Lineáris algebra

A mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

A vektor egy irányított szakasz.

Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

Két vektor skalárisszorzatát kiszámolhatjuk a vektorok hosszának és hajlásszögének segítségével, illetve a vektorok koordinátáival is.

Egy vektor 90°-os elforgatásához megcseréljük a két koordinátáját és az egyik előjelét megváltoztatjuk.

Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.

Két vektor skaláris szorzata a vektorok hosszának szorzata a közbezárt szögük koszinuszával.

Az egyenes egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

Az egyenes egyenletének felírásához a síkban szükségünk van az egyenes egy pontjára és a normálvektorára.

Két pont közti vektort a vektorok koordinátáinak különbségével írhatunk fel.

Két pont távolsága gyök alatt a koordináták különbségeinek négyzetösszege.

A sík egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

A sík egyenletének felírásához kell a sík egy pontja és a normálvektora.

Két vektor vektoriális szorzatát egy 3x3-as mátrix determinánsával számíthatjuk ki, ahol a mátrix első sora egységvektorok, a második és harmadik sora pedig az a és b vektorok.

Két vektor vektoriális szorzata egy olyan harmadik vektort ad, ami merőleges a két vektor által kifeszített síkra.

A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.

Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.

A bázis független generátorrendszer.

Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.

Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma

W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.

A generált altér vektorok lineáris kombinációja.

A legfeljebb n-ed fokú polinomok vektorteret alkotnak az összeadás és a skalárral való szorzás műveletekre.

Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.

Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.

Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.

Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.

Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.

A szabadságfok a szabadváltozók száma.

A Gauss-Jordan elimináció a Gauss-elimináció pro változata.

A mátrix rangja a mátrix Gauss elimináció során keletkezett vezéregyeseinek száma, amely megegyezik a mátrix sorrangjával vagy oszlopvektorával

Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Egy mátrix sorrangja a sorvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.

Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Egy mátrixot teljes sorrangúnak nevezünk, hogyha a sorvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.

Bármely mátrixot fel lehet bontani két olyan mátrix szorzatára, amelyek közül az egyik teljes oszloprangú, a másik pedig teljes sorrangú.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.

Egy 2x2-es mátrix determinánsát úgy kapjuk, hogy a bal átló elemeinek szorzatából kivonjuk a jobb átló elemeinek szorzatát.

A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.

Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.

Példák mikor nulla egy mátrix determinánsa. Két mátrix szorzatának determinánsa.

Azokat a mátrixokat nevezzük regulárisnak, amelyek determinánsa nem nulla.

Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla.

A Cramer szabály egy újabb módszer az egyenletrendszerek megoldására.

A 2x2-es mátrix adjungátlja már könnyen megadható.

Mátrix adjungátlja egy egészen rettenetes dolog.

Az adjungált egyik legnagyobb haszna, hogy segítségével meg tudunk alkotni egy képletet a négyzetes mátrixok inverzére.

Hogyha szeretnénk egy olyan módszert, amivel rettentő lassan és őrülten sok számolással oldhatunk meg egyenletrendszereket, akkor ez lesz az.

A Vandermonde-determináns egy speciális determináns, amit nagyon egyszerű kiszámolni.

Egy mátrix főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

Egy nxn-es mátrix indefinit, ha van nullánál nagyobb és nullánál kisebb sajátértéke is..

Egy nxn-es mátrix negatív definit, ha minden sajátértéke negatív.

Egy nxn-es mátrix negatív szemidefinit, ha minden sajátértéke kisebb vagy egyenlő 0.

Egy nxn-es mátrix pozitív definit, ha minden sajátértéke pozitív.

Egy nxn-es mátrix pozitív szemidefinit, ha minden sajátértéke nagyobb vagy egyenlő 0.

Egy mátrix sarok főminor mátrixai a mátrix bal felső sarkától kezdődő sarok mátrixok determinánsai.

Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...

A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

A spektrálfelbontás segítségével könnyebben hatványozhatunk.

A sajátfelbontás egy olyan, kizárólag diagonalizálható mátrixokkal végezhető felbontás, ami megkönnyíti a hatványozást.

A képtér és a magtér dimenzióinak összege éppen $V_1$ dimenziója.

A képtér egy olyan altér $V_2$-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a $V_1$-beli vektorokból csinál a leképezés.

A lineáris leképezés egy test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény.

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal.

A magtér egy olyan altér $V_1$-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.

Egy leképezésnek akkor létezik inverze, ha a leképezés mátrixának létezik inverze.

Két leképezés kompozíciója a mátrixaik szorzata.

Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.

A lineáris leképezések másnéven homomorfizmusok. Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak, ezt a vektorteret $Hom(V_1, V_2)$-nek nevezzük.

Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik egy C mátrix, amivel ha jobbról szorozzuk a B-t, balról pedig a C inverzével szorozzuk, akkor ennek eredménye A.

Az x tengelyre, az y tengelyre, és az y=x egyenletű egyenesre való tükrözések mátrixai.

Az alfa szögű forgatás mátrixa.

Az origóra való középpontos tükrözés mátrixa egy 180°-os fogatásnak felel meg.

Az $i$ és $j$ koordinátatengelyek síkjában történő Givens forgatás mátrixát úgy kapjuk, hogy arra a négy helyre ahol az egységmátrix $i$-edik és $j$-edik sora és oszlopa metszi egymást beírjuk szépen az $\alpha$ szögű forgatás mátrixának elemeit.

A Householder tükrözés mátrixa.

Az origón átmenő síkokra való tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük.

Az x és az y tengelyre való merőleges vetítés mátrixai.

Az x és az y tengelyre való merőleges vetítés mátrixai.

A $\underline{v}$ irányvektorú origón átmenő egyenesre történő merőleges vetítés mátrixa.

Az $\underline{a}$ normálvektorú origón átmenő egyenesre, síkra, vagy hipersíkra vetítés mátrixa.

Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor az optimális megoldás megadja a legjobb közelítést.

A Gauss-féle normálegyenlet egyenletrendszerek megoldásainak közelítéséhez használható módszer.

Egy $\underline{b}$ vektort nem csak merőlegesen vetíthetjük, hanem ferdén is. Viszont egyedül a merőleges vetítés rendelkezik a legjobb közelítés tulajdonságával.

Keressük az a lineáris függvényt, amely a lehető legjobban illeszkedik a mérési pontokra.

Ha egy mátrixnak nem létezik inverze, de közelíteni szeretnénk azt, akkor használható a Moore-Penrose pszeudoinverz.

Az olyan mátrixot, ahol minden elem egy-egy vektorok szorzata, szorzótáblaszerűen elrendezve, Gram mátrixnak nevezzük.

Hogyha egy ortogonális vektorrendszer éppen annyi vektorból áll, amennyi koordinátája van a vektoroknak, akkor az a vektorrendszer egy ortogonális bázis.

 Azokat a vektorokat, ahol a vektorok egymásra merőlegesek ortogonális rendszernek nevezzük.

Az olyan bázist, ahol bármely két vektor skaláris szorzata 0 és minden vektor egységhosszú, ortonormált bázisnak nevezzük.

Ha egy vektorrendszerben bármely két vektor szorzata 0, akkor az egy ortonormált vektorrendszer.

Ha egy vektorrendszerben bármely két vektor skaláris szorzata 0 és minden vektora egységnyi hosszú, akkor az egy ortonormált vektorrendszer.

Ha egy lineáris kombináció együtthatói felírhatóak skaláris szorzatok segítségével, akkor azok a Fourier-együtthatók.

A Gauss-féle normálegyenletek segítségével vektorok helyett már csak skaláris szorzatokkal kell foglalkoznunk.

Az ortogonális mátrix olyan, ahol az oszlopvektorok egységnyi hosszúak.

Az ortogonális mátrixok néhány hasznos tulajdonsága.

A régi bázis úgy alakítható át ortogonális bázissá, hogy szépen egymás után lecseréljük a régi bázisvektorokat új bázisvektorokra. Az átalakítást Gram-Schmidt ortogonalizációnak nevezzük.

Egy mátrix LU felbontása azt jelenti, hogy a mátrixot felbontjuk egy alsó és egy felső háromszögmátrix szorzatára.

Egy nxn-es mátrixnak akkor létezik LU-felbontása, ha az első n-1 főminora nem nulla.

Hogyha egy olyan mátrix LU felbontására van szükségünk, amelynek valamelyik (nem utolsó) főminora 0, akkor megtehetjük azt, hogy egy premutációs mátrix segítségével felcseréljük a sorait.

Ez tulajdonképpen egy olyan LU-felbontás, ahol az U mátrix az L-nek a transzponáltja.

Az LU-felbontás módszere nem négyzetes mátrixokra ugyanolyan, mint eddig, a Gauss elimináció segítségével történik.

A QR-felbontás azt jelenti, hogy egy mátrixot egy ortogonális és egy felsőháromszögmátrix szorzatára bontjuk.

QR-felbontást kaphatunk akkor is, ha az $A$ mátrixot addig-addig szorozgatjuk Givens forgatások mátrixaival, amíg felső háromszögmátrixot nem kapunk.

Az $A$ mátrixból először készítünk egy felső háromszögmátrixot a Householder-tükrözések segítségével.

Egy kontrakciónak a Banach.féle fixponttétel szerint egyetlen egy fixpontja van.

Hibabecslés a konvergencia gyorsaságára.

Az iteráció lényege, hogy elkezdjük egyesével kiszámolni a sorozat tagjait. És minél több tagot számolunk ki, annál közelebb kerülünk a megoldáshoz.

A kontrakciók zsugorító leképezések.

A Jacobi iteráció egy iterációs módszer egyenletrendszerek megoldására.

Egy mátrix spektrálsugarát úgy kapjuk meg, hogy vesszük a sajátértékeinek az abszolútértékét, és ezek közül a legnagyobb a spektrálsugár.

A Gauss-Seidel iteráció egy iterációs módszer egyenletrendszerek megoldására.

Iterációk konvergenciája, ha együtthatómátrix szigorúan diagonális dominánsm, vagy szimmetrikus pozitív definit mátrix.

Egy mátrixot szigorúan diagonálisan dominánsak nevezünk, ha bármely sorában a főátlóban lévő elem abszolútértéke nagyobb, mint a sorban szereplő összes többi elem abszolútértékének összege.

A Richardson iteráció egy iterációs módszer egyenletrendszerek megoldásához.

A JOR egy iterációs módszer egyenletrendszerek megoldásához.

A relaxációs módszerek segítségével megváltoztathatjuk az iterációk konvergenciájának sebességét.

A relaxált Jacobi iteráció egy iterációs módszer egyenletrendszerek megoldásához.

A Relaxált Gauss-Seidel módszer egy iterációs módszer egyenletrendszerek megoldásához.

A SOR egy iterációs módszer egyenletrendszerek megoldásához.

Képlet az iteráció leállási feltételének

Nekik már nincs hely a számegyenesen, így egy arra merőleges tengelyre helyezzük el őket. Ezt nevezzük imaginárius tengelynek.

Olyan számok, amelyek valós és képzetes részből épülnek fel.

Komplex számok összeadásakor összeadjuk a valós részeket és külön összeadjuk a képzetes részeket. Kivonáskor külön kivonjuk egymásból a valós részeket és a képzetes részeket.

Egy képlet az a+bi alakú komplex számok szorzásához.

Halmazok a komplex számsíkon.

A komplex szám tükörképe az x tengelyre.

Egy komplex szám abszolútértéke az origotól mért távolsága.

Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.

Képlet komplex számok szorzásához és osztásához, ha azok trigonometrikus alakban vannak megadva.

A komplex számok osztását, szorzását és hatványozását megkönnyítő forma.

Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.

Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.

Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.

Képlet komplex számok szorzásához és összeadásához, ha a komplex számok exponenciális alakban vannak megadva.

Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire.

A Lagrange-féle interpolációs polinom megadja azt a polinomot, amely $x_1$-ben $y_1$-et, $x_2$-ben $y_2$-t és így tovább $x_n$-ben $y_n$ értéket vesz föl.

A Newton interpoláció első lépése, hogy elkészítjűk az úgynevezett Newton-együtthatókat. Ezt követően ezek segítségével állítjuk elő a polinomot.

A Hermite interpoláció abban különbözőik a Lagrange és Newton féle interpolációktól, hogy az $x_1, x_2, \dots , x_n$ helyeken nem csak az eredeti polinom-függvény értékeit, hanem a deriváltjait is nézzük.

Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire. Ennek hibájának a megbecsléséhez van egy remek képlet.

Két számok legnagyobb közös osztója az a szám, amelyik mindkét számot osztja és ezek közül a legnagyobb.

Néhány izgalmas oszthatósági szabály.

Két szám relatív prímek, ha a legnagyobb közös osztójuk 1.

A nullától és az egységszorzóktól különböző összes $n$ egész szám felbontható prímek szorzatára a sorrendtől és az egységszeresektől eltekintve egyértelműen.

Egy $q$ szám felbonthatatlan, ha nem létezik olyan egységtől különböző $a$ és $b$ szám, hogy $q=ab$

Egy $p$ szám akkor prím, ha $p$ oszt egy szorzatot, akkor csak az egyik szorzótényezőnek lehet osztója.

Az euklideszi algoritmus egy formányos módszer két szám legnagyobb közös osztójának kiszámolására.

A Diofantoszi egyenletek olyan egész együtthatós kétismeretlenes egyenletek, amelyek megoldásait az egész számok halmazán keressük.

Ha $a$ és $b$ ugyanazt a maradékot adja $m$-mel osztva, akkor azt mondjuk, hogy $a$ és $b$ kongruensek modulo $m$.

A kongruencia reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Két szám akkor kongruensek mod m, ha m osztja a két szám különbségét.

Kongruenciák szorzása és osztása egy egész számmal.

Egy adott $m$ modulus esetén az $a$-val kongruens elemek halmazát az $a$ által reprezentált maradékosztálynak nevezzük.

Egy mod $m$ modulus esetén az $m$-hez relatív prím elemekből álló maradékosztályokat redukált maradékosztálynak nevezzük.

Az euler féle $ \varphi$ függvény azt adja meg, hogy hány $m$-nél nem nagyobb, $m$-hez relatív prím pozitív szám létezik.

A kis Fermat-tétel általánosítása.

A kis Fermat-tétel szerint ha veszünk egy $a$ egész számot és azt $p$-edik hatványra emeljük, ahol $p$ prímszám, akkor ez a hatvány $p$-vel osztva $a$ maradékot ad.

A lineáris kongruenciák olyan kongruenciák, amikben x is szerepel.

Lineáris kongruenciák megoldásának lépései.

Az RSA lényege, hogy a titkosítás kulcsa nyilvános, vagyis azt bárki ismerheti. Csak a dekódolás kulcsa az, ami titkos.

A kommutatív csoportokat Abel-csoportnak nevezzük.

Azokat a nem üres halmazokat, amelyekben értelmezve van egy művelet, és ez a művelet asszociatív, létezik benne egységelem, és minden elemnek létezik benne inverze, csoportnak nevezzük.

Azt az elemet, amely a művelet elvégzése során mindenkit változatlanul hagy, egységelemnek nevezzük.

Egy elem akkor lesz inverz, ha azt tudja, hogy a művelet elvégzése során az eredeti elemből egységelemet csinál.

Egy csoportot ciklikus csoportnak nevezünk, ha előáll egyetlen elemének egész kitevős hatványaiból.

Egy elem rendje azt a legkisebb pozitív egész kitevőt jelenti, amelyre emelve az egységelemeket kapjuk.

Ha egy csoportban az elemeknek nincs inverze, és nincs egységelem sem, akkor félcsoportnak nevezzük.

Egy nem üres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha értelmezve van benne egy összeadás és egy szorzás művelet. Az összeadásnak azt kell tudnia, hogy asszociatív és kommutatív. Van egységelem. Az összeadás egységelemét nullelemnek hívjuk. Minden elemnek van inverze, amit ellentettnek hívunk. A szorzásnak pedig mindössze annyit kell tudnia, hogy asszociatív. A két művelet pedig egymásra nézve disztributív:

A kommutatív nullosztómentes gyűrűket nevezzük integritási tartománynak.

Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmazt ideálnak nevezzük, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és minden $R$-beli és $I$-beli elem szorzata eleme $I$-nek. És mivel a szorzás nem feltétlenül kommutatív, léteznek bal és jobb ideálok.

Az egy elem által generált ideált főideálnak nevezzük.

Azokat a gyűrűket, amelyben minden ideál főideál, úgy hívjuk, hogy főideálgyűrű.

Azokat a komplex számokat, ahol $a$ és $b$ egész szám Gauss egésznek nevezzük.

A Gauss egészek gyűrűt alkotnak az összedás és szorzás műveletekkel.

A Gauss egészek gyűrűjében prímek azok a $p_1$ és $p_2$ Gauss egészek, amelyek szorzata $4k+1$ alakú prím.

Az $n$ szám akkor és csak akkor áll elő két négyzetszám összegeként ha kanonikus alakjában minden $4k-1$ alakú prím kitevője páros.

Komplex szám normája az $a$ és $b$ négyzetének összege.

Azokat a gyűrűket, amikben működik az Euklideszi algoritmus úgy hívjuk, hogy Euklideszi gyűrű.

Azokat a gyűrűket, melyeknek van additív inverze, és a 0-tól eltekintve minden elemének van multiplikatív inverze is, testnek nevezzük.

A rendezés reláció négy fontos tulajdonságát rendezési axiómának nevezzük.

A 9 test axióma.

Minden számnál van nagyobb természetes szám. Ezt az állítást Arkhimédészi-axiómaként szokás emlegetni.

A Cantor-axióma azt mondja, hogy egymásba skatulyázott zárt intervallumok végtelen sorozatának metszete nem üres.