Valszám alapok, klasszikus valszám

1. Legyen az A esemény, hogy egy dobókockával párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Függetlenek-e ezek az események? Kizáróak-e?

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik. Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása, a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?

b) Egy másik biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen. Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. 

a) Egy városban 1000 emberből átlag 350-en dohányoznak, 120-an rendelkeznek valamilyen keringési problémával és 400-an vannak, akik a kettő közül legalább az egyik csoportba tartoznak. Ha egy lakosnak keringési problémái vannak, mekkora a valószínűsége, hogy dohányzik?

b) A reggeli és esti hírműsorok közül legalább az egyiket egy felmérés szerint a TV nézők 90%-a megnézi. Aki az esti hírműsort nézi 20% eséllyel már reggel is nézett hírműsort. A reggeli hírműsorokat az összes TV néző 30%-a nézi. Mi a valószínűsége, hogy ha valaki reggel néz hírműsort akkor este is?

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. 

a) Hányféleképpen ülehet le öt ember egymás mellé a padon?

b) Hányféleképpen ülhet le öt ember közül három egymás mellé a padon?

c) Hányféleképpen választhatunk ki öt ember közül hármat?

d) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász?

e) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász?

f) Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot. Mi a valószínűsége, hogy a lapok közt két ász lesz?

Megnézem, hogyan kell megoldani


 

5. 

a) Egy telefon biztonsági kódja 6 számjegyből áll és minden számjegy 0-9 bármi lehet. Mi a valószínűsége, hogy ha nem ismerjük a kódot, akkor elsőre kitaláljuk? A kódok hány százalékában szerepel az 1,2,3,4,5,6 számjegyek közül mindegyik?

b) Egy dominókészlet azonos méretű dominókból áll. Minden dominó egyik oldala egy vonallal két részre van osztva. Az egyes részeken elhelyezett pöttyök száma 0-tól 6-ig bármi lehet. Minden lehetséges párosításnak léteznie kell, de két egyforma nem lehet egy készletben. Hány darabból áll egy dominókészlet?

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Két dobókockával egyszerre dobunk. Mi a valószínűsége, hogy

a) mindkét dobás páros?

b) legfeljebb az egyik dobás páros?

c) a dobott pontok szorzata páros?

d) a dobott pontok összege páros?

e) a dobott pontok összege legalább 10?

f) a dobott pontok szorzata 6?

Megnézem, hogyan kell megoldani


7.

a) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz mind az öt dobás 1-es?

b) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel nem lesz egyik dobás sem 1-es?

c) Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz legalább egy dobás 1-es?

d) Egy városban 0,2 a valószínűsége annak, hogy egyik nap esik az eső. Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten minden nap esik?

e) Egy vizsga 100 vizsgázóból átlag 26-nak nem sikerül. Egyik nap 12-en vizsgáznak. Mi a valószínűsége, hogy legalább egy vizsgázónak nem sikerül a vizsga?

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Az ötöslottón 90 darab golyóból húznak ki 5 darabot. A golyók 1-től 90-ig vannak számozva. Mi a valószínűsége, hogy

a) a legkisebb kihúzott szám a 64?

b) öt egymás utáni számot húznak ki?

c) csak páratlan számokat húznak ki?

d) a kihúzott számok szorzata kettőhatvány?

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Egy dobókockával hatszor dobunk egymás után. Mi a valószínűsége, hogy

a) egyik dobás sem 1-es?

b) csak páros számokat dobunk?

c) mindegyik dobás különböző?

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Egy 20 fős osztályba 8 fiú és 12 lány jár. Kiosztanak közöttük 10 mozijegyet. Mi a valószínűsége, hogy

a) ugyanannyi fiú kap mozijegyet, mint ahány lány?

b) csak lányok kapnak mozijegyet?

c) csak fiúk kapnak mozijegyet?

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Egy síterepen az egyik felvonó végállomásától három sípálya indul. 20 napból a fekete pálya átlagosan 3 nap van zárva lavinaveszély miatt, a kék átlagosan 2 nap, míg a piros átlagosan 4 nap egymástól függetlenül. Mekkora a valószínűsége, hogy

a) mindhárom pálya nyitva van?

b) csak a kék pálya van zárva?

c) a piros pálya nyitva van?

d) legalább egy pálya nyitva van?

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Két dobókockával egyszerre dobunk. Legyen az A esemény, hogy mindkét dobás páros, a B esemény pedig, hogy a dobott pontok összege hatnál nem nagyobb. Függetlenek-e az események?

Megnézem, hogyan kell megoldani


13.

a) Két dobókockával egyszerre dobunk. Legyen az A esemény, hogy a dobott pontok összege legalább tíz, a B esemény pedig, hogy a dobott pontok szorzata páros. Függetlenek-e az események?

b) Két dobókockával egyszerre dobunk. Legyen az A esemény, hogy a dobott pontok összege páros, a B esemény, hogy a dobások egyike sem nagyobb háromnál. Függetlenek-e az események?

c) Két dobókockával egyszerre dobunk. Legyen az A esemény, hogy a dobott pontok összege páros, a B esemény, hogy a dobott pontok szorzata páros. Függetlenek-e az események?

d) Két dobókockával egyszerre dobunk. Legyen az A esemény, hogy van páros dobás, a B esemény, hogy a dobott pontok összege négynél nem nagyobb. Függetlenek-e az események?

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. 

a) Tudjuk, hogy

\( P(A)=0,6 \quad P(A \cup B)=0,8 \quad P(A \cap B)=0,1 \)

\( P(B)=\; ? \)

b) Tudjuk, hogy A és B függetlenek, valamint

\( P(A)=\frac{1}{3} \quad P(A \cup B)=\frac{4}{9} \)

\( P(B)=\; ? \quad P(\overline{A} \cup \overline{B})= \; ? \)

c) Tudjuk, hogy A és B egymást kizáróak, valamint

\( P(A)=\frac{1}{3} \quad P(A \cup B)=\frac{4}{9} \)

\( P(B)=\; ? \quad P(\overline{A} \cup \overline{B})= \; ? \)

d) Tudjuk, hogy $P(A)=0,4$ és $P(B)=0,7$. Kizáró-e A és B?

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. 

a) Négy kockával dobunk. Mekkora valószínűséggel dobunk az egyik kockával 4-est, ha a dobott pontok összege 7?

b) Tudjuk, hogy

\( P(A | B)=0,2 \quad P(A)=0,4 \quad P(A \cup B)=0,8 \)

\( P(B)= \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. 

a) Tudjuk, hogy

\( P(A)=0,6 \quad P(A|B)=0,3 \quad P(B|A)=0,1 \)

\( P(B)= \; ? \)

b) Tudjuk, hogy

\( P(A|B)=0,5 \quad P(B|A)=0,1 \quad P(A \cup B)=0,9 \)

\( P(B)= \; ? \)

c) Tudjuk, hogy A és B események függetlenek, valamint

\( P(A)=\frac{1}{3} \quad P(A \cup B)=\frac{2}{3} \)

\( P(B)=\; ? \quad P(\overline{A} \cup \overline{B})= \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt röviden és érthetően elmeséljük a valószínűségszámítás alapjait. Megnézzük mik azok az elemi események, hogyan kell kiszámolni események valószínűségét. Események, Elemi események, Valószínűségek, Klasszikus valószínűségszámítás, Eseménytér, Metszet, Unió. Megnézzük, mikor független és mikor kizáró két esemény. Feladatokat is nézünk független és kizáró eseményekre. Függetlenség, Független események, Kizáró események, Eseményalgebra. Innen azt is megtudhatod, hogy mi az a feltételes valószínűség és, hogyan kell kiszámolni. Feltételes valószínűség, A feltéve B, Feltételes valószínűség tétele, A feltételes valószínűség kiszámolása, Feltételes valószínűség feladatok megoldással. Végül pedig egy egészen szuper kombinatorikai összefoglalót találsz, amiből kiderül, mikor kell permutációval, mikor kell variációval és mikor kell kombinációval számolni. Ezután következik egy Nagy kombinatorika összefoglaló, Permutáció, Variáció, Kombináció, Klasszikus valószínűség, Kedvező/összes, Kombinatorika feladatok megoldással, Középiskolai matek felelevenítése. Végül pedig következnek tipikusan olyan valszám feladatok, amik a középszintű matek érettségin évről évre mindig elfordulnak. Emiatt mindenképpen érdemes megnézni őket.



Események, valószínűségek

Megismerkedünk a valószínűségszámítás alapjaival, hogy mik azok a valószínűségek, hogyan kell őket kiszámolni, megnézzük mi az a klasszikus valószínűség és, hogy még milyen nem klasszikus valószínűségek lehetnek. Kezdjük egy nagyon egyszerű dologgal. Ezek tulajdonképpen a középiskolás matematika tananyag összefoglalását és átismétlését jelentik. A középiskolás matek addig jut el, hogy klasszikus valószínűségszámítás a kedvező/összes módszerrel, illetve minimálisan érinti a függetlenség, kizáróság témáját. Mi a középiskolai matekot elég hamar magunk mögött hagyva egészen valószínűségszámítás feladatokkal fogunk majd foglalkozni. Kezdjük is. Van egy dobókockánk, dobunk vele egyszer és nézzük meg milyen események történhetnek. 

Lehet, hogy 1-est dobunk.

Aztán az is lehet, hogy 2-est.

Aztán az is lehet, hogy mielőtt megállna a kocka egy meteorit csapódik a földbe és a kockával együtt az egész emberiséget elpusztítja.

Nos ebben az esetben a dobás érvénytelen. Mi most kezdetben csak azokkal a lehetőségekkel fogunk foglalkozni, amikor a dobás érvényes, vagyis a hat szám közül valamelyik.

Ezt klasszikus valószínűségszámításnak nevezzük és egy ideig ezzel fogunk foglalkozni, a meteoritok majd csak később jönnek.

Összesen tehát hat darab eset van. Ezeket az eseményeket elemi eseményeknek nevezzük.

Vannak olyan események is amik több elemi eseményből épülnek föl. Ilyen például az, hogy párosat dobunk.

Vagy, hogy 2-nél nagyobbat.

Az eseményeket az ABC nagy betűivel jelöljük. 

Minden eseménynek van egy valószínűsége, amit úgy kapunk meg, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.

Így aztán minden valószínűség egy 0 és 1 közti szám.

A meglévő eseményeinkből újabb eseményeket készíthetünk.

Lássuk mekkora ezeknek a valószínűsége.

Nos ezeket érdemes megjegyezni, most pedig folytassuk valami érdekesebbel.

Az A és B eseményt egymástól függetlennek nevezünk, ha teljesül rájuk, hogy

Az előző dobókockás példánkban az A esemény az volt, hogy párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Nézzük meg, hogy ezek függetlenek-e.

Ez jónak tűnik, úgyhogy az A és B események tehát függetlenek.

Itt van aztán egy C esemény is.

Nézzük meg, hogy vajon B és C függetlenek-e.

Hát nem.

Az A és B eseményt kizárónak nevezünk, ha

Nézzük meg mi a helyzet a példánkban szereplő eseményekkel.

Nos úgy látszik ezek nem kizárók.

A és C viszont kizárók.

Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik.

Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?

A két esemény akkor független, ha

Nos lássuk csak mennyi lehet .

A jelek szerint tehát nem függetlenek.

És egyébként nem is kizárók, mert

Egy másik biztosítónál az ügyfelek 80%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen.

Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?

Nos van egy ilyen, hogy

Tehát az ügyfelek 2/3-ának vagyis 66%-nak van lakásbiztosítása.

Ez igazán remek, most pedig folytassuk valami egészen érdekessel.


Fatal error: Allowed memory size of 201326592 bytes exhausted (tried to allocate 32 bytes) in /home/maths/public_html/live/includes/database/database.inc on line 2171


Független és kizáró események

Megismerkedünk a valószínűségszámítás alapjaival, hogy mik azok a valószínűségek, hogyan kell őket kiszámolni, megnézzük mi az a klasszikus valószínűség és, hogy még milyen nem klasszikus valószínűségek lehetnek. A középiskolai matek felelevenítésével kezdjük, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Kezdjük tehát a középiskolai matematika tananyag összefoglalását és átismétlését. A középiskolás matek addig jut el, hogy klasszikus valószínűségszámítás a kedvező/összes módszerrel, illetve minimálisan érinti a függetlenség, kizáróság témáját. Mi a középiskolai matekot elég hamar magunk mögött hagyva egészen valószínűségszámítás feladatokkal fogunk majd foglalkozni. Kezdjük is.A meglévő eseményeinkből újabb eseményeket készíthetünk.

Lássuk mekkora ezeknek a valószínűsége.

Nos ezeket érdemes megjegyezni, most pedig folytassuk valami érdekesebbel.

Az A és B eseményt egymástól függetlennek nevezünk, ha teljesül rájuk, hogy

Az előző dobókockás példánkban az A esemény az volt, hogy párosat dobunk, a B esemény pedig az, hogy 2-nél nagyobbat. Nézzük meg, hogy ezek függetlenek-e.

Ez jónak tűnik, úgyhogy az A és B események tehát függetlenek.

Itt van aztán egy C esemény is.

Nézzük meg, hogy vajon B és C függetlenek-e.

Hát nem.

Az A és B eseményt kizárónak nevezünk, ha

Nézzük meg mi a helyzet a példánkban szereplő eseményekkel.

Nos úgy látszik ezek nem kizárók.

A és C viszont kizárók.

Egy biztosítónál az ügyfelek 70%-ának van autóbiztosítása, 60%-ának lakásbiztosítása és 90%-uknak a kettő közül legalább az egyik.

Legyen az A esemény, hogy egy ügyfélnek van autóbiztosítása a B esemény pedig, hogy van lakásbiztosítása. Független-e a két esemény?

A két esemény akkor független, ha

Nos lássuk csak mennyi lehet .

A jelek szerint tehát nem függetlenek.

És egyébként nem is kizárók, mert

Egy másik biztosítónál az ügyfelek 80%-ának van autóbiztosítása és az ügyfelek 20%-a rendelkezik lakásbiztosítással úgy, hogy autóbiztosítása nincsen.

Hány százalékuknak van lakásbiztosítása, ha az autó és lakásbiztosítás egymástól független?

Nos van egy ilyen, hogy

Tehát az ügyfelek 2/3-ának vagyis 66%-nak van lakásbiztosítása.

Ez igazán remek, most pedig folytassuk valami egészen érdekessel.

Van egy dobókockánk, amivel egyszer dobunk. Az A esemény legyen az, hogy páratlant dobunk, a B esemény pedig az, hogy 3-nál nagyobbat.

Az A esemény valószínűségét a szokásos módon kapjuk meg.

Megszámoljuk hány esetben következik be és ezt elosztjuk az összes eset számával.

Eddig ebben nincsen semmi izgalmas.

Az izgalmak most jönnek.


A feltételes valószínűség

A középiskolai matek felelevenítésével kezdjük, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Kezdjük tehát a középiskolai matematika tananyag összefoglalását és átismétlését. 

Nézzük meg, hogy vajon mekkora lesz az A esemény valószínűsége akkor, ha a B eseményről tudjuk, hogy biztosan bekövetkezik.

Nos ekkor összesen csak 3 eset van, mert a B esemény biztosan bekövetkezik,

a kedvező eset pedig a páratlan dobás, ami ezek közül egy.

Ez az új valószínűség tehát 1/3 és a következő jelölés van rá forgalomban:

ami kérdés     tuti

Ezt úgy mondjuk, hogy A feltéve B és arra a kérdésre ad választ, hogy mekkora sansza van az A eseménynek akkor, ha a B esemény biztosan bekövetkezik.

FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG

Az A esemény valószínűsége , ha a B esemény biztosan bekövetkezik:

Nézzük mire lehet mindezt használni.

Egy városban 1000 emberből átlag 350-en dohányoznak, 120-an rendelkeznek valamilyen keringési problémával és 400-an vannak, akik a kettő közül legalább az egyik csoportba tartoznak.

A reggeli hírműsorokat egy felmérés szerint a TV nézők 30%-a nézi. A reggeli és esti hírműsorok közül legalább az egyiket a TV nézők 90%-a megnézi

Ha egy lakosnak keringési problémái vannak, mekkora a valószínűsége, hogy dohányzik?

A=dohányzik

B=keringési probléma

Lássuk a feladatot.

Keringési probléma biztos, dohányzás kérdéses.

Vannak aztán itt ezek a képletek.

Egy keringési problémával rendelkező lakos tehát 0,583 valószínűséggel dohányzik.

Itt jön egy másik nagyon izgalmas történet.

A reggeli és esti hírműsorok közül legalább az egyiket egy felmérés szerint a TV nézők 90%-a megnézi. Aki az esti hírműsort nézi 20% eséllyel már reggel is nézett hírműsort. A reggeli hírműsorokat az összes TV néző 30%-a nézi.

Mi a valószínűsége, hogy ha valaki reggel néz hírműsort akkor este is?

A=reggel néz

B=este néz

Próbáljuk meg felírni a kérdést:

reggel néz: biztos

este néz:kérdéses

Eddig jó.

Lássuk mi az amit tudunk.

este tuti

reggel 20% eséllyel

Vannak aztán itt ezek a képletek.

 A reggeli és esti hírműsorok közül legalább az egyiket a TV nézők 90%-a megnézi.


Klasszikus valószínűségszámítás feladatok

Itt az ideje, hogy készítsünk egy rövid kombinatorikai összefoglalót. A középiskolai matek felelevenítésével kezdjük, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást és kombinatorikát. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Kezdjük tehát a középiskolai matematika tananyag összefoglalását és átismétlését.

Van n darab elem

mindet kiválasztjuk

kiválasztunk közülük k darabot

a sorrend számít

a sorrend nem számít

PERMUTÁCIÓ

n darab különböző elem permutációinak száma n faktoriális:

mese:

Hányféleképpen ülhet le öt ember egymás mellé egy padon?

VARIÁCIÓ

n darab különböző elemből kiválasztott k darab elem permutációinak száma.

Hányféleképpen ülhet le öt ember közül három egymás mellé egy padon?

KOMBINÁCIÓ

n darab különböző elem közül kiválasztott k darab elem kombinációinak száma.

Hányféleképpen választhatunk ki öt ember közül hármat?

Ez mind nagyon szép. Most pedig lássunk néhány kombinatorika feladatot megoldással. Mindegyik feladat egyszerű középiskolai matek feladat, egyik sem nehezebb, mint amilyennel a matek érettségin találkozhatunk. Nekünk azért fontosak ezek a kombinatorika feladatok, mert sok izgalmas dolog épül majd az alap kombinatorikára és az alap középiskolai matek tudásra. Lássuk.

Egy 52 lapos francia kártyából kihúzunk 5 lapot.

Mi a valószínűsége, hogy az első és a harmadik lap ász?

kedvező eset

összes eset

Kezdjük az összes esettel.

Az 52 lap közül választunk ki 5 darabot. A kérdés az, hogy számít-e a sorrend

vagy nem.

Mivel a szövegben ilyenek vannak, hogy első lap, meg harmadik lap, a jelek szerint számít a sorrend.

Most lássuk a kedvező eseteket.

Az első lap ász, ez négyféle lehet.

A következő lap elvileg bármi lehet a maradék 51 lapból.

Aztán a harmadik lapnak megint ásznak kell lennie.

Lássuk csak hány ász van még.

Fogalmunk sincs. Ha ugyanis a második helyre is ászt raktunk, akkor már csak kettő.

De ha a második helyre nem, akkor három.

Ez bizony probléma.

A kedvező eset számolásánál mindig a kívánsággal kell kezdeni.

Most tehát azzal, hogy az első lap ász és a harmadik lap is ász.

Utána jöhetnek a többi lapok.

Van még 50 darab lap a második helyre.

Aztán még 49 és 48.

Mi a valószínűsége, hogy csak az első és a harmadik lap ász?

Most is számít a sorrend.

Az összes eset ugyanannyi,mint az előbb.

Lássuk mi van a kedvezőkkel.

Megint a kívánsággal kezdünk.

De most csak ez a két ász van, tehát a második lap nem lehet ász.

Így csak 48 féle lehet.

Aztán 47 és 46.

Mi a valószínűsége, hogy a lapok közt két ász lesz?

Itt nem számít a sorrend ezért kombinációt használunk.

A 4 ászból ki kell húznunk kettőt.

Aztán pedig kell még 3 lap ami már nem ász.

Hát ez remek. Végül nézzünk meg még egy feladatot.

Egy kosárlabdacsapat 9 játékosból áll, közülük öten vannak egyszerre a pályán.

Mekkora a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos egyszerre van a pályán?

A kiválasztás sorrendje nem számít, csak az, hogy kiket választunk a pályára.

Így aztán kombinációra lesz szükség.

Nézzük mennyi eset van összesen.

A 9 játékosból kell kiválasztanunk ötöt.

A kedvező amikor a két legjobb a pályán van, vagyis őket mindenképp kiválasztjuk,

és még hármat.

Mi a valószínűsége, hogy a két legjobb játékos közül csak az egyik van a pályán?

Az összes eset itt is ugyanannyi.

A kedvező pedig amikor a két legjobb játékosból választunk egyet

és a többi tehetségtelen amatőr közül még négyet.


Újabb remek klasszikus valszám feladatok

Klasszikus valszám feladat kockákkal

Újabb izgalmas valszám feladatok

Két dobókockával egyszerre dobunk. Mi a valószínűsége, hogy

mindkét dobás páros?
legfeljebb az egyik dobás páros?
a dobott pontok szorzata páros?
a dobott pontok összege páros?
a dobott pontok összege legalább 10?
a dobott pontok szorzata 6?

Ha két kockával dobunk, akkor az egyik kockával is hatfélét tudunk dobni…

meg a másikkal is.

Az összes eset tehát 36.

Összes eset:

Most pedig lássuk a valószínűségeket.

egyik kocka: páros

másik kocka: páros

egyik kocka: páros

másik kocka: nem páros

vagy fordítva

vagy

mindkét dobás páratlan

A dobott pontok szorzata akkor lesz páros, ha mindkét dobás páros…

vagy pedig az egyik páros, a másik páratlan.

Végülis mindig páros lesz a szorzat, kivéve olyankor, amikor mindkét dobás páratlan.

Itt jön erre egy másik megoldás is.

Végülis mindig páros lesz a szorzat, kivéve olyankor, amikor mindkét dobás páratlan.

mindkettő

páratlan

Két szám összege akkor páros, ha mindkettő páros…

vagy mindkettő páratlan.

Lássuk, hogyan is lesz a pontok összege 10.

A kérdés úgy szól, hogy legalább 10, tehát az is jó, ha az összeg 11.

És az is jó, ha 12.

Ez hat darab lehetőség.

Nézzük, mikor lesz a szorzat 6.

Van itt ez a két doboz. Az egyikben 4 darab kártya van, a másikban pedig 5.

Véletlenszerűen húzunk mindkét dobozból egy-egy kártyát.

Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott kártyákon lévő számok szorzata negatív?

Akkor lesz a szorzat negatív, ha az egyik kártyán pozitív szám van…

és a másikon negatív.

Vagy fordítva.

Az összes eset pedig…

Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott kártyákon lévő számok összege páratlan?

Akkor lesz az összeg páratlan, ha az egyik kártyán páros szám van…

a másikon pedig páratlan.

Vagy fordítva.

Öt kockával egyszerre dobunk. Mekkora valószínűséggel lesz mind az öt dobás 1-es?

Annak a valószínűsége, hogy egy dobás 1-es:

Ha van még egy 1-es, akkor ennek az esélye szintén

A két 1-es egyszerre pedig:

A dobások egymástól függetlenek és ilyenkor a valószínűségeket össze kell szorozni.

Aztán, ha dobunk még egy 1-est…

Annak a sansza, hogy mind az öt dobás 1-es:

Most nézzük, mi a valószínűsége annak, hogy öt kockával dobva egyik dobás sem 1-es.

Ez annak a valószínűsége, hogy egy dobás nem 1-es.

Aztán a következő dobás sem 1-es…

és egyik sem.

Végül számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy öt kockával dobva legalább egy dobás 1-es.

Ez azt jelenti, hogy vagy egy darab 1-es van…

vagy két darab…

vagy három, vagy négy, vagy öt.

Ezt így külön-külön kiszámolni eléggé sok szenvedéssel járna.

Aki nem annyira szeret szenvedni, jegyezze meg, hogy

Hát, ennyit a kockákról.

Egy városban 0,2 a valószínűsége annak, hogy egy nap esik az eső. Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten mindennap esik?

Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten egyik nap sem esik?

Mekkora a valószínűsége, hogy egy héten legalább egy nap esik?

Egy vizsga 100 vizsgázóból átlag 26-nak nem sikerül. Egyik nap 12-en vizsgáznak. Mi a valószínűsége, hogy legalább egy vizsgázónak nem sikerül a vizsga?

Itt van például Bob.

Nézzük, mekkora a valószínűsége, hogy nem sikerül a vizsgája.

Annak a sansza pedig, hogy sikerül…

Most pedig jön a szokásos trükk:


FELADAT | Klasszikus valszám

FELADAT | Független események

FELADAT | Klasszikus valszám

FELADAT | Klasszikus valszám

FELADAT | Klasszikus valszám

FELADAT | Független és kizáró események

FELADAT | Feltételes valószínűség

FELADAT | Feltételes valószínűség

FELADAT | Független és kizáró események