Az és vektorok vektoriális szorzata az vektor,

ami merőleges az és vektorok által kifeszített síkra, és

A vektoriális szorzat eredményét úgy kapjuk meg, ha kiszámoljuk ezt a determinánst.

Vicces módon determinánsokról majd csak később lesz szó, de ennek ellenére ezt megpróbáljuk most kiszámolni.

Az első sor szerint fogjuk kifejteni, de aggodalomra semmi ok, minden nagyon egyszerű lesz. Nos itt is van:

Ezeket mindjárt kitaláljuk, itt pedig szándékosan nem plusz, hanem mínusz van.

Mindez sokkal érthetőbb lenne, ha ismernénk a kifejtési tételt, ami a determinánsok című résznél van. Ha valaki esetleg úgy gondolja, hogy megnézi mi is ez a kifejtési tétel, hát akkor feltehetően senki sem tudja ebben őt megakadályozni.

Most pedig térjünk a tárgyra.

Nézzünk meg egy konkrét példát.

Itt egy konkrét példa.

Most pedig térjünk a tárgyra.

e a vektoriális szorzat:

A vektoriális szorzat egyik tipikus geometriai alkalmazásához nézzünk meg két feladatot.

Az egyik feladat az, hogy írjuk föl két adott ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét, ehhez nem kell vektoriális szorzat.

A másik, hogy írjuk föl három adott ponton átmenő sík térbeli egyenletének egyenletét. Na ehhez már kell.

Írjuk föl a ponton átmenő és a

egyenletű egyenesre merőleges

egyenes síkbeli egyenletét.

Írjuk föl a ponton átmenő és az

egyenletrendszerű egyenesre merőleges

sík térbeli egyenletét.

A egyenes normálvektora

Ezt a vektort úgy tudjuk hasznosítani,

hogy -kal elforgatjuk, mert akkor

a keresett egyenes normálvektora lesz.

Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,

hogy felcseréljük a koordinátáit,

és az egyiket beszorozzuk -gyel.

Megvan a normálvektor, úgyhogy

az egyenesünk egyenlete:

Lássuk itt mit tehetnénk.

A sík normálvektora éppen az egyenes irányvektora.

Itt jön a sík egyenlete:

És végül jön egy másik tipikus feladattípus is.

Írjuk föl a és ponton

átmenő egyenes síkbeli egyenletét.

Írjuk föl a a és az

pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.

A ponton átmenő és

normálvektorú egyenes egyenlete:

A ponton átmenő és

normálvektorú sík egyenlete:

Pontunk az van bőven, normálvektorunk viszont

nincs egy darab se, úgyhogy csinálnunk kell.

Ezt elforgatjuk -kal, és meg is van a normálvektor.

Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,

hogy felcseréljük a koordinátáit,

és az egyiket beszorozzuk -gyel.

Az egyenes egyenlete:

Itt a síknál a vektoriális szorzatból lesz a normálvektor.

Hát ez kész.