Barion Pixel Lineáris algebra | mateking
 
20 témakör, 242 rövid és szuper érthető epizód
Ezt a nagyon laza Lineáris algebra kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.
4 980 Ft fél évre

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 20 szekcióból áll: Mátrixok és vektorok, Egy kis geometria, Vektorterek, független és összefüggő vektorok, Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze, Determináns, adjungált, kvadratikus alakok, Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás, Lineáris leképezések, Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik, Egyenletrendszerek optimális megoldása, pszeudoinverz, Vektornorma, mátrixnorma, mátrixok kondíciószáma, Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció, Mátrixok LU-felbontása és QR-felbontása, Iterációs módszerek egyenletrendszerek megoldására, Komplex számok, Polinomok, Interpolációs polinomok, Oszthatóság, Euklideszi algoritmus, Diofantoszi egyenletek, Kongruenciák, Euler-Fermat tétel, Csoportok, gyűrűk, testek

MÁTRIXOK

VEKTOROK

EGY KIS GEOMETRIA

VEKTORTEREK

  • Az axiómák - Végre valami izgalom...
  • Koordináták - A valós feletti n dimenziós vektortér jele Rn ahol n a vektorok koordinátáinak számát jelöli.
  • Lineárisan független vektorok - Egy vektorrendszer elemei lineárisan függetlenek, ha egyik vektor sem állítható elő a többi segítségével.
  • Lineárisan összefüggő vektorok - Egy vektorrendszer elemei lineárisan összefüggők, ha van olyan vektor közöttük, amelyik előállítható a többi vektor segítségével.
  • Generátorrendszer - Vektoroknak egy halmaza, amely segítségével minden egyéb vektortérbeli vektor előállítható. Lássuk hogyan.
  • Bázis - A lineárisan független generátorrendszer.
  • Alterek - W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.
  • Rang - Vektorrendszer rangja és mátrix rangja.
  • Gram-Schmidt ortogonalizáció - Egy remek délutáni program, amivel egy bázisból olyan bázist lehet fabrikálni, ahol a bázisvektorok egymásra merőlegesek.

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

A DETERMINÁNS, SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR

  • A determináns definíciója - A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.
  • Sarrus szabály - Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.
  • A kifejtési tétel - Egy túl jó módszer a determináns kiszámolására.
  • Szinguláris és invertálható mátrixok - Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla. Regulárisnak pedig azokat, amelyeknek nem nulla.
  • A determináns tulajdonságai - Remek tulajdonságai vannak a determinánsoknak.
  • Sajátvektor - Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.
  • Sajátérték - Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.
  • Karakterisztikus egyenlet - A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.
  • A diagonális alak - Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.
  • Mátrixok definitsége - Hát ez is egy érdekes ügy.
  • Kvadratikus alakok - Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...
  • Kvadratikus alakok definitsége - A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.

LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK

Mátrixok és vektorok

  • -

    mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.

  • -

    Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.

  • -

    Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.

  • -

    Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.

  • -

    Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)

  • -

    A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.

  • -

    A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.

  • -

    A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.

  • -

    A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.

  • -

    Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.

  • -

    Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.

  • -

    A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.

  • -

    Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.

  • -

    Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.

  • -

    Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.

  • -

    Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.

  • -

    Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.

  • -

    skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.

  • -

    Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.

  • -

    Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.

  • -

    Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.

Egy kis geometria

  • -

    A vektor egy irányított szakasz.

  • -

    Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

  • -

    Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

  • -

    Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

  • -

    Két vektor skaláris szorzata a vektorok hosszának szorzata a közbezárt szögük koszinuszával.

  • -

    Egy vektor 90°-os elforgatásához megcseréljük a két koordinátáját és az egyik előjelét megváltoztatjuk.

  • -

    Két vektor skalárisszorzatát kiszámolhatjuk a vektorok hosszának és hajlásszögének segítségével, illetve a vektorok koordinátáival is.

  • -

    Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.

  • -

    Az egyenes egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

  • -

    A sík egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

  • -

    Két pont közti vektort a vektorok koordinátáinak különbségével írhatunk fel.

  • -

    Két pont távolsága gyök alatt a koordináták különbségeinek négyzetösszege.

  • -

    Az egyenes egyenletének felírásához a síkban szükségünk van az egyenes egy pontjára és a normálvektorára.

  • -

    A sík egyenletének felírásához kell a sík egy pontja és a normálvektora.

  • -

    Két vektor vektoriális szorzatát egy 3x3-as mátrix determinánsával számíthatjuk ki, ahol a mátrix első sora egységvektorok, a második és harmadik sora pedig az a és b vektorok.

  • -

    Két vektor vektoriális szorzata egy olyan harmadik vektort ad, ami merőleges a két vektor által kifeszített síkra.

Vektorterek, független és összefüggő vektorok

  • -

    A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.

  • -

    Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.

  • -

    Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.

  • -

    A bázis független generátorrendszer.

  • -

    Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma

  • -

    W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.

  • -

    A legfeljebb n-ed fokú polinomok vektorteret alkotnak az összeadás és a skalárral való szorzás műveletekre.

  • -

    A generált altér vektorok lineáris kombinációja.

  • -

    Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.

Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok rangja és inverze

Determináns, adjungált, kvadratikus alakok

Sajátérték, sajátvektor, sajátfelbontás

  • -

    Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.

  • -

    Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.

  • -

    A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.

  • -

    A mátrix főátló elemeiből kivonunk $\lambda$-kat, majd ennek vesszük a determinánsát.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix spektrálfelbontását.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor a mátrix diagonizálható.

  • -

    A sajátfelbontás egy olyan, kizárólag diagonalizálható mátrixokkal végezhető felbontás, ami megkönnyíti a hatványozást.

  • -

    A spektrálfelbontás segítségével könnyebben hatványozhatunk.

Lineáris leképezések

  • -

    A lineáris leképezés egy test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény.

  • -

    A képtér egy olyan altér $V_2$-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a $V_1$-beli vektorokból csinál a leképezés.

  • -

    A magtér egy olyan altér $V_1$-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.

  • -

    A képtér és a magtér dimenzióinak összege éppen $V_1$ dimenziója.

  • -

    Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal.

  • -

    Egy leképezésnek akkor létezik inverze, ha a leképezés mátrixának létezik inverze.

  • -

    Két leképezés kompozíciója a mátrixaik szorzata.

  • -

    Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.

  • -

    Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.

  • -

    A lineáris leképezések másnéven homomorfizmusok. Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak, ezt a vektorteret $Hom(V_1, V_2)$-nek nevezzük.

  • -

    Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik egy C mátrix, amivel ha jobbról szorozzuk a B-t, balról pedig a C inverzével szorozzuk, akkor ennek eredménye A.

Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik

Egyenletrendszerek optimális megoldása, pszeudoinverz

Vektornorma, mátrixnorma, mátrixok kondíciószáma

  • -

    A szokásos távolságképletet euklideszi-normának nevezzük.

  • -

    A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosít

  • -

    A vektor p-normája általános alakban adja meg a vektorok lehetséges normáit.

  • -

    A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása, az 1-es norma ennek egyik módja.

  • -

    A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása, a 2-es norma ennek egyik módja.

  • -

    A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása, a végtelen norma ennek egyik módja.

  • -

    A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk.

  • -

    Az 1-es norma a mátrixok hosszának egy értelmezése, nevezzük oszlopnormának is.

  • -

    Mátrixok 2-es normája a hosszúk kiszámításának egy módja, spektrálnormának is nevezzük.

  • -

    A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk.

  • -

    A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk. A Frobenius norma ennek egyik módja.

  • -

    A spektrálnorma egy mátrixnorma.

  • -

    A mátrixok kondíciószámára nagy szükség van például lineáris egyenletrendszerek megoldásának hibabecslésénél.

Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció

  • -

     Azokat a vektorokat, ahol a vektorok egymásra merőlegesek ortogonális rendszernek nevezzük.

  • -

    Az olyan mátrixot, ahol minden elem egy-egy vektorok szorzata, szorzótáblaszerűen elrendezve, Gram mátrixnak nevezzük.

  • -

    Hogyha egy ortogonális vektorrendszer éppen annyi vektorból áll, amennyi koordinátája van a vektoroknak, akkor az a vektorrendszer egy ortogonális bázis.

  • -

    Ha egy vektorrendszerben bármely két vektor szorzata 0, akkor az egy ortonormált vektorrendszer.

  • -

    Ha egy vektorrendszerben bármely két vektor skaláris szorzata 0 és minden vektora egységnyi hosszú, akkor az egy ortonormált vektorrendszer.

  • -

    Az olyan bázist, ahol bármely két vektor skaláris szorzata 0 és minden vektor egységhosszú, ortonormált bázisnak nevezzük.

  • -

    A Gauss-féle normálegyenletek segítségével vektorok helyett már csak skaláris szorzatokkal kell foglalkoznunk.

  • -

    Ha egy lineáris kombináció együtthatói felírhatóak skaláris szorzatok segítségével, akkor azok a Fourier-együtthatók.

  • -

    Az ortogonális mátrix olyan, ahol az oszlopvektorok egységnyi hosszúak.

  • -

    Az ortogonális mátrixok néhány hasznos tulajdonsága.

  • -

    A régi bázis úgy alakítható át ortogonális bázissá, hogy szépen egymás után lecseréljük a régi bázisvektorokat új bázisvektorokra. Az átalakítást Gram-Schmidt ortogonalizációnak nevezzük.

Mátrixok LU-felbontása és QR-felbontása

  • -

    Egy mátrix LU felbontása azt jelenti, hogy a mátrixot felbontjuk egy alsó és egy felső háromszögmátrix szorzatára.

  • -

    Egy nxn-es mátrixnak akkor létezik LU-felbontása, ha az első n-1 főminora nem nulla.

  • -

    Hogyha egy olyan mátrix LU felbontására van szükségünk, amelynek valamelyik (nem utolsó) főminora 0, akkor megtehetjük azt, hogy egy premutációs mátrix segítségével felcseréljük a sorait.

  • -

    Az LU-felbontás módszere nem négyzetes mátrixokra ugyanolyan, mint eddig, a Gauss elimináció segítségével történik.

  • -

    Ez tulajdonképpen egy olyan LU-felbontás, ahol az U mátrix az L-nek a transzponáltja.

  • -

    A QR-felbontás azt jelenti, hogy egy mátrixot egy ortogonális és egy felsőháromszögmátrix szorzatára bontjuk.

  • -

    QR-felbontást kaphatunk akkor is, ha az $A$ mátrixot addig-addig szorozgatjuk Givens forgatások mátrixaival, amíg felső háromszögmátrixot nem kapunk.

  • -

    Az $A$ mátrixból először készítünk egy felső háromszögmátrixot a Householder-tükrözések segítségével.

Iterációs módszerek egyenletrendszerek megoldására

Komplex számok

Interpolációs polinomok

  • -

    Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire.

  • -

    A Lagrange-féle interpolációs polinom megadja azt a polinomot, amely $x_1$-ben $y_1$-et, $x_2$-ben $y_2$-t és így tovább $x_n$-ben $y_n$ értéket vesz föl.

  • -

    A Newton interpoláció első lépése, hogy elkészítjűk az úgynevezett Newton-együtthatókat. Ezt követően ezek segítségével állítjuk elő a polinomot.

  • -

    A Hermite interpoláció abban különbözőik a Lagrange és Newton féle interpolációktól, hogy az $x_1, x_2, \dots , x_n$ helyeken nem csak az eredeti polinom-függvény értékeit, hanem a deriváltjait is nézzük.

  • -

    Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire. Ennek hibájának a megbecsléséhez van egy remek képlet.

Oszthatóság

  • -

    Két számok legnagyobb közös osztója az a szám, amelyik mindkét számot osztja és ezek közül a legnagyobb.

  • -

    Két szám relatív prímek, ha a legnagyobb közös osztójuk 1.

  • -

    Néhány izgalmas oszthatósági szabály.

  • -

    A nullától és az egységszorzóktól különböző összes $n$ egész szám felbontható prímek szorzatára a sorrendtől és az egységszeresektől eltekintve egyértelműen.

  • -

    Egy $p$ szám akkor prím, ha $p$ oszt egy szorzatot, akkor csak az egyik szorzótényezőnek lehet osztója.

  • -

    Egy $q$ szám felbonthatatlan, ha nem létezik olyan egységtől különböző $a$ és $b$ szám, hogy $q=ab$

Euklideszi algoritmus, Diofantoszi egyenletek

  • -

    Az euklideszi algoritmus egy formányos módszer két szám legnagyobb közös osztójának kiszámolására.

  • -

    A Diofantoszi egyenletek olyan egész együtthatós kétismeretlenes egyenletek, amelyek megoldásait az egész számok halmazán keressük.

Kongruenciák, Euler-Fermat tétel

  • -

    Ha $a$ és $b$ ugyanazt a maradékot adja $m$-mel osztva, akkor azt mondjuk, hogy $a$ és $b$ kongruensek modulo $m$.

  • -

    A kongruencia reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

  • -

    Két szám akkor kongruensek mod m, ha m osztja a két szám különbségét.

  • -

    Kongruenciák szorzása és osztása egy egész számmal.

  • -

    Egy adott $m$ modulus esetén az $a$-val kongruens elemek halmazát az $a$ által reprezentált maradékosztálynak nevezzük.

  • -

    Egy mod $m$ modulus esetén az $m$-hez relatív prím elemekből álló maradékosztályokat redukált maradékosztálynak nevezzük.

  • -

    Az euler féle $ \varphi$ függvény azt adja meg, hogy hány $m$-nél nem nagyobb, $m$-hez relatív prím pozitív szám létezik.

  • -

    A kis Fermat-tétel általánosítása.

  • -

    A kis Fermat-tétel szerint ha veszünk egy $a$ egész számot és azt $p$-edik hatványra emeljük, ahol $p$ prímszám, akkor ez a hatvány $p$-vel osztva $a$ maradékot ad.

  • -

    A lineáris kongruenciák olyan kongruenciák, amikben x is szerepel.

  • -

    Lineáris kongruenciák megoldásának lépései.

  • -

    Az RSA lényege, hogy a titkosítás kulcsa nyilvános, vagyis azt bárki ismerheti. Csak a dekódolás kulcsa az, ami titkos.

Csoportok, gyűrűk, testek

  • -

    Azokat a nem üres halmazokat, amelyekben értelmezve van egy művelet, és ez a művelet asszociatív, létezik benne egységelem, és minden elemnek létezik benne inverze, csoportnak nevezzük.

  • -

    A kommutatív csoportokat Abel-csoportnak nevezzük.

  • -

    Azt az elemet, amely a művelet elvégzése során mindenkit változatlanul hagy, egységelemnek nevezzük.

  • -

    Egy elem akkor lesz inverz, ha azt tudja, hogy a művelet elvégzése során az eredeti elemből egységelemet csinál.

  • -

    Ha egy csoportban az elemeknek nincs inverze, és nincs egységelem sem, akkor félcsoportnak nevezzük.

  • -

    Egy csoportot ciklikus csoportnak nevezünk, ha előáll egyetlen elemének egész kitevős hatványaiból.

  • -

    Egy elem rendje azt a legkisebb pozitív egész kitevőt jelenti, amelyre emelve az egységelemeket kapjuk.

  • -

    Egy nem üres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha értelmezve van benne egy összeadás és egy szorzás művelet. Az összeadásnak azt kell tudnia, hogy asszociatív és kommutatív. Van egységelem. Az összeadás egységelemét nullelemnek hívjuk. Minden elemnek van inverze, amit ellentettnek hívunk. A szorzásnak pedig mindössze annyit kell tudnia, hogy asszociatív. A két művelet pedig egymásra nézve disztributív:

  • -

    A kommutatív nullosztómentes gyűrűket nevezzük integritási tartománynak.

  • -

    Az $R$ gyűrűben az $I$ részhalmazt ideálnak nevezzük, ha $I$ részgyűrű $R$-ben és minden $R$-beli és $I$-beli elem szorzata eleme $I$-nek. És mivel a szorzás nem feltétlenül kommutatív, léteznek bal és jobb ideálok.

  • -

    Az egy elem által generált ideált főideálnak nevezzük.

  • -

    Azokat a gyűrűket, amelyben minden ideál főideál, úgy hívjuk, hogy főideálgyűrű.

  • -

    Azokat a komplex számokat, ahol $a$ és $b$ egész szám Gauss egésznek nevezzük.

  • -

    Komplex szám normája az $a$ és $b$ négyzetének összege.

  • -

    A Gauss egészek gyűrűt alkotnak az összedás és szorzás műveletekkel.

  • -

    A Gauss egészek gyűrűjében prímek azok a $p_1$ és $p_2$ Gauss egészek, amelyek szorzata $4k+1$ alakú prím.

  • -

    Az $n$ szám akkor és csak akkor áll elő két négyzetszám összegeként ha kanonikus alakjában minden $4k-1$ alakú prím kitevője páros.

  • -

    Azokat a gyűrűket, amikben működik az Euklideszi algoritmus úgy hívjuk, hogy Euklideszi gyűrű.

  • -

    Azokat a gyűrűket, melyeknek van additív inverze, és a 0-tól eltekintve minden elemének van multiplikatív inverze is, testnek nevezzük.

  • -

    A 9 test axióma.

  • -

    A rendezés reláció négy fontos tulajdonságát rendezési axiómának nevezzük.

  • -

    Minden számnál van nagyobb természetes szám. Ezt az állítást Arkhimédészi-axiómaként szokás emlegetni.

  • -

    A Cantor-axióma azt mondja, hogy egymásba skatulyázott zárt intervallumok végtelen sorozatának metszete nem üres.