Matematika alapok 1 epizód tartalma:
Mik azok a végtelen sorok? Szuper-érthetően elmagyarázzuk neked 5 perc alatt. Végtelen sor definíció, Numerikus sor, Végtelen összegek, Konvergens sorok, Divergens sorok, A bolha ugrásai a számegyenesen, Sorok összege, Sorok konvergenciája, Sorok divergenciája.
Azokat az összegeket, amiket úgy kapunk, hogy végtelen sok valós számot adunk össze végtelen sornak nevezzük.
Ez itt például egy végtelen sor:
Az összeadásban szereplő tagokat képzeljük el úgy, mint egy bolha ugrásait a számegyenesen.
A sor összege az a szám ahova a bolha ugrásai során eljut.
Most egy fáradékony bolhával van dolgunk, ugrásai egyre rövidülnek.
Mindig fele akkorát ugrik, mint ami még a hátralévő út a 2-ig, így véges sok ugrással sosem érheti el a 2-t, mert
Ha viszont az ugrások száma végtelen, akkor a bolha éppen eljut a 2-be.
Van itt aztán egy másik bolha is, ez egyáltalán nem fáradékony, viszont meglehetősen összevissza ugrál.
Először ugrik 1-et, majd vissza 1-et.
Utána megint ugrik 1-et, majd megint vissza…
Nos ez a bolha nem jut el sehova, ha az ugrások száma végtelen.
Mindig épp valahol úton lesz a 0 és az 1 között.
És itt egy harmadik, ahol az ugrások mindig megduplázódnak.
Konvergensnek nevezzük azokat a sorokat, ahol a bolha ugrásai során eljut egy konkrét számhoz. Azt a számot pedig ahova eljut, a sor összegének nevezzük.
Ha a bolha ugrásai során nem jut el sehova, vagy éppen plusz vagy mínusz végtelenbe jut el, akkor a sor divergens.
A sorokkal kapcsolatban kétféle kérdés merülhet föl.
Az egyik, hogy konvergens-e vagy divergens a sor. Erre viszonylag könnyen tudunk válaszolni úgynevezett konvergencia kritériumok segítségével.
A másik kérdés, hogy ha a sor konvergens, akkor mi az összege, vagyis hova tart a bolha. Nos ez egy jóval nehezebb kérdés és erre csak elég speciális sorok esetében tudunk megnyugtató választ adni.
Ilyen speciális sor például a mértani sor, amilyenek ezek a bolhás esetek is itt balra.
Lássuk, hogyan kell kiszámolni a mértani sorok összegét.
Matematika alapok 1 epizód.