Matek 12. osztály
A kurzus 12 szekcióból áll: Bizonyítási módszerek, matematikai logika, A teljes indukció (emelt szint), Számtani és mértani sorozatok, Százalékszámítás és pénzügyi számítások, Térgeometria, Sorozatok határértéke (emelt szint), Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint), Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint), Deriválás (emelt szint), Függvények érintője (emelt szint), Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint), Az integrálás (emelt szint)
Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- -
Az állítás (vagy kijelentés) olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthetjük, hogy az igaz vagy hamis.
- -
Az egzisztenciális kvantor egy jelölése a "létezik" vagy "van olyan" kifejezésnek.
- -
Egy $A$ kijelentés negációja az a kijelentés, amely akkor igaz, ha $A$ hamis és akkor hamis, ha $A$ igaz.
- -
Az univerzális kvantor egy jelölése a "minden" kifejezésnek.
- -
Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkor igaz, ha legalább az egyik kijelentés igaz, különben hamis.
- -
Az ekvivalencia akkor igaz, ha $A$ és $B$ logikai értéke azonos, különben hamis.
- -
Az implikáció akkor hamis, ha $A$ igaz és $B$ hamis, minden más esetben igaz.
- -
Két kijelentés konjunkciója pontosan akkor igaz, ha mindkét kijelentés igaz, különben hamis.
- -
De Morgan azonosságok a konjunkció, diszjunkció, implikáció és ekvivalencia tagadásaira.
A teljes indukció (emelt szint)
- -
A teljes indukció egy bizonyítási módszer, ami olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek n pozitív egész számtól függenek.
Számtani és mértani sorozatok
- -
Megnézzük a számtani sorozat általános tagjának képletét, valamint a számtani sorozat összegképletét.
- -
Itt jön a mértani sorozat általános tagjának kélete és a mértani sorozat összegképlete.
Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- -
Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.
- -
A kamatos kamat számításának képlete.
Térgeometria
- -
A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.
- -
Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.
- -
Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.
- -
Kocka felszíne az oldallapjai területének összege.
- -
A kocka térfogata az oldalélének köbe.
- -
Na és itt jön a hasábok felszíne.
- -
Lássuk, hogyan kell kiszámolni a hasábok térfogatát.
- -
A henger olyan, mint a hasáb, csak nem sokszög a két párhuzamos lap, hanem kör.
- -
Képlet henger felszínére.
- -
Képlet henger térfogatára.
- -
Négyzetalapú gúla felszíne könnyebben kiszámolható.
- -
Négyzetalapú gúla térfogata könnyebben kiszámolható.
- -
Nézzük, hogyan kell kiszámolni a gúlák felszínét.
- -
Lássuk, hogyan kell kiszámolni a gúlák térfogatát.
- -
Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.
- -
Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.
- -
Ha a gömböt kettévágjuk egy olyan síkkal, ami épp átmegy a középpontján, akkor a vágás során keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával. Ezt a kört nevezzük főkörnek.
- -
A gömb egy adott ponttól (középpont) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.
- -
Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara. Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is, akkor egy átmérőt kapunk
- -
Képlet a gömb felszínére.
- -
Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara.
- -
Képlet a gömb térfogatára.
- -
Ha egy gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkagúlát kapunk.
- -
A csonkagúla felszíne könnyebben kiszámolható, ha négyzetalapú.
- -
A négyzet alapú csonkagúla térfogata egyszerűbben is kiszámolható.
- -
Képlet a csonkagúla felszínének kiszámítására.
- -
Képlet a csonkagúla térfogatának kiszámítására.
- -
Ha egy forgáskúpot az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkakúpot kapunk.
- -
Képlet a csonkakúp felszínének kiszámítására.
- -
Képlet a csonkakúp térfogatának kiszámítására.
Sorozatok határértéke (emelt szint)
- -
Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.
- -
Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.
- -
Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.
- -
Exponenciális kifejezések határértéke.
- -
Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.
Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- -
Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.
- -
A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.
- -
Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.
- -
A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.
Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- -
Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.
Deriválás (emelt szint)
- -
Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.
- -
Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.
- -
Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.
- -
Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.
Függvények érintője (emelt szint)
- -
A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.
Az integrálás (emelt szint)
- -
Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.
- -
Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.
- -
Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.
- -
A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
- -
Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.
- -
Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.