Most egy nagyon izgalmas dologgal, a mátrixok inverzével fogunk foglalkozni.

Az -es mátrix inverze egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy

A mátrixok szorzása nem kommutatív, tehát ha a szereplőket megcseréljük,

akkor lehet, hogy valami egészen más mátrixszal kell az -t szorozni ahhoz, hogy az egységmátrixot kapjuk.

Mindkét mátrixot inverznek nevezzük

ilyenkor jobb oldali inverz

ilyenkor bal oldali inverz

Az -es mátrixoknak azonban megvan az a remek tulajdonsága,

hogy a szorzás sorrendje az inverznél mindegy, vagyis

Tehát a jobb és bal inverz ilyenkor megegyezik.

Mi most ilyen -es mátrixok inverzét fogjuk kiszámolni,

és maradjunk ennél a sorrendnél.

Itt van például egy mátrix:

Próbáljuk meg kiszámolni az inverzét.

Egy olyan mátrixot kell találnunk, hogy az eredeti mátrixszal megszorozva az egységmátrixot kapjuk.

A kérdőjelek nem igazán segítenek a válasz megtalálásában.

Írhatnánk helyette betűket, hogy a, b, c, meg ilyenek.

Vagy hívhatnánk az elemeit a szokásos jelöléssel úgy, hogy meg meg stb.

De inkább egy másfajta jelölést fogunk használni, és hamarosan az is kiderül majd, hogy

miért.

A kettős indexezés túl bonyolult, ezért legyen csak , és .

Az oszlopokat pedig színekkel különböztessük meg.

Ez volna tehát az inverz mátrix. Már csak azt kell kiszámolni, hogy mennyi , és

Ehhez végezzük el a szorzást!

A dolog picit bonyolultnak tűnik, de csak első ránézésre.

Bármi legyen is az inverz mátrix, az elemeire teljesülnie kell ennek a három egyenletrendszernek.

Oldjuk őket meg! Ehhez elvileg három külön táblázatra van szükségünk.

Valójában elég egyetlen táblázat.

A három egyenletrendszert tehát egyszerre oldjuk meg, a szokásos bázistranszformációval.

A bázistranszformáció lépéseit most nem részletezzük, minden pontosan úgy megy, ahogyan eddig. Aki esetleg úgy érzi, hogy elhomályosultak az emlékei ezzel kapcsolatban, az nézze meg a bázistranszformációról szóló részt.

A kapott megoldás éppen az inverz.

Csak annyi dolgunk van, hogy

sorba rakjuk a sorokat:

Az inverz kiszámolása valójában tehát rettentő egyszerű. Itt van mondjuk ez a mátrix:

Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot, a szokásos táblázatba,

és mellé írjuk az egységmátrixot.

Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.