Linalg (MBNK11E-1) - Szegedi Tudományegyetem

Vektorok és pontok a valós elem-n-esek körében, vektorok összege és skalárral való szorzása, lineáris kombináció, alkalmazások (egy egyenesre, ill. síkra esõ vektorok, pontok, az általuk kifeszített egyenesek és síkok, lineáris mozgás). Belsõ szorzat, vektorok hossza, háromszög-egyenlõtlenség, Cauchy--Schwarz- egyenlõtlenség, vektorok merõlegessége, merõleges vetítés, alkalmazások (háromszög nevezetes pontjai, Euler-vonal). Egyenesek, síkok, hipersíkok a valós elem-n-esek körében. Homogén és nem-homogén lineáris egyenletrendszerek, mátrixuk. Elemi átalakítások, Gauss-elimináció, lineáris egyenletrendszerek általános megoldása. Lineáris egyenletrendszer mint vektorok lineáris kombinációja, alkalmazások (egyenesek és síkok megadása). Mátrixmûveletek és azok algebrai szabályai, kapcsolat a lineáris egyenletrendszerekkel. Mátrixegyenletek, mátrixok inverze, alkalmazások (mátrixok LU-faktorizációja, Leontyev-mátrix). Mátrixok blokkokkal való megadása és ezekkel való számolás. Determinánsok, kiszámításuk kifejtéssel és elemi átalakításokkal, determináns mint elõjeles térfogat. A determinánsok szorzástétele, nemelfajuló mátrixok, Cramer-szabály. Lineárisan függõ, illetve független vektorrendszerek, vektorrendszer rangja. Mátrix sor-, oszlop- és determinánsrangja, mátrixok rangszámtétele, rang kiszámítása, Kronecker--Capelli-tétel. Alterek a valós elem-n-esek körében és megadásuk kifeszített altérként, illetve hipersíkok metszeteként. Alterek bázisa, vektorok koordinátasora tetszõleges bázisban. Altér dimenziója, az alterek dimenziótétele, ranggal való kapcsolat. Lineáris leképezések, a sík és tér nevezetes lineáris transzformációi. Lineáris leképezések képtere és magtere. Lineáris leképezések mátrixa. Lineáris leképezések skalárral való szorzása, összege, szorzata, inverze, ezek kapcsolata a mátrixmûveletekkel. A bázisáttérés mátrixa, mátrixok hasonlósága. Lineáris transzformációk és mátrixok sajátértéke, sajátvektora és sajátaltere, mátrixok karakterisztikus polinomja, diagonális mátrixhoz hasonló mátrixok, alkalmazások (képtömörítés, lineáris rekurzió, Markov-láncok). Szimmetrikus bilineáris leképezések és mátrixuk, kvadratikus alakok és mátrixuk, kvadratikus alakok kanonikus és normál alakra hozása, kvadratikus alakok osztályozása (definitség). Ortogonális, illetve ortonormált vektorrendszerek, Gram--Schmidt-féle eljárás, mátrixok QR- faktorizációja, fõtengelytétel. Absztrakt vektorterek, vektorterek izomorfiája, absztrakt euklideszi terek, euklideszi terek izomorfiája.