Vektormezők, görbementi és felületi integrálok

A témakör tartalma

Megnézzük, mik azok a vektormezők és mégis mi hasznunk van belőlük. Példák vektormezőkre, vektor-vektor függvények, vektor-vektor függvények ábrázolása, síkbeli és térbeli vektormezők. Lépésről lépésre megmutatjuk, hogy mit jelent a vektormező integrálja egy görbe mentén. Paraméteres görbék, vektor-vektor függvények, vektor-vektor függvények integrálása paraméteres görbék mentén, az integrál kiszámolása. Szuper-érthető példákon keresztül megtanítjuk neked, hogy mit jelent a fluxus és hogyan kell kiszámolni egy vektormező felületi integrálját. Nézünk néhány fizikai példát is, hogy mi a fene az a felületi integrál, aztán pedig sok-sok feladat jön felületi integrálokkal kapcsolatban. Végül pedig rákukkantunk, hogy hogyan kell vektormezőket integrálni síkbeli és térbeli görbéken. Mindezt szuper-érthetően és nagyon részletesen lépésről-lépésre.



Mi az a vektormező?

A vektormezőkkel kapcsolatban az első és legfontosabb, amit tehetünk, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat.

Maga a vektormező egy teljesen hétköznapi fogalom, éppen itt jön erre egy példa.

Ez itt az Atlanti-óceán, az óceán felett pedig mindig fúj a szél.

Ha az Óceán minden pontjában megadjuk a szél sebességét és irányát, akkor egy vektormezőt kapunk.

Ez egy függvény, ami azt tudja, hogy a sík minden pontjához hozzárendel egy vektort.

Az egyszerűség kedvéért legyen a szél sebessége minden pontban 5 km/h és fújjon nyugat felé.

A függvény tehát minden (x,y) ponthoz ugyanazt a vektort rendeli hozzá.

Na persze a szél nem csak az óceán felszíne felett fúj, hanem magasabban is…

Szükség lesz tehát egy z koordinátára is.

De kezdetnek maradjunk most a síkbeli esetnél.

A síkbeli eset egy  vektormező.

Ha a szélirány megváltozik…

akkor egy másik vektormezőt kapunk.

A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha a szél iránya és sebessége függ az adott pont koordinátájától.

Itt van például ez a vektormező:

Nézzük meg, hogyan néz ki.

Kezdjük az egyenlítővel, amikor y=0.

Ha y=0, akkor a szélsebesség vektor ez.

Ha y=1, akkor a szélsebesség vektor…

Aztán jön az y=2 eset. Ekkor

És az y=3.

Ilyenkor

És voila, íme a vektormező.

Na persze, ha túlképzettek vagyunk földrajzból…

Akkor mondhatjuk, hogy a valóságban ez így néz ki.

És ezzel el is érkeztünk a vektormezők vizsgálatának egyik legizgalmasabb pontjához.

Hogyan lehetséges az, hogy ide csak befelé áramlik a levegő?

Vajon mi történik ott vele?

És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?

Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.

De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.

A válasz a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…

Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.

A térítőknél pedig lefelé.

Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.

A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.

Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…

Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.

És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.

Ez lesz majd a vektormezők egyik izgalmas tulajdonsága, amit divergenciának neveztek el.

De most előbb nézzük meg, hogy milyen útvonalon jutott el Kolumbusz Amerikába…


Vektormezők görbementi integrálja

Kolumbusz első útja még ezen az útvonalon át vezetett Amerikába.

De későbbi útjain már megváltoztatta az útvonalat, mert rájött valamire.

Megtanult görbe mentén vektormezőket integrálni.

Na jó, azt azért mégsem.

Arra jött rá, hogy sokkal több nyerhető ki a passzát szél által végzett munkából, ha az útvonal kisebb szöget zár be a széliránnyal.

Ez a munka ugyanis a szélirány-vektor és a hajó sebességvektorának skaláris szorzata.

Minél kisebb ez a szög, a szél annál nagyobb munkát végez.

De kezd túl sok lenni a fizika, úgyhogy menjünk szépen lépésről lépésre.

A passzát szél egy vektormezővel írható le. Íme, itt is van:

Kolumbusz útvonala pedig egy paraméteres görbe.

Ja, mégse.

Ezen a görbén haladva sosem fedezte volna föl Amerikát…

És nem is ez:

Kolumbusz útvonala legyen egy egyszerű vonal A-ból B-be.

Amikor útnak indul, t=0.

És amikor megérkezik, t=8.

A hajókázás x koordinátája tehát:

Az y koordináta pedig…

 amikor

 amikor

Gondolkodunk…

A szél által végzett munka a szélirány-vektor és a hajó sebességvektorának skaláris szorzata.

A sebességvektor pedig, ha még esetleg emlékszünk rá, a görbe deriváltja.

A szél által végzett munka:

Ezt a hajókázás teljes időtartamára úgy tudjuk kiszámolni, ha ezeket a skaláris szorzatokat a teljes útvonalra összesítjük.

Egy jópofa integrálás segítségével.

Most éppen 0-tól 8-ig.

A vektormezőnek az  görbe mentén vett integrálja  és  között:

Számoljuk ki a görbe menti integrált erre a görbére:

 Vektor-vektor függvényt integrálunk egy paraméteres görbén.

Görbe paraméterezése.

Ezen a vektormezőn.

Ha minden jól alakul és kijön valami eredmény, az azt fogja jelenteni, hogy ezen a köríven hajózva Afrikából Dél-Amerikába mennyi munkát végez a passzátszél.

Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.

Van itt ez a vektormező:

És számítsuk ki az integrálját ezen a görbén:

Itt jön a képlet:

És már folytatjuk is újabb remek hajózási tippekkel.


A vektormezők felületi integrálja és a fluxus

Már az ősi vikingek jelszava is az volt, hogy a legnagyobb kincs a fluxus.

A vikingek egyenesen imádták a fluxust, ez tette lehetővé ugyanis, hogy kedvükre hajókázzanak.

A fluxus azt mondja meg, hogy egy adott felületen mekkora az átáramló anyag vagy energia.

Ez a vikingek esetében a szél volt.

A legtapasztaltabb viking hajósok pedig tudtak még egy fontos dolgot.

A fluxus attól is függ, hogy mekkora szöget zár be a felület az áramlás irányával.

Minél kisebb ez a szög, a fluxus annál kisebb.

A nagyon kis fluxus pedig rossz hatással van a hajó sebességére.

A fluxust a vektormező vektorainak és a felület normálvektorainak skaláris szorzata adja.

Ha ezek egymásra merőlegesek, akkor a fluxus nulla.

És minél inkább párhuzamosak egymással…

a fluxus annál nagyobb.

De van itt még egy dolog.

Ez a felület most jobb kéz felé van irányítva.

Ha a felület irányítását megváltoztatjuk…

akkor a fluxus a mínuszegyszeresére változik.

Ez azt jelenti, hogy amikor fluxust számolunk, mindig tudnunk kell, hogy merre irányítjuk a felületet.

Mindezt már az ősi vikingek is tudták és a következő bölcs mondásban foglalták össze:

Ha szemből fúj a szél, akkor a hajó hátrafelé megy.

Most pedig itt az ideje, hogy megnézzük, hogyan kell mindezt kiszámolni.

A fluxust a vektormező vektorainak és a felület normálvektorainak skaláris szorzata adja.

Ezt az egész felületre összesíthetjük egy remek kis integrálással.

És így kapjuk meg a vektormező felületi integrálját.

Nézzük meg, hogy mekkora lesz a fluxus a vikingeknél.

A szél a vektormező minden pontjában egyenletesen fúj.

Na, a felület leírása már izgalmasabb lesz.

Legyenek, mondjuk ezek a pontok a vitorla sarkai:

És nézzük meg a felület paraméterezését.

Az x koordináta végig ugyanannyi.

Az y koordináta -4 és 4 között mozog.

Kell ide egy u.

A z koordináta pedig 1 és 9 között van.

És most lássuk az integrálást.

A felület x, y és z koordinátáit behelyettesítjük a vektormezőbe.

A felület normálvektorát pedig egy vektoriális szorzattal kapjuk:

A vektoriális szorzat egyik szereplője ez.

A paraméteres felület t szerinti derivált-vektora.

A másik szereplő pedig az u szerinti derivált-vektor.

Talán még emlékszünk rá, hogyan kell két vektor vektoriális szorzatát kiszámolni.

Bár az ember könnyen felejt…

Főleg akkor, ha egy ilyen képletről van szó.

Ha kifejtjük a determinánst az első sora szerint…

Meg is van a vektoriális szorzat.

Itt jön a v(x,y,z) vektormező, amibe a felület koordinátafüggvényeit kell helyettesíteni.

Ez most azért nem látszik, mert a vektormező mindhárom koordinátafüggvénye konstans.

Vagyis nincs benne x, y és z és így most nincs hova helyettesíteni.

Végül már csak a skaláris szorzás van hátra…

Az eredmény azért lett pozitív, mert a vitorla normálvektora a szél irányával megegyező volt.

Ha a normálvektor az ellenkező irányba mutatna, akkor nem 320, hanem -320 lenne az eredmény.

Ami végülis érthető is, hiszen akkor a szél iránya éppen ellentétes lenne a felület irányításával.

Hát, ennyit a hajókázásról.

A v(x,y,z) vektormezőnek az S felületi integrálja

Most pedig lássunk néhány nagyon izgalmas példát.

Integráljuk ezt a vektormezőt az r(t) görbén.

Most tehát nem felületi integrált fogunk számolni, hanem görbementi integrált.

Mégpedig ezen a remek háromdimenziós görbén.

Mondjuk a képletünk csak kétdimenziós görbékről szól.

Úgyhogy itt még lesznek gondok…


Kétdimenziós és háromdimenziós görbementi integrálok

Van itt ez a vektormező:

És integráljuk ezen a görbén.

Túl sok izgalomra ne számítsunk…

Most jön a skaláris szorzás…

És végül integrálgatunk egy kicsit.

Itt egy újabb vektormező. Ezúttal háromdimenziós.

És integráljuk ezen a görbén.

Nos, ez egy térbeli görbe…

Így aztán három koordinátája van.

Nem baj, akkor frissítjük képleteinket…

Ha szenvedünk egy kicsit a behelyettesítéssel, akkor azt kapjuk, hogy az integrál pont nulla.

Ez így elsőre talán kicsit furcsának tűnik, de hamarosan sok újabb izgalmas dolog fog még kiderülni…


FELADAT | Görbementi és felületi integrál

FELADAT | Görbementi integrál

FELADAT | Felületi integrál