Analízis 3

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

• Mese a differenciálegyenletekről - A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amelyben az ismeretlenek függvények. Nos ez írtó izgi lesz...
• A differenciálegyenlet rendje - Azt mondja meg, hogy az ismeretlen függvény maximum hanyadik deriváltja szerepel az egyenletben.
• A differenciálegyenlet linearitása - Na ez egy határozottan jó tulajdonság, ami megkönnyíti az életünket.
• A differenciálegyenletek típusai - Készítünk egy listát a főbb típusokról, majd elkezdjük sorra venni a megoldási módszereket.
• Szeparábilis differenciálegyenlet - A legegyszerűbb típus, amin érdemes gyakorlatozni, hogy a bonyolultabb típusok megoldása előtt legyen egy kis rutin.
• Homogén fokszámú differenciálegyenlet - Na ez egy érdekes és kicsit speciális állatfajta, de tanulságos.
• Egzakt differenciálegyenlet - A differenciálegyenletek második fő típusa, sok helyen nincs benne a tananyagban.
• Integráló tényező - Vannak olyan egyenletek, amelyek ugyan nem egzaktak, de egy ügyes trükk segítségével egzakttá tehetők. Itt jön a trükk...
• Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet - Az egyik legfontosabb típus az y'+Py=Q alakú differenciálegyenlet, amelyre egy részletes megoldási tervet adunk.
• A v(x) függvény - Az y'+Py=Q alakú elsőrendű lineáris differenciálegyenlet egyik megoldási módszerében szereplő függvény.
• Lagrange szorzó - Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet egyik megoldási módszerében szereplő v(x) függvény.
• Elsőrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet - Egy speciális típus az y'+ay=Q alakú differenciálegyenlet, amelyet a próbafüggvény módszerrel oldunk meg.
• A próbafüggvény módszer - Egy olyan megoldási módszer, ahol a homogén egyenlet megoldása után a partikuláris megoldást határozatlan együtthatókkal keressük.
• Rezonancia elsőrendű egyenleteknél - Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...
• Homogén egyenlet - Azokat az egyenleteket nevezzük homogénnek, ahol nincs az ismeretlen függvényt tartalmazótól különböző tag. y"+ay'+by=0 alakú esetekkel fogunk foglalkozni.
• Homogén megoldás - A homogén egyenlet megoldása.
• Parikuláris megoldás - Az úgynevezett zavaró függvény alapján létrejövő megoldás, amit például a próbafüggvény módszer segítségével kaphatunk meg.
• Másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet - Egy speciális típus az y"+ay'+by=Q alakú differenciálegyenlet, amelyet a próbafüggvény módszerrel oldunk meg.
• Rezonancia másodrendű egyenleteknél - Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...

LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ

• A Laplace transzformált kiszámolása - Hát ez egy elég rémes improprius integrálás, de azért kimondottan hasznos, tehát megér egy megnézést...
• Néhány függvény Laplace transzformáltja - Kiszámoljuk pár nevezetes függvény Laplace transzformáltját.
• Összeg és szorzat Laplace transzformáltja - Megnézzük hogyan viselkedik a Laplace transzformált összegeknél és szorzatoknál.
• Laplace transzformált táblázat - Fontosabb függvények Laplace transzformáltjai.
• Differenciálegyenletek megoldása Laplace transzformációval - Ez egy remek kis módszer az állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldására.
• Inverz Laplace transzformáció - Ez a Laplace transzformált vissza-iránya, ami a differenciálegyenletek megoldásának a végén tartogat izgalmakat.
• Elsőrendű differenciálegyenletek megoldása Laplace transzformációval - Ez egy remek kis módszer az állandó együtthatós elsőrendű differenciálegyenletek megoldására.
• Másodrendű differenciálegyenletek megoldása Laplace transzformációval - Ez egy remek kis módszer az állandó együtthatós másodrendű differenciálegyenletek megoldására.

KOMBINATORIKA

• Permutáció - Egy n elemű halmaz permutációinak száma n!
• Variáció - n elem k-ad osztályú variációja azt mondja meg, hogy n elemből hányféleképpen lehet k darabot kiválasztani úgy, ha számít a kiválasztás sorrendje.
• Kombináció - n elem k-ad osztályú kombinációja azt mondja meg, hogy n elemből hányféleképpen lehet k darabot kiválasztani úgy, ha nem számít a kiválasztás sorrendje.

ESEMÉNYEK ÉS VALÓSZÍNŰSÉGEK

• Események - Mik azok az események? Műveletek eseményekkel, eseményalgebra és egyéb izgalmak..
• Független események - Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.
• Kizáró események - Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.
• Feltételes Valószínűség - A feltételes valószínűség. Az A feltéve B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..
• Teljes valószínűség tétele - A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.
• Bayes-tétel - Olyankor használjuk, ha egy korábban bekövetkezett B_k esemény valószínűségére vagyunk kíváncsiak egy később bekövetkezett A esemény tükrében.

ELOSZLÁSFÜGGVÉNY ÉS SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY

• Valószínűségi változó - A valószínűségi változó eseményekhez rendel hozzá valós számokat. Nézzük meg, hogyan.
• Eloszlásfüggvény - Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..
• Sűrűségfüggvény - A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.
• Hogyan lesz eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvény - A sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja.
• Hogyan lesz sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvény - Nos nagyon kalandos körülmények között...

VÁRHATÓ ÉRTÉK ÉS SZÓRÁS

• Várható érték - A valószínűségi változó értékeinek valószínűségekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rém egyszerű, nézzünk rá néhány példát.
• Szórás - A várható értéktől való átlagos eltérést írja le a szórás.
• Markov egyenlőtlenség - A Markov egyenlőtlenség arról szól, hogy az X valószínűségi változó a várható értéknél nem lehet sokkal nagyobb.
• Csebisev egyenlőtlenség - A Csebisev egyenlőtlenség azt írja le, hogy az X valószínűségi változó várható értéktől való eltérése nem lehet túl nagy.

NEVEZETES DISZKRÉT ÉS FOLYTONOS ELOSZLÁSOK

• Binomiális eloszlás - A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
• Hipergeometriai eloszlás - A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejtes van.
• Poisson-eloszlás - A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
• Egyenletes eloszlás - Ez egy folytonos eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének valószínűsége valamely intervallumon konstans.
• Exponenciális eloszlás - Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.
• Normális eloszlás - Mennyiségek eloszlása.
• A Poisson eloszlás és az exponenciális eloszlás kapcsolata - A két eloszlás lényegében ugyanazt írja le, csak az egyik a bekövetkezések számával, míg a másik a bekövetkezések közt eltelt idővel teszi ezt.
• Az örökifjú tulajdonság - Örökifjúnak lenni marhajó dolog. Az exponenciális eloszlásnak ez megadatik...

KÉTVÁLTOZÓS VALÓSZÍNŰSÉGI ELOSZLÁSOK

• Együttes eloszlás - Két valószínűségi változó együttes eloszlása és eloszlástáblázata.
• Peremeloszlás - Két valószínűségi változó perem eloszlásainak kiszámolása.
• Várható érték - Két valószínűségi változó várhatóértékeinek kiszámolása.
• Szorzat várható értéke - A szorzat várható értékének kiszámítása az együttes eloszlás táblázatából.
• Kovariancia - Két valószínűségi változó kovarianciájának kiszámolása.
• Kovariancia - Két valószínűségi változó kovarianciájának kiszámolása.
• Korreláció - Két valószínűségi változó korrelációjának kiszámolása.
• Peremeloszlás-függvény - Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.
• Együttes eloszlásfüggvény - Két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényeinek felírása.
• Együttes sűrűségfüggvény - Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvény nagyon vicces módon írja le a valószínűségeket a függvény felülete alatti térfogat segítségével, vagyis jó sokat kell integrálgatni.
• Perem-sűrűségfüggvény - Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvényéből ki tudjuk számolni az X és az Y valószínűségi változó saját sűrűségfüggvényét. Ezeket hívjuk perem-sűrűségfüggvényeknek.
• Együttes eloszlásfüggvény - Az együttes sűrűségfüggvényből nagyon rémes kettősintegrálok segítségével tudjuk előállítani az együttes eloszlásfüggvényt. Ez már olyan rossz, hogy érdemes megnézni.

STATISZTIKAI BECSLÉSEK - Statisztikai becslések, pontbecslés, intervallumbecslés, standard hiba, mintavételi hiba, nemmintavételi hiba, FAE-minta, EV-minta,rétegzett minta, többlépcsős minta, torzítatlanság, minimális variancia elve, konfidencia szint, konfidencia tartomány, sokasági átlag becslése, sokasági arány becslése, sokasági variancia.

HIPOTÉZISVIZSGÁLAT - A hipotézisvizsgálat menete, nullhipotézis, ellenhipotézis, szignifikanciaszint, elsőfajú és másodfajú hiba, próbafüggvény, próbák, kritikus tartomány, kritikus érték, paraméteres próbák, nemparaméteres próbák, Z-próba, t-próba, khí-négyzet-próba, homogenitás- vizsgálat, illeszkedésvizsgálat, függetlenségvizsgálat, F-próba, varianciaanalízis, Bartlett-próba.