Analízis 3 | mateking
 
18 témakör, 292 rövid és szuper érthető epizód
Ezt a nagyon laza Analízis 3 kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.
3 450 Ft fél évre

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 18 szekcióból áll: Interpolációs polinomok, Differenciálegyenletek, Differenciálegyenletek, izoklinák, Laplace transzformáció, Paraméteres görbék, Vektormezők, görbementi és felületi integrálok, Kettős és hármas intergrál, térfogati integrál, Divergencia és rotáció, Valszám alapok, Kombinatorika, Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel, Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, Geometriai valószínűség, Binomiális tétel, Várható érték és szórás, Markov és Csebisev egyenlőtlenségek, Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások, Kétváltozós eloszlások, Becslések, Hipotézisvizsgálat

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ

KOMBINATORIKA

  • Permutáció - Egy n elemű halmaz permutációinak száma n!
  • Variáció - n elem k-ad osztályú variációja azt mondja meg, hogy n elemből hányféleképpen lehet k darabot kiválasztani úgy, ha számít a kiválasztás sorrendje.
  • Kombináció - n elem k-ad osztályú kombinációja azt mondja meg, hogy n elemből hányféleképpen lehet k darabot kiválasztani úgy, ha nem számít a kiválasztás sorrendje.

ESEMÉNYEK ÉS VALÓSZÍNŰSÉGEK

ELOSZLÁSFÜGGVÉNY ÉS SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY

VÁRHATÓ ÉRTÉK ÉS SZÓRÁS

NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS ELOSZLÁSOK

KÉTVÁLTOZÓS VALÓSZÍNŰSÉGI ELOSZLÁSOK

STATISZTIKAI BECSLÉSEK - Statisztikai becslések, pontbecslés, intervallumbecslés, standard hiba, mintavételi hiba, nemmintavételi hiba, FAE-minta, EV-minta,rétegzett minta, többlépcsős minta, torzítatlanság, minimális variancia elve, konfidencia szint, konfidencia tartomány, sokasági átlag becslése, sokasági arány becslése, sokasági variancia.

HIPOTÉZISVIZSGÁLAT - A hipotézisvizsgálat menete, nullhipotézis, ellenhipotézis, szignifikanciaszint, elsőfajú és másodfajú hiba, próbafüggvény, próbák, kritikus tartomány, kritikus érték, paraméteres próbák, nemparaméteres próbák, Z-próba, t-próba, khí-négyzet-próba, homogenitás- vizsgálat, illeszkedésvizsgálat, függetlenségvizsgálat, F-próba, varianciaanalízis, Bartlett-próba.

Interpolációs polinomok

  • -

    Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire.

  • -

    A Lagrange-féle interpolációs polinom megadja azt a polinomot, amely $x_1$-ben $y_1$-et, $x_2$-ben $y_2$-t és így tovább $x_n$-ben $y_n$ értéket vesz föl.

  • -

    A Newton interpoláció első lépése, hogy elkészítjűk az úgynevezett Newton-együtthatókat. Ezt követően ezek segítségével állítjuk elő a polinomot.

  • -

    A Hermite interpoláció abban különbözőik a Lagrange és Newton féle interpolációktól, hogy az $x_1, x_2, \dots , x_n$ helyeken nem csak az eredeti polinom-függvény értékeit, hanem a deriváltjait is nézzük.

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek, izoklinák

  • -

    Azon pontok halmazát, melyekben a megoldásfüggvények meredeksége egy adott számmal egyenlő, a differenciálegyenlet izoklinájának nevezzük.

Laplace transzformáció

Paraméteres görbék

  • -

    A ciklois egy olyan görbe, amelyet egy irányított görbén csúszás nélkül legördülő kör egy meghatározott pontja ír le.

  • -

    A görbe ívhossza egy differencálható görbe szakaszának a hossza.

  • -

    A paraméteres görbe egyenlete a görbén mozgó pont pillanatnyi koordinátáit írja le. A paraméteres görbe deriválásával kapjuk a $v(t)$ sebességvektort, ami minden időpillanatban megadja a görbén mozgó $P$ pont sebességének irányát és nagyságát.

  • -

    Binormálisvektornak nevezzük a görbe sebességvektorával és gyorsulásvektorával alkotott szorzatot.

  • -

    Az $r(t)$ paraméteres görbe első deriváltja a görbe érintővektora vagy más néven sebességvektora.

  • -

    Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a görbe gyorsulásvektora. Ha ezt elosztjuk a saját hosszával, az így keletkező egységnyi hosszú vektor a görbe főnormálisvektora.

  • -

    A $\underline{T}(t)$, $\underline{N}(t)$ és $\underline{B}(t)$ vektorok együttes elnevezése kísérő triéder.

  • -

    Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a gyorsulást írja le. Ezek a vektorok egy síkot feszítenek ki, ezt a síkot a görbe simulósíkjának nevezzük.

  • -

    A görbület azt írja le, hogy a simulósíkon belül milyen erősen kanyarodik a görbe. A térgörbék azonban nem csak a simulósíkon belül kanyarodnak, hanem közben ki is csavarodnak abból. Azt, hogy egy térgörbe éppen milyen ütemben csavarodik ki a simulósíkjából, a torzió írja le.

  • -

    A paraméteres görbe görbülete a görbe egyenestől való eltérését jellemző számérték.

  • -

    A simulókörök középpontjai által kirajzolt alakzatot evolutának hívjuk.

  • -

    Hogyha a görbének egy $P$ pontjában létezik nem nulla görbülete, akkor azt a kört, amel a $P$-ben érinti a görbét és a görbülete megegyezik a görbe $P$-beli görbületével és a középpontja a görbe konkáv részében található, a görbe $P$ pontbeli simulókörének nevezzük.

  • -

    Az ellipszis egy olyan görbe, amely azon pontok mértani helye egy síkon, ahol a pontok két rögzített ponttól mért távolságának összege a két pont távolságánál nagyobb állandó.

  • -

    A hiperbola azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól való távolságának különbségének abszolút értéke állandó.

Vektormezők, görbementi és felületi integrálok

Kettős és hármas intergrál, térfogati integrál

Divergencia és rotáció

  • -

    A vektormező divergenciája egy olyan függvény, amely a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.

  • -

    A rotáció a vektormező örvénylését írja le.

  • -

    Egy vektormező akkor forrásmentes, ha nincs benne forrás, vagyis nincs benne olyan pont, amelynek pozitív a divergenciája.

  • -

    Egy vektormező akkor örvénymentes, ha a vektormező rotációja mindenütt nulla.

  • -

    A konzervatív vektormezőre több különböző definíció van forgalomban attól függően, hogy fizikusok vagy matematikusok alkották-e meg magát a definíciót.

  • -

    A vektormező akkor konzervatív, ha létezik $F$ primitív függvénye. Ez az $F$ függvény a vektormező potenciál-függvénye.

  • -

    Az első Green-tétel azt írja le a rotáció segítségével, hogy mekkora egy vektormező örvénylése a zárt görbén. A második Green-tétel pedig azt írja le a divergencia segítségével, hogy mekkora egy vektormező fluxusa a zárt görbén.

  • -

    A második Green-tétel térbeli változata azt mondja, hogy egy vektormező integrálja az $S$ kifelé irányított zárt felületen egyenlő a divergencia integráljával a felület által határolt $D$ tartományon.

  • -

    Az első Green-tétel térbeli változatát Stokes-tételnek nevezzük.

Valszám alapok, Kombinatorika

Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel

Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény

Geometriai valószínűség, Binomiális tétel

  • -

    Ha egy esemény előfordulását geometriai alakzat (vonal, síkidom, test) mértékével jellemezzük, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.

  • -

    Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.

  • -

    Az (a+b) hatványainak általánosítására egy képlet.

Várható érték és szórás

Markov és Csebisev egyenlőtlenségek

Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások

Kétváltozós eloszlások

Becslések

Hipotézisvizsgálat

  • -

    Az elfogadási tartomány az a tartomány, ahová ha a próba értéke kerül, akkor a nullhipotézist elfogadjuk.

  • -

    A kritikus tartomány az a tartomány, ahová ha a próba értéke kerül, akkor a nullhipotézist elvetjük.

  • -

    A szignifikanciaszint a hibás döntés valószínűsége.

  • -

    A hipotézis megfogalmazása. A próbafüggvény kiválasztása. Szignifikanciaszint és kritikus tartomány. Mintavétel és döntés.

  • -

    A sokaság normális eloszlású, szórása $\sigma$, $H_0$ a sokaság átlagára vonatkozik, a minta elemszáma $n$.

  • -

    A sokaság normális eloszlású, szórása nem ismert, $H_0$ a sokaság átlagára vonatkozik, a minta elemszáma $n$

  • -

    A sokaság tetszőleges eloszlású, szórása nem ismert, $H_0$ a sokaság átlagára vonatkozik, a minta $n$ elemű, elemszáma nagy.

  • -

    A sokaság tetszőleges eloszlású, $H_0$ a sokasági arányra vonatkozik, a minta $n$ elemű, elemszáma nagy

  • -

    A sokaság normális eloszlású, $H_0$ a sokasági szórásra vonatkozik, a minta $n$ elemű.

  • -

    A sokaság eloszlására irányuló vizsgálat.

  • -

    A sokaságon belül két ismérv függetlenségére irányuló vizsgálat. $H_0$: a két ismérv független, az ellenhipotézis pedig, $H_1$: a két ismérv közti kapcsolat sztochasztikus vagy függvényszerű.

  • -

    Két sokaságban valamely változó eloszlásának egyezőségére irányuló vizsgálat. $H_0$: a két sokaságban az eloszlás egyező, az ellenhipotézis pedig, $H_1$: a két eloszlás nem egyező.

  • -

    Mindkét sokaság normális eloszlású, szórásaik $\sigma_X$ és $\sigma_Y$.

  • -

    A két sokaság normális eloszlású és szórásaik egyformák.

  • -

    A két sokaság eloszlása és szórása nem ismert, mindkettő szórása véges, és mindkét minta elemszáma elég nagy.

  • -

    Két sokaság szórásának összehasonlítására irányuló próba, ha mindkét sokaság normális eloszlású. A nullhipotézis $H_0$: $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$

  • -

    Több sokaság várható értékének összehasonlítására vonatkozó próba, ha mindegyik sokaság normális eloszlású és azonos szórású.

  • -

    A Bartlett-próba több sokaság szórásának összehasonlítására vonatkozó próba, ha mindegyik sokaság normális eloszlású.