Matek 12. osztály

Az univerzális kvantor egy jelölése a "minden" kifejezésnek.

Az egzisztenciális kvantor egy jelölése a "létezik" vagy "van olyan" kifejezésnek.

Egy $A$ kijelentés negációja az a kijelentés, amely akkor igaz, ha $A$ hamis és akkor hamis, ha $A$ igaz.

Az állítás (vagy kijelentés) olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthetjük, hogy az igaz vagy hamis.

Két kijelentés konjunkciója pontosan akkor igaz, ha mindkét kijelentés igaz, különben hamis.

Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkor igaz, ha legalább az egyik kijelentés igaz, különben hamis.

Az implikáció akkor hamis, ha $A$ igaz és $B$ hamis, minden más esetben igaz.

Az ekvivalencia akkor igaz, ha $A$ és $B$ logikai értéke azonos, különben hamis.

De Morgan azonosságok a konjunkció, diszjunkció, implikáció és ekvivalencia tagadásaira.

A teljes indukció egy bizonyítási módszer, ami olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek n pozitív egész számtól függenek.

 Megnézzük a számtani sorozat általános tagjának képletét, valamint a számtani sorozat összegképletét.

Itt jön a mértani sorozat általános tagjának kélete és a mértani sorozat összegképlete.

A százalékalap az a szám, amihez a százalékszámítás során viszonyítunk. Ez jelenti mindig a 100%-ot. Ha például egy osztályba 20 gyerek jár és közülük 8 lány, 12 fiú, akkor a 20 gyerek lesz a 100%, aminek valahány százaléka lány és valahány százaléka fiú. 

A százalékláb a százalékszámításos feladatban a százalék. Ennyi százalékát kell kiszámítani a százalékalapnak.

A százalékérték a százalékalap és a százalékláb szorzata, tehát a végeredmény.

A százalékértéket megkapjuk úgy, hogy a százalékalapot és a százaléklábat összeszorozzuk.

A százalékalap a százalérték és a százalékláb hányadosa.

A százalékláb a százalékérték és a százalékalap hányadosa.

Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.

Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.

A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.

Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.

A kocka térfogata az oldalélének köbe.

Kocka felszíne az oldallapjai területének összege.

A henger olyan, mint a hasáb, csak nem sokszög a két párhuzamos lap, hanem kör.

Lássuk, hogyan kell kiszámolni a hasábok térfogatát.

Na és itt jön a hasábok felszíne.

Képlet henger térfogatára.

Képlet henger felszínére.

 Lássuk, hogyan kell kiszámolni a gúlák térfogatát.

Nézzük, hogyan kell kiszámolni a gúlák felszínét.

 Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.

Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.

Négyzetalapú gúla térfogata könnyebben kiszámolható.

Négyzetalapú gúla felszíne könnyebben kiszámolható.

A gömb egy adott ponttól (középpont) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.

Képlet a gömb térfogatára.

Képlet a gömb felszínére.

Ha a gömböt kettévágjuk egy olyan síkkal, ami épp átmegy a középpontján, akkor a vágás során keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával. Ezt a kört nevezzük főkörnek.

Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara.

Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara. Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is, akkor egy átmérőt kapunk

Ha egy forgáskúpot az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkakúpot kapunk.

Képlet a csonkakúp térfogatának kiszámítására.

Képlet a csonkakúp felszínének kiszámítására.

Ha egy gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkagúlát kapunk.

Képlet a csonkagúla térfogatának kiszámítására.

Képlet a csonkagúla felszínének kiszámítására.

A négyzet alapú csonkagúla térfogata egyszerűbben is kiszámolható.

A csonkagúla felszíne könnyebben kiszámolható, ha négyzetalapú.

Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.

Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.

Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.

Exponenciális kifejezések határértéke.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.

A sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.