6 témakör, 63 rövid és szuper érthető lecke
Ez a remek Lineáris algebra kurzus 63 rövid és szuper-érthető tananyag, 5 pdf és 5 tesztfeladatsor segítségével 6 témakörön keresztül vezet végig az izgalmas Lineáris algebra rögös útjain. Mindezt olyan könnyed stílusban, mintha csak a rántotta elkészítésének problémájáról lenne szó.
Tartalomjegyzék:
A kurzus 6 szekcióból áll: Mátrixok és vektorok, Egy kis geometria, Független és összefüggő vektorok, Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze, Determináns, sajátérték, sajátvektor, Lineáris leképezések
MÁTRIXOK
- Mátrixok - A mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.
- Mátrix műveletek - Skalárral szorzás, mátrixok összeadása, mátrixok szorzása..
- Négyzetes és diagonális mátrixok - A négyzetes mátrix azt jelenti, hogy ugyanannyi sora van, mint ahány oszlopa. A diagonális mátrix olyan négyzetes mátrix, aminek a főátlón kívüli elemei nullák.
- Transzponált - A transzponálás tükrözi a mátrixot a főátlóra. Nézzük meg, hogyan.
VEKTOROK
- Skaláris szorzat - A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.
- Vektoriális szorzat - Ez pedig egy olyan szorzás, amely a két vektorból csinál egy harmadik vektort..
- Diadikus szorzat - Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen..
- Két vektor közti szög - Két vektor által bezárt szög kiszámolása a skaláris szorzat segítségével.
EGY KIS GEOMETRIA
- Az egyenes egyenlete - Az egyenes síkbeli egyenlete és az egyenes térbeli egyenletrendszere.
- A sík egyenlete - Lássuk mi lesz a sík egyenlete - térben.
- Két pont közti vektor - Síkban és térben.
- Két pont távolsága - Síkban és térben.
VEKTORTEREK
- Az axiómák - Végre valami izgalom...
- Koordináták - A valós feletti n dimenziós vektortér jele Rn ahol n a vektorok koordinátáinak számát jelöli.
- Lineárisan független vektorok - Egy vektorrendszer elemei linárisan függetlenek, ha egyik vektor sem állítható elő a többi segítségével.
- Lineárisan összefüggő vektorok - Egy vektorrendszer elemei linárisan összefüggők, ha van olyan vektor közöttük, amelyik előállítható a többi vektor segítségével.
- Generátorrendszer - Vektorknak egy halmaza, amely segítségével minden egyéb vektortérbeli vektor előállítható. Lássuk hogyan.
- Bázis - A lineárisan független generátorrendszer.
- Alterek - W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.
- Rang - Vektorrendszer rangja és mátrix rangja.
- Gram-Schmidt ortogonalizáció - Egy remek délutáni program, amivel egy bázisból olyan bázist lehet fabrikálni, ahol a bázisvektorok egymásra merőlegesek.
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
- Együttható mátrix - Az egyenletrendszer együtthatóiból álló mátrix.
- Gauss elimináció - Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.
- Elemi bázistranszformáció - Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.
- Szabadságfok - A szabad változók száma, amelyeket nem lehet levinni a bázistranszformáció során.
- Rang - A transzformációba bevont változók száma.
- Vektorrendszer rangja - A vektorrendszerben a lineárisan független vektorok maximális száma. Lássuk hogyan számolható ki.
- Végtelen sok megoldás, általános megoldás - Mikor van az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása? Az általános megoldás kiszámolása..
- Inverz mátrix nxn-es eset - Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.
- Inverz mátrix nxk-as eset - Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.
A DETERMINÁNS, SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR
- A determináns definíciója - A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.
- Sarrus szabály - Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.
- A kifejtési tétel - Egy túl jó módszer a determináns kiszámplására.
- Szinguláris és invertálható mátrixok - Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla. Regulárisnak pedig azokat, amelyeknek nem nulla.
- A determináns tulajdonságai - Remek tulajdonságai vannak a determinánsoknak.
- Sajátvektor - Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.
- Sajátérték - Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.
- Karakterisztikus egyenlet - A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.
- A diagonális alak - Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.
- Mátrixok definitsége - Hát ez is egy érdekes ügy.
- Kvadratikus alakok - Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...
- Kvadratikus alakok definitsége - A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK
- Lineáris transzformációk és mátrixaik - Egy lineáris transzformáció a V1 és V2 vektorterek közötti leképezés.
- Képtér - A képtér egy olyan altér V2-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a V1-beli vektorokból csinál a leképezés.
- Magtér - A magtér egy olyan altér V1-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.
- Dimenzió tétel - A képtér és a amgtér dimenzióinak összege éppen V1 dimenziója.
- Transzformáció mátrixa - Minden lineáris leképezés jellemezhető mátrixokkal. Lássuk, hogyan.
- Inverz transzformáció - A transzformáció inverzének mátrixa az erdedeti transzformáció mátrix inverze.
- Sajátbázis - Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.
- A diagonális alak - A diagonális alak előállítása.
- Homomorfizmusok - Na ezek is jó dolgok.
- Isomorphism - An isomorphism is a one-to-one correspondence between the vectors of two vector spaces.
- Hasonló mátrixok - If A and B matrices such that there exists a matrix C for which A=C-1BC we say that the two matrices are similar.
- Origó körüli forgatás mátrixa - A forgatás mátrixa.
- x tengelyre tükrözés mátrixa - Az x tengelyre tükrözés mátrixa.
- Vetítés az x tengelyre - A projekció mátrixa.
