Lineáris algebra epizód tartalma:
Itt lépésről lépésre elmeséljük, hogyan működik az interpolációs polinomok hibájának becslése, és egy komkrét példán keresztül megnézzük hogyan kell használni a hibára vonatkozó képletet.
Számoljuk ki egy másodfokú interpolációs polinom segítségével, hogy mennyi
Ehhez készítenünk kell egy olyan interpolációs polinomot, aminek a grafikonja a logaritmusfüggvény görbéjét rajzolja ki, legalábbis a 3-hoz közeli x-ekre.
A másodfokú interpolációs polinomhoz három alappontra lesz szükség.
Itt is jön az első:
Hát igen, ha már esetleg elhalványultak a logaritmussal kapcsolatos emlékeink…
Ez azt mondja meg, hogy 2-t hányadikra kell emelni, hogy 1-et kapjunk.
Aztán itt jön ez is:
Meg ez:
Na, erről mondjuk fogalmunk sincs, hogy mennyi…
Hiszen éppen ezt akarjuk kiszámolni.
Hát jó, akkor itt van helyette ez:
Ezek lesznek az alappontok.
Az interpolációs polinomot bármelyik módszerrel készíthetjük.
Most legyen például a Lagrange.
Ez a polinom azt tudja, hogy 1-ben, 2-ben és 4-ben pontosan ugyanazokat az értékeket veszi föl, mint a .
Máshol azért már adódnak problémák…
Negatív x-ekre például a logaritmus függvény grafikonja nem pont ilyen.
De minket most csak a 3-hoz közeli x-ekre érdekel a dolog.
Nézzük meg mi történik, ha behelyettesítjük a 3-at.
A kérdés az, hogy mekkora a hiba.
Vagyis a kapott eredmény mennyivel tér el a valódi –tól.
Szerencsére éppen itt jön erre egy képlet.
Ha az f függvény n+1-szer deriválható az x1, x2, … xn és x által kifeszített I intervallumon, akkor az interpoláció hibája:
Ez egy igazán remek képlet, próbáljuk meg értelmezni.
Most éppen n=3 tehát szükség lesz az f függvény negyedik deriváltjára.
Meg is van a negyedik derivált, amibe ezt a bizonyos –t kell behelyettesítenünk.
Fogalmunk sincs, hogy pontosan mennyi, de az biztos, hogy
Ez alapján pedig tudunk egy becslést adni erre: