23 témakör, 277 rövid és szuper érthető epizód

Ez az ütős Diszkrét matematika kurzus segít mindent azonnal megérteni és sikeresen vizsgázni. 277 rövid és szuper-érthető epizód segítségével 23 témakörön keresztül vezet végig az őrülten jó Diszkrét matematika rögös útjain. Mindezt olyan laza stílusban, mintha csak a rántotta elkészítésének problémájáról lenne szó.

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 23 szekcióból áll: Kombinatorika, Halmazok, rendezett párok, leképezések, Matematikai logika, ítéletkalkulus, Gráfelméleti alapok, Gráfok izomorfiája és síkbarajzolhatósága, Gráfok bejárása és gráfalgoritmusok, Kromatikus szám, klikk, perfekt gráfok, Gráfparaméterek, párosítások, Hálózatok, Irányított gráfok, gráfalgoritmusok irányított gráfokban, Menger tételei, többszörös összefüggőség, Páros gráfok, párosítások, Teljes indukció, Oszthatóság, Euklideszi algoritmus & Diofantoszi egyenletek, Kongruenciák, Mátrixok, Lineáris egyenletrendszerek, Determinánsok, Komplex számok, Polinomok, Interpolációs polinomok, Csoportok, gyűrűk, testek

Kombinatorika

  • -

    Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

  • -

    Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

  • -

    Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

  • -

    Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

  • -

    Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

  • -

    Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Halmazok, rendezett párok, leképezések

  • -

    Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

  • -

    A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

  • -

    Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

  • -

    Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

  • -

    Két halmaz szimmetrikus differenciája a halmazok kétféle különbségének uniója.

  • -

    A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

  • -

    Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

  • -

    Az A és B halmazok Descartes-szorzata úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból, a második elemét pedig B-ből vesszük, és ezeket a rendezett párokat betesszük egy halmazba.

  • -

    Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár és minden x-hez csak egy y tartozik.

Matematikai logika, ítéletkalkulus

Gráfelméleti alapok

  • -

    A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.

  • -

    Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.

  • -

    Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

  • -

    A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.

  • -

    Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.

  • -

    Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.

  • -

    Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.

  • -

    Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.

Gráfok izomorfiája és síkbarajzolhatósága

  • -

    Minden gráfban a csúcsok fokszámainak összege az élek számának a kétszerese.

  • -

    A $G$ gráf egy $( V(G), E(G) )$ rendezett pár, ahol $V(G)$ egy nem üres halmaz, $E(G)$ pedig a $V(G)$-ből képezhető párok egy halmaza.

  • -

    Ha egy élsorozat ugyanabból a csúcsból indul, mint ahova érkezik, akkor körsétának nevezzük.

  • -

    Azokat az élsorozatokat, amelyek a gráf semelyik pontján nem haladnak át többször, útnak nevezzük.

  • -

    A nem összefüggő körmentes gráfok neve erdő.

  • -

    Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

  • -

    Egy gráf komplementere azt a gráfot jelenti, aminek csúcsai ugyanazok, mint az eredeti gráfnak, és két csúcs pontosan akkor szomszédos benne, ha az eredeti gráfban nem.

  • -

    Két gráf izomorf, ha van köztük bijekció.

  • -

    Egy 5 lépésből álló titkos recept a gráfok izomorfiájának vizsgálatához.

  • -

    Két gráf akkor topologikusan izomorf, ha topologikusan ekvivalens lépések egymás utáni alkalmazásával el tudjuk érni, hogy a két gráf izomorf legyen.

  • -

    A Kuratowski-tétel szerint egy gráf pontosan akkor nem síkbarajzolható, ha tartalmaz $K_{3,3}$-mal vagy $K_5$-tel topológiailag izomorf részgráfot.

  • -

    Egy gráf síkbarajzolható, ha lerajzolható úgy, hogy élei csak a csúcspontokban találkozzanak.

  • -

    Ha egy gráf síkbarajzolható, akkor az élek számának kisebbnek vagy egyenlőnek kell lennie a csúcsok számának 3-szorosa minusz 6-nál.

  • -

    Az Euler-féle poliéder-tétel azt mondja, hogy egy konvex poliéder csúcsainak számának és lapjainak számának összege megegyezik az élek száma plusz kettővel.

  • -

    A síkbarajzolhatóság feltétele, ha egy egyszerű gráfban minden kör legalább k hosszú.

Gráfok bejárása és gráfalgoritmusok

  • -

    Egy gráf feszítőfája a gráf minden csúcsát tartalmazó fa részgráf.

  • -

    A Kruskal algoritmus segítségével minimális feszítőfát lehet megtalálni.

  • -

    A minimális feszítőfa egy gráfban a legkisebb élsúlyú feszítőfa.

  • -

    Gráfok egy adott pontjából való feltérképezésére alkalmas módszer a szélességi keresés (BFS = Breadth-first search).

  • -

    A DFS algoritmus lényege, hogy elindulunk egy úton, és megyünk, amíg csak tudunk.

  • -

    A BFS és DFS algoritmusok végrehajtása során a gráfnak egy-egy feszítőfáját kapjuk. Ezeket nevezzük BFS és DFS fának.

  • -

    Egy gráf csúcsainak bejárására van egy nagyon speciális módszer, amit Hamilton körnek nevezünk, és az a lényege, hogy egy olyan körön haladunk végig a gráfban, amely a gráf összes pontját tartalmazza.

  • -

    A Hamilton út egy olyan út, amely a gráf minden csúcsát tartalmazza.

  • -

    A Dirac-tétel azt mondja ki, hogy ha egy $G$ egyszerű, $n \geq 3$ csúcsú gráfban minden csúcs foka legalább $\frac{n}{2}$, akkor a gráfban van Hamilton kör.

  • -

    Az Ore-tétel egy feltétel Hamilton kör létezésére.

Kromatikus szám, klikk, perfekt gráfok

  • -

    A legkevesebb színt, amivel egy gráf csúcsait kiszinezhetjük úgy, hogy a szomszédos csúcsok ne legyenek egyforma színűek, a gráf kromatikus számának nevezzük.

  • -

    Egy $G$ egyszerű gráfban klikknek nevezzük azokat a részgráfokat, amelyek teljes gráfok.

  • -

    Egy gráf klikkszáma a gráfban található maximális klikk elemszáma.

  • -

    A $G$ gráfban a $G'$ részgráf feszített részgráf, ha bármely két csúcs a $G'$ gráfban pontosan akkor szomszédos, ha $G$-ben is szomszédos.

  • -

    Ha egy gráf minden feszített részgráfája igaz, hogy azok kromatikus száma egyenlő a klikkszámával, akkor a gráf perfekt.

  • -

    Egy gráf kromatikus száma a gráf klikkszáma és a gráf maximális fokszáma plusz egy közé esik.

  • -

    A mohó színezés egy algoritmus a gráfok színezésére.

  • -

    A Brooks-tétel egy felső becslés a kromatikus számra.

  • -

    Egy $G$ gráfban azt a legkisebb számot, amire a gráfnak már van jó élszínezése, a $G$ gráf élkromatikus számának nevezzük.

  • -

    A Vizing-tétel a gráfok élkromatikus számára ad alsó és felső becslést.

  • -

    Az intervallumgráf egy olyan gráf, melynek csúcsai megfeleltethetőek a valós számok egy-egy intervallumának, és két csúcs között akkor vezet él, ha a nekik megfeleltethető két intervallum metszete nem üres.

  • -

    Egy gráfot páros gráfnak nevezünk, ha csúcsainak halmaza felbontható két diszjunkt részhalmazra, úgy hogy a két halmazon belül nem vezetnek élek, csak köztük.

  • -

    A Mycielski-gráfok olyan gráfok, amelyek klikkszáma 2, a kromatikus számuk pedig bármilyen nagy lehet.

Gráfparaméterek, párosítások

  • -

    A független ponthalmaz precíz definíciójára mindjárt kettő is van.

  • -

    Ha vesszük egy gráfban a maximális számú független pontokat és a minimális számú lefogó pontokat, akkor épp megkapjuk a gráf összes pontját.

  • -

    Egy $G$ gráfban a $T \subset V(G)$ ponthalmaz lefogó ponthalmaz, ha $G$ minden élének legalább az egyik végpontja $T$-ben van.

  • -

    Egy $G$ gráf éleinek $M$ részhalmaza független élhalmaz, ha $M$ semelyik két elemének nincs közös végpontja.

  • -

    Ha vesszük egy gráfban a minimális számú lefogó éleket, és a maximális számú független éleket, akkor a gráf minden pontjához pontosan egy él fog tartozni.

  • -

    Egy $G$ gráf éleinek $R$ részhalmaza lefogó élhalmaz, ha a gráf minden csúcsa valamelyik $R$-beli él végpontja.

  • -

    A lefogó élhalmaz mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a független ponthalmaz. A lefogó ponthalmaz mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a független élhalmaz.

  • -

    Egy $G$ gráfban az $E(G)$ élhalmaznak egy $M$ részhalmazát párosításnak nevezzük, ha $M$ semelyik két elemének nincs közös végpontja.

  • -

    Egy élsorozat akkor lesz egy párosítás javító útja, ha a következő 3 feltétel teljesül rá.

  • -

    Azokat a párosításokat nevezzük teljes párosításoknak, ami a gráf összes csúcsát lefedi.

  • -

    Egy $G$ gráf akkor és csak akkor páros, ha minden $G$-ben szereplő kör páros hosszúságú.

  • -

    Egy gráfban akkor és csakis akkor létezik teljes párosítás, ha bárhogyan hagyunk el a gráfból néhány pontot, a megmaradt gráfban a páratlan komponensek száma nem több az elhagyott pontok számánál.

Hálózatok

  • -

    A Ford-Fulkerson algoritmus egy olyan algoritmus, amit a maximális folyam megkeresésére használunk.

  • -

    Legyen $X$ egy részhalmaza a gráfnak, ami tartalmazza $S$-t. Ekkor az $X$ és a többi csúcs alkotta részgráf (amik nincsenek benne az $X$-ben) közötti éleket vágásnak nevezzük.

  • -

    Egy vágás kapacitása a vágásban szereplő élek kapacitásainak összege.

  • -

    Irányított gráfban egy él kapacitása az a nem negatív valós szám, amit hozzá rendelünk az élhez.

  • -

    A hálózatban folyamnak nevezünk egy olyan függvényt, amely az élekhez rendel hozzá pozitív valós számokat és amire teljesül, hogy az egy csúcsba befolyó mennyiség megegyezik a csúcsból kifolyóval.

  • -

    A folyam értékén az S-ből kifolyó és S-be befolyó mennyiségek különbségét értjük.

  • -

    A Ford-Fulkerson tétel azt mondja ki, hogy egy hálózatban a maximális folyam mindig megegyezik a minimális vágással.

  • -

    A $(G, S, T, c)$ egy hálózat.

  • -

    Mindig létezik egy olyan út, ami csak azokon a pontokon halad át, ahol a tartalékidő nulla, és az út hossza megegyezik a teljes folyamat hosszával. Ezt az utat kritikus útnak nevezzük.

Irányított gráfok, gráfalgoritmusok irányított gráfokban

  • -

    A DFS algoritmusnak az a lényege, hogy kiindulunk egy csúcsból, és megyünk ameddig tudunk.

  • -

    A DFS algoritmus eredményeként kapjuk a DFS-fát.

  • -

    A BFS-algoritmus lényege, hogy kiindulunk egy csúcsból, aztán megkeressük a közvetlen szomszédjait. Innen folytatódik az algoritmus, és az új csúcsoknak keressük meg a szomszédjait.

  • -

    A BFS algoritmus eredményeként kapjuk a BFS-fát.

  • -

    A Dijkstra algoritmus lényege, hogy kiválasztunk egy pontot, és ebből a pontból kiindulva csúcsról csúcsra haladva felderítjük az egész gráfot.

Menger tételei, többszörös összefüggőség

  • -

    Egy $G$ gráf $k$-szorosan élösszefüggő, ha bárhogyan hagyunk el belőle $k$-nál kevesebb élt, a maradék gráf összefüggő marad.

  • -

    Egy $G$ gráf $k$-szorosan pontösszefüggő, ha legalább $k+1$ pontja van és bárhogyan hagyunk el belőle $k$-nál kevesebb pontot, a maradék gráf összefüggő marad.

  • -

    Menger tételei egy G irányított gráfban lévő élidegen és pontidegen utak maximális számáról szólnak.

Páros gráfok, párosítások

  • -

    Hall tétele arról szól, hogy egy $G(A,B,E)$ páros gráfban mikor létezik $A$-t fedő párosítás.

  • -

    Frobenius tétele arról szól, hogy mikor létezik egy gráfban teljes párosítás.

Teljes indukció

  • -

    A teljes indukció egy bizonyítási módszer, ami olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek n pozitív egész számtól függenek.

Oszthatóság

  • -

    Két számok legnagyobb közös osztója az a szám, amelyik mindkét számot osztja és ezek közül a legnagyobb.

  • -

    Néhány izgalmas oszthatósági szabály.

  • -

    Két szám relatív prímek, ha a legnagyobb közös osztójuk 1.

  • -

    Ha két egymást követő páratlan szám prímszám, akkor azokat ikerprímeknek nevezzük.

  • -

    Azokat a számokat, amelyeknek az egységszorzón és önmagukon kívül nincsen más pozitív egész osztója, prímeknek nevezzük.

  • -

    A nullától és az egységszorzóktól különböző összes $n$ egész szám felbontható prímek szorzatára a sorrendtől és az egységszeresektől eltekintve egyértelműen.

  • -

    Egy $q$ szám felbonthatatlan, ha nem létezik olyan egységtől különböző $a$ és $b$ szám, hogy $q=ab$

  • -

    Egy $p$ szám akkor prím, ha $p$ oszt egy szorzatot, akkor csak az egyik szorzótényezőnek lehet osztója.

  • -

    Milyen maradékot adnak a négyzetszámok 3-mal, 4-gyel illetve 5-tel osztva.

  • -

    Két n-edik hatvány összegének és különbségének osztója.

Euklideszi algoritmus & Diofantoszi egyenletek

  • -

    Az euklideszi algoritmus egy formányos módszer két szám legnagyobb közös osztójának kiszámolására.

  • -

    A Diofantoszi egyenletek olyan egész együtthatós kétismeretlenes egyenletek, amelyek megoldásait az egész számok halmazán keressük.

Kongruenciák

  • -

    Ha $a$ és $b$ ugyanazt a maradékot adja $m$-mel osztva, akkor azt mondjuk, hogy $a$ és $b$ kongruensek modulo $m$.

  • -

    A kongruencia reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

  • -

    Két szám akkor kongruensek mod m, ha m osztja a két szám különbségét.

  • -

    Kongruenciák szorzása és osztása egy egész számmal.

  • -

    Egy adott $m$ modulus esetén az $a$-val kongruens elemek halmazát az $a$ által reprezentált maradékosztálynak nevezzük.

  • -

    Egy mod $m$ modulus esetén az $m$-hez relatív prím elemekből álló maradékosztályokat redukált maradékosztálynak nevezzük.

  • -

    Az euler féle $ \varphi$ függvény azt adja meg, hogy hány $m$-nél nem nagyobb, $m$-hez relatív prím pozitív szám létezik.

  • -

    A kis Fermat-tétel általánosítása.

  • -

    A kis Fermat-tétel szerint ha veszünk egy $a$ egész számot és azt $p$-edik hatványra emeljük, ahol $p$ prímszám, akkor ez a hatvány $p$-vel osztva $a$ maradékot ad.

  • -

    A lineáris kongruenciák olyan kongruenciák, amikben x is szerepel.

  • -

    Lineáris kongruenciák megoldásának lépései.

  • -

    Az RSA lényege, hogy a titkosítás kulcsa nyilvános, vagyis azt bárki ismerheti. Csak a dekódolás kulcsa az, ami titkos.

Mátrixok

  • -

    mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

  • -

    Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

  • -

    Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

  • -

    Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

  • -

    A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

  • -

    A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

  • -

    A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

  • -

    Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

  • -

    Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

  • -

    A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

  • -

    Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

  • -

    A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

  • -

    Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

  • -

    skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

  • -

    Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

  • -

    Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

  • -

    Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

  • -

    Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

Lineáris egyenletrendszerek

Determinánsok

  • -

    Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.

  • -

    A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.

  • -

    Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.

  • -

    Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.

  • -

    Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.

  • -

    Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

  • -

    Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

  • -

    A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.

  • -

    Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

  • -

    Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..

  • -

    Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.

  • -

    Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.

  • -

    Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.

  • -

    Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.

  • -

    Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

  • -

    Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...

  • -

    A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.

Komplex számok

Interpolációs polinomok

  • -

    Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire.

  • -

    A Lagrange-féle interpolációs polinom megadja azt a polinomot, amely $x_1$-ben $y_1$-et, $x_2$-ben $y_2$-t és így tovább $x_n$-ben $y_n$ értéket vesz föl.

  • -

    A Newton interpoláció első lépése, hogy elkészítjűk az úgynevezett Newton-együtthatókat. Ezt követően ezek segítségével állítjuk elő a polinomot.

  • -

    A Hermite interpoláció abban különbözőik a Lagrange és Newton féle interpolációktól, hogy az $x_1, x_2, \dots , x_n$ helyeken nem csak az eredeti polinom-függvény értékeit, hanem a deriváltjait is nézzük.

  • -

    Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire. Ennek hibájának a megbecsléséhez van egy remek képlet.

Csoportok, gyűrűk, testek

  • -

    A kommutatív csoportokat Abel-csoportnak nevezzük.

  • -

    Azokat a nem üres halmazokat, amelyekben értelmezve van egy művelet, és ez a művelet asszociatív, létezik benne egységelem, és minden elemnek létezik benne inverze, csoportnak nevezzük.

  • -

    Azt az elemet, amely a művelet elvégzése során mindenkit változatlanul hagy, egységelemnek nevezzük.

  • -

    Egy elem akkor lesz inverz, ha azt tudja, hogy a művelet elvégzése során az eredeti elemből egységelemet csinál.

  • -

    Egy csoportot ciklikus csoportnak nevezünk, ha előáll egyetlen elemének egész kitevős hatványaiból.

  • -

    Egy elem rendje azt a legkisebb pozitív egész kitevőt jelenti, amelyre emelve az egységelemeket kapjuk.

  • -

    Ha egy csoportban az elemeknek nincs inverze, és nincs egységelem sem, akkor félcsoportnak nevezzük.

  • -

    Egy nem üres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha értelmezve van benne egy összeadás és egy szorzás művelet. Az összeadásnak azt kell tudnia, hogy asszociatív és kommutatív. Van egységelem. Az összeadás egységelemét nullelemnek hívjuk. Minden elemnek van inverze, amit ellentettnek hívunk. A szorzásnak pedig mindössze annyit kell tudnia, hogy asszociatív. A két művelet pedig egymásra nézve disztributív:

  • -

    A kommutatív nullosztómentes gyűrűket nevezzük integritási tartománynak.

  • -

    Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmazt ideálnak nevezzük, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és minden $R$-beli és $I$-beli elem szorzata eleme $I$-nek. És mivel a szorzás nem feltétlenül kommutatív, léteznek bal és jobb ideálok.

  • -

    Az egy elem által generált ideált főideálnak nevezzük.

  • -

    Azokat a gyűrűket, amelyben minden ideál főideál, úgy hívjuk, hogy főideálgyűrű.

  • -

    Azokat a komplex számokat, ahol $a$ és $b$ egész szám Gauss egésznek nevezzük.

  • -

    A Gauss egészek gyűrűt alkotnak az összedás és szorzás műveletekkel.

  • -

    A Gauss egészek gyűrűjében prímek azok a $p_1$ és $p_2$ Gauss egészek, amelyek szorzata $4k+1$ alakú prím.

  • -

    Az $n$ szám akkor és csak akkor áll elő két négyzetszám összegeként ha kanonikus alakjában minden $4k-1$ alakú prím kitevője páros.

  • -

    Komplex szám normája az $a$ és $b$ négyzetének összege.

  • -

    Azokat a gyűrűket, amikben működik az Euklideszi algoritmus úgy hívjuk, hogy Euklideszi gyűrű.

  • -

    Azokat a gyűrűket, melyeknek van additív inverze, és a 0-tól eltekintve minden elemének van multiplikatív inverze is, testnek nevezzük.

  • -

    A rendezés reláció négy fontos tulajdonságát rendezési axiómának nevezzük.

  • -

    A 9 test axióma.

  • -

    Minden számnál van nagyobb természetes szám. Ezt az állítást Arkhimédészi-axiómaként szokás emlegetni.

  • -

    A Cantor-axióma azt mondja, hogy egymásba skatulyázott zárt intervallumok végtelen sorozatának metszete nem üres.