedig megpróbáljuk erre az egyre visszavezetni. Ezt a speciális normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük.

A standard normális eloszlás várható értéke E(x)=0, szórása pedig D(x)=1. Sűrűségfüggvénye a megszokott harang alakú görbe:

Hogyan lehet ekkor egy általános normális eloszlásból standard normális eloszlást csinálni? Valahogy el kell érni, hogy a normális eloszlású x várható értéke ne  legyen, hanem nulla, a szórása pedig ne  legyen, hanem egy.

A módszert standardizálásnak nevezzük, és lényege a következő. Az x értékeiből kivonjuk a várható értékét, majd az így kapott értéket elosztjuk a szórással. A kapott standard értékeket z-nek nevezzük. Ez sokkal egyszerűbb, mint amilyen bonyolultnak hangzik:

Ha azt akarjuk kiszámolni, hogy egy palackban 1,56 liternél kevesebb víz van, akkor itt x=1,56. A várható érték 1,5 a szórás pedig 0,03 volt, így a képlet szerint

Mit is jelent ez? Eddig, amikor még normális eloszlásunk volt, annak a valószínűségét akartuk kiszámolni, hogy x<1,56. Most, a standard normális eloszlás esetén már a z<2 kell nekünk. Ezt rajzoljuk be a standard normális eloszlás grafikonjára:

[Szövegdoboz: z<2]

A keresett valószínűség a bejelölt terület. Az, hogy mekkora ez a terület, egy táblázatból nézhetjük meg, ami a standard normális eloszlás eloszlástáblázata. Íme a táblázat:

z

z

0

0,5000

1,05

0,8531

0,05

0,5199

1,1

0,8643

0,1

0,5398

1,15

0,8749

0,15

0,5596

1,2

0,8849

0,2

0,5793

1,25

0,8944

0,25

0,5987

1,3

0,9032

0,3

0,6179

1,35

0,9115

0,35

0,6368

1,4

0,9192

0,4

0,6554

1,45

0,9265

0,45

0,6736

1,5

0,9332

0,5

0,6915

1,55

0,9394

0,55

0,7088

1,6

0,9452

0,6

0,7257

1,65

0,9505

0,65

0,7422

1,7

0,9554

0,7

0,7580

1,75

0,9599

0,75

0,7734

1,8

0,9641

0,8

0,7881

1,85

0,9678

0,85

0,8023

1,9

0,9713

0,9

0,8159

1,95

0,9744

0,95

0,8289

2

0,9772

1

0,8413

2,05

0,9798

A táblázatnak két kellemetlen tulajdonsága van. Az egyik, hogy a z értékekhez tartozó valószínűségek mindig a z-től balra eső területet adják meg, a tőle jobbra esőt nem. Ez azonban nem olyan tragikus, mivel tudjuk, hogy a teljes görbe alatti terület éppen egy. Ha tehát a jobbra eső területre van szükségünk, azt úgy kapjuk meg, hogy 1-ből kivonjuk a táblázatban szereplő értéket. Például, ha z=1, akkor az 1-től balra eső terület 0,8413 ez az, amit kikeresünk a táblázatból. Az 1-től jobbra eső terület ekkor 1-0,8413 ami 0,1587.

A táblázat másik kellemetlen tulajdonsága, hogy csak pozitív z értékeket tartalmaz. Ez azért probléma, mert sokszor adódik majd úgy, hogy z negatív. Hogy ebben az esetben mi a teendő, majd meglátjuk.

Térjünk most vissza a feladatunkhoz. Az eredeti feladat az volt, hogy kiszámoljuk a  valószínűséget. Aztán standardizáltunk:

És így már a P(z<2) amire szükségünk van. Ha rápillantunk a táblázatra, megkapjuk, hogy p(z<2)=0,9772.

Nézzünk meg néhány feladatot!

Egy bizonyos vonatjáraton 560 ülőhely áll rendelkezésre.  A vonat átlagos kihasználtsága 400 ülőhely, a szórás 100, az utas szám normális eloszlású. Indulás előtt szeretnénk a vonatra 4 jegyet váltani. Mi a valószínűsége, hogy nem lesz elegendő szabad hely?

Akkor nem lesz elegendő hely négy ember számára, ha a vonatra jegyet váltó utasok 560-nál többen vannak. Ennek valószínűségét kell kiszámolnunk.

A várható érték megegyezik a vonat átlagos kihasználtságával, ami 400, a szórás pedig 100, tehát  és . Standardizálunk.

A normális eloszlásban még p(560<x) kellett, most már p(1,6<z)

[Szövegdoboz: 1,6

A táblázatból kikeressük az 1,6-hoz tartozó értéket, ami 0,9452. Most azonban nekünk nem a balra, hanem a jobbra eső terület kell, ami 1-0,9452=0,0548. Ez a feladat megoldása. Annak esélye, hogy nem kapunk jegyet 5% körüli.

Egy repülőtéren jelenleg öt kifutópálya üzemel, amely óránként maximum 12 tranzakcióra (gép indítására vagy fogadására) alkalmas. A repülőtéren ezen tranzakciók száma normális eloszlású óránként átlag  40, a szórás 20. Mekkora valószínűséggel alakul ki torlódás? Egyik nap, havazás miatt csak 3 pálya működik. Mi a valószínűsége, hogy nem kell törölni járatot?

Akkor alakul ki torlódás, ha nem elég a rendelkezésre álló öt kifutópálya sem. Mivel pályánként 12 tranzakció lehetséges, ez öt pályánál 60 tranzakció. Akkor nem elég az öt pálya, ha a gépek száma 60<x. Ennek valószínűsége:

Standardizálunk. A várható érték 40 gép, a szórás 20, tehát  és .

A normális eloszlásban még p(60<x) kellett, most már p(1<z)

Kikeressük a táblázatból az 1-hez tartozó értéket, ami 0,8413. Nekünk azonban most a jobbra eső terület kell, ami 1-0,8413=0,1587.

[Szövegdoboz: 1

Ha egyik nap a havazás miatt csak három pálya használható, akkor ez 3szor 12 vagyis 36 gép fogadására alkalmas. Akkor nem kell járatot törölni, ha a gépek száma az adott órában maximum 36. Ennek a valószínűségét kell kiszámolnunk:

Standardizálunk. A várható érték 40 gép, a szórás 20, tehát  és .

A normális eloszlásban még p(x<36) kellett, most már p(z<-0,2)

És itt jön a táblázat másik kellemetlen tulajdonsága, nevezetesen az, hogy nem tartalmaz negatív értékeket. A -0,2-t tehát sajnálatos módon nem fogjuk benne megtalálni. Ilyenkor a teendő a következő.

Amit valójában ki szeretnénk számolna, a p(z<-0,2) valószínűség, ami rajzban így fest:

[Szövegdoboz: z<-0,2]

Mivel azonban negatív számok nincsenek a táblázatban, az egészet tükrözzük, és így kapjuk, hogy

[Szövegdoboz: 0,2

Most megkeressük a 0,2-höz tartozó értéket a táblázatban. Ez 0,5793. Eredetileg nekünk a bal oldali terület kellett, ám a tükrözés után ez átkerült jobb oldalra. A táblázatból kapott 0,5793 a 0,2-től balra eső terület, ami nem kell. Ami kell, az 1-0,5793=0,4207. Tehát 42% esély van rá, hogy nem kell az adott órában járatot törölni.

Egy metróállomáson három mozgójárda segíti az átszállást. Minden járda óránként 2500 utast tud továbbítani. Az utasok óránkénti száma normális eloszlású, várható értéke 6000, szórása 1000. Mi a valószínűsége, hogy a forgalom miatt nem elég két járdát üzemeltetni? Elvileg naponta átlagosan hány órán keresztül kell a torlódás elkerülése érdekében mind a három járdát üzemeltetni? Mekkora valószínűséggel alakul ki torlódás annak ellenére, hogy mind a három járda működik?

Akkor nem elég két járdát üzemeltetni, ha a forgalom nagyobb, mint amit két járda képes lebonyolítani. Ha járdánként 2500 utas továbbítható egy óra alatt, akkor két járda maximum 5000 utast tud szállítani. Akkor nem elég a két járda, ha az utasok száma 5000<x. ennek valószínűsége:

Standardizálunk. A várható érték 6000 utas a szórás 1000, tehát  és .

A normális eloszlásban még p(5000<x) kellett, most már p(-1<z)

[Szövegdoboz: -1

Sajnálatos módon a -1 nem található meg a táblázatban, ezért az egészet tükrözzük:

[Szövegdoboz: z<1]

Ez már megtalálható a táblázatban, és a z=1-hez tartozó érték pont jó is, hiszen a nekünk kellő terület pont balra esik. A táblázatból kinézzük: 0,8413. Az esetek 84%-ban szükség van mindhárom járdára.

Mindhárom járda működése esetén akkor alakul ki torlódás, ha az utasok száma meghaladja a három járda által továbbítani képes 7500-as számot:

Standardizálunk:

[Szövegdoboz: 1,5

Kikeressük a táblázatból az 1,5-höz tartozó értéket, ami 0,9332. Nekünk azonban

nem az 1,5-től balra eső területre van szükségünk, így a megoldás 1-0,9332 vagyis 0,0668 lesz. Mindössze 7% körüli az esélye, hogy mind a három járdát működtetik és mégis torlódás alakul ki.

Egy almafajta átmérője átlag 12 cm, a szórás 4 cm. Az alma nem hozható kiskereskedelmi forgalomba, ha átmérője 5 cm-nél kisebb, vagy 16 cm-nél nagyobb. Egy 10.000 darabos szállítmányból várhatóan hány darab alma hozható forgalomba?

Annak valószínűségét kell kiszámolnunk, hogy egy alma jó, ami annyit tesz:

Ezt rajzoljuk be a sűrűségfüggvény grafikonjába.

[Szövegdoboz: 5 16]

Standardizálunk.

Most a várható érték  a szórás pedig . Ekkor az eredeti normális eloszlásban még a standardizálás után viszont

Vagyis  amit berajzolunk a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonjára.

[Szövegdoboz: -1,4 0,8]

A keresett területet úgy fogjuk kiszámolni, hogy a 0,8-tól balra eső területből kivonjuk a -1,4-től balra eső területet.

[Szövegdoboz: 0,8]

[Szövegdoboz: -1,4]

Ezeket a területeket a táblázatból kapjuk meg. Az egyik 0,7881, míg a másik a szokásos tükrözéses procedúra után 0,0808. A keresett valószínűség a kettő különbsége:

0,7881-0,0808=0,7073.

Egy üzlet napi forgalma közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó. A vásárlók átlagos száma 568 fő, a szórás 16 fő. Mekkora valószínűséggel lesz egy adott napon a vevők száma legfeljebb 600 fő?

Nos ennél a pontnál három eset lehetséges.

Az első és egyben nem túl valószínű eset az, hogy valóban érdekel minket, hogy mekkora ez a valószínűség.

Ez annyira ritka, hogy el is felejthetjük.

A második lehetőség, hogy ez valamilyen idióta feladat, amit meg kell oldanunk, de nem adtak mellé eloszlástáblázatot.

Jó hír, ebben az esetben kész, ez a megoldás.

És, hogy mi is az eloszlástáblázat? Nos ez.

Ebben a táblázatban kell megtalálnunk a keresett valószínűséget akkor, ha a feladat mellé adnak nekünk egy ilyet is. Ez volna a harmadik eset.

Megkeressük a táblázatban a 2-t.

Meg is van. Mindjárt kétszer is.

Sajna ugyanis ilyen normális eloszlás táblázatból kétfél van forgalomban.

De mielőtt elhatalmasodna rajtunk a kétségbeesés, vessünk azért egy pillantást a táblázatokra.

A két táblázat lényegében ugyanaz, csak a jobb oldaliban minden érték 0,5-tel kevesebb.

Ha a bal oldali táblázatot használjuk, akkor kész is. Ez a szám a megoldás.

Ha a jobb oldalit, akkor is kész, csak még hozzá kell adni 0,5-öt.

És, hogy honnét tudjuk, melyik típusú táblázatunk van?

Nos, nagyon egyszerű. Abban a táblázatban, ahol nem kell hozzáadni semmit, ott minden szám 0,5 és 1 között van.

A másikban pedig 0 és 0,5 között.

Hát ez jó, és akkor nézzünk meg egy másik feladatot is.

Egy határátkelőhelyen a várakozási idő normális eloszlású valószínűségi változó, 18 perc várható értékkel. Annak valószínűsége, hogy az átkelésig legfeljebb 6 percet kell várni

Mekkora valószínűséggel tart legfeljebb 20 percig a várakozás?

Mekkora a valószínűsége, hogy 10 percnél több, de 20 percnél kevesebb ideig kell várni?

Minden normális eloszlásos feladat megoldásánál szükségünk van a várható értékre és a szórásra.

Most a várható értéket tudjuk, de a szórást nem.

Úgyhogy lépéseket teszünk a szórás kiszámolásának érdekében.

Van egy remek képletünk azokra az esetekre, amikor itt negatív szám van.

Íme itt is van.

És most végre válaszolhatunk a kérdésekre.

Egy palackozó üzemben 1 literes ásványvizeket töltenek, közelítőleg normális eloszlással. Annak valószínűsége, hogy az üvegbe töltött víz a várhatótól legfeljebb 25 milliliterrel eltér

Mekkora a szórás?

Van egy ilyen, hogy

Olyan viszont nincs, hogy ha  akkor mi van…

Így aztán szükségessé válnak bizonyos átalakítások.

Az exponenciális eloszlásnak van egy furcsa tulajdonsága.

Egy olyan tulajdonsága, amivel Bob sajnos nem rendelkezik.

Ezt a tulajdonságot örökifjú tulajdonságnak nevezzük.

Bob esetében, aki nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, ha szeretnénk megtudni mekkora valószínűséggel hal meg egy év leforgása alatt, akkor tudnunk kell, hogy hány éves.

Nem ugyanakkora ugyanis egy éven belüli halálának esélye 10 évesen, mint 60 évesen vagy épp 102 évesen. Ahogy az idő múlik, Bob bizony egyre nagyobb eséllyel hal meg, mert nem örökifjú.

Az exponenciális eloszlás viszont az.

Ez azt jelenti, hogy mindegy, eltelt-e már az a három év.

Azt akár le is tagadhatjuk.

A feltételben szereplő 3 év mintha nem is létezne.

 Egy mobiltelefon élettartama exponenciális eloszlású, 4 év várható élettartammal.

a) Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 3 évig működik?

b) Mekkora a valószínűsége, hogy 3 évnél tovább, de 5-nél kevesebb ideig működik?

c) Mi a valószínűsége, hogy ha már 3 éve működik, a következő 2 évben elromlik?

Az utolsó kérdés vicces lesz.

Próbáljuk meg kideríteni, hogy mi az amiben eltér az előzőtől.

Ehhez rajzolgassunk egy kicsit.

Tudjuk, hogy már 3 éve működik,

tehát valahol itt romlik el.

De még 5 éven belül.

Nos ez eddig élénken emlékeztet az előző kérdésre.

Hogy jobban megértsük mi is a különbség a két kérdés között vegyük például Bobot.

Megpróbáljuk megjósolni, hogy vajon mekkora a valószínűsége annak, hogy Bob a 70-edik és a 71-edik születésnapja között fog elhalálozni.

A kérdés az, hogy ez a valószínűség vajon nagy vagy kicsi. Nos ez attól függ.

Ha Bob születése pillanatában jósoljuk meg, hogy mekkora a valószínűséggel fog a 70-edik és a 71-edik születésnapja közt meghalni, akkor ez a valósszínűség kicsi.

Azért kicsi, mert Bobbal addig még bármi történhet, például 5 éves korában elüti egy busz, vagy 60 évesen infarktust kap…

Ugyanakkor, ha Bob már éppen 70 éves és születésnapja alkalmából megjósoljuk neki, hogy mekkora sansza van a következő egy évben meghalni, akkor biztosíthatjuk róla, hogy ennek valószínűsége igen nagy.

Nos éppen ez a különbség a kétféle kérdés között. 

Mindkét esetben a 3 és 5 közötti elromlásról szól a kérdés,

csak az egyik esetben a születés pillanatában tesszük föl a kérdést,

a másik esetben pedig már 3 évnyi működés után.

ez volt az első kérdés

ha még emlékszünk

Végül itt jön még egy vicces ügy.

A világ legmeredekebb fogaskerekű vasútja a Pilatusbahn, ami a legdurvább szakaszokon 48%-os emelkedőn megy föl. Azt, hogy egy emelkedő hány százalékos, úgy kapjuk meg, hogy amennyit fölfelé elmozdulunk, elosztjuk azzal amennyit vízszintesen elmozdulunk, és aztán beszorozzuk 100-zal.
a)    Egy szakaszon a fogaskerekű 50 métert tett meg, és 23 fokos volt az emelkedő. Mekkora a szintkülönbség ezen a szakaszon? Hány százalékos ez az emelkedő? 
b)    A fogaskerekű egy szakaszon 60 méret tett meg, és közben 19 métert emelkedett. Hány fokos szögben ment fölfelé? Hány százalékos ez az emelkedő?
c)    Hány fokos szögben megy a fogaskerekű, amikor épp a legmeredekebb szakaszon, a 48%-os lejtőn megy fölfelé?

Ez itt az 50 méter…
És ez pedig a 23 fokos szög.

A szintkülönbség ennek a háromszögnek az egyik befogója.
 

És most nézzük, hány százalékos ez az emelkedő…

Ehhez kell még a másik befogó is…
Számoljuk ki például egy koszinusszal.

A százalékot úgy kapjuk meg, hogy amennyit fölfelé elmozdulunk…
Elosztjuk azzal amennyit vízszintesen elmozdulunk…
És aztán beszorozzuk 100-zal.

Itt jön most egy trükk, amivel sokkal egyszerűbben is ki tudjuk számolni, hogy egy emelkedő hány százalékos.

A százalékot úgy kapjuk, hogy amennyit fölfelé elmozdulunk…
Elosztjuk azzal amennyit vízszintesen elmozdulunk.

És aztán beszorozzuk 100-zal.

És itt jön a trükk.

A százalékot így lehet a legkönnyebben kiszámolni.
Próbáljuk is ki…

A kérdés pedig, hogy mekkora ez a szög…

A történetünk szereplői a szöggel szemközti befogó és az átfogó…

Szemközti, mint szinusz…
 

És most lássuk, mekkora az szög.

Számoljuk ki először, hogy mekkora ez a szög…
A szöggel szemközti befogót ismerjük, meg az átfogót.

Ebből kéne kideríteni, hogy mekkora az alfa szög.

Ezt is a számológép fogja megmondani…
De most fordítva kell gondolkodnunk.

Eddig mindig úgy volt, hogy a szöget ismertük, és ezt keressük…
Most viszont a szöget keressük.
 

Az emelkedő 17,5 fokos.
És most nézzük, hány százalékos…

Jön a tangenses trükk:

18,46

A hegycsúcsok magasságát egy ügyes kis trükkel lehet megmérni...

Kell hozzá egy lézeres távolságmérő…
Szögmérővel ellátva.

A távolságmérővel becélozzuk a hegycsúcs tetejét…
És lemérjük a távolságot.

 
Aztán megmérjük ezt a szöget.

 
És most jön a trükk.