- Interpolációs polinomok
- Differenciálegyenletek
- Differenciálegyenletek, izoklinák
- Laplace transzformáció
- Paraméteres görbék
- Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
- Vektormezők, görbementi és felületi integrálok
- Kettős és hármas intergrál, térfogati integrál
- Divergencia és rotáció
- Valszám alapok, Kombinatorika
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
- Várható érték és szórás
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Kétváltozós eloszlások
- Becslések
- Hipotézisvizsgálat
Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
Dimenziótétel
A képtér és a magtér dimenziója összesen éppen kiadja $V_1$ dimenzióját.
Ezt az összefüggést dimenziótételnek nevezzük:
\( \dim(Ker\varphi) + \dim(Im\varphi) = \dim(V_1) \)
Képtér
A $V_1 \rightarrow V_2$ lineáris leképezésnél $V_2$-nek azt a részét, amely a leképezés során előáll, a leképezés képterének nevezzük és $Im\varphi$-vel jelöljük.
Lineáris leképezés definíciója
A $\varphi$ leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely $\underline{v}_1, \underline{v}_2 \in V_1$ vektorokra és $\lambda \in R$ számra teljesül, hogy
\( \varphi( \underline{v}_1+\underline{v}_2) = \varphi( \underline{v}_1) + \varphi( \underline{v}_2) \)
\( \varphi(\lambda \cdot \underline{v}) = \lambda \cdot \varphi(\underline{v}) \)
Lineáris leképezés mátrixa
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist $V_1$-ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.
Magtér
A nullvektorból minden lineáris leképezés nullvektort csinál, vagyis $\underline{0}$ képe mindig $\underline{0}$, de előfordulhat, hogy más $V_1$-beli vektorok képe is nullvektor lesz. Ezen vektorok halmazát nevezzük a leképezés magterének és $Ker\varphi$-vel jelöljük.
Lineáris leképezés inverzének mátrixa
Egy leképezésnek pontosan akkor létezik inverze, ha a $(\varphi)_b$ mátrixnak létezik inverze, és az inverz leképezés mátrixa:
$\varphi^{-1}$ mátrixa $(\varphi)^{-1}_b$
Lineáris leképezések kompozíciója
A $\varphi \circ \mu$ leképezés mátrixa:
\( ( \varphi \circ \mu)_b = (\varphi)_b \cdot (\mu)_b \)
Új bázisra áttérés mátrixa
A $\varphi$ leképezésben minden vektor képét így kapjuk:
\( \varphi(\underline{v})=( \varphi)_b \cdot \underline{v} \)
Tengelyes tükrözés az a normálvektorú egyenesre
Az origón átmenő $\underline{a}$ normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa:
\( R = I - 2 \cdot \frac{ \underline{a}\cdot \underline{a}^T}{ \underline{a}^T \cdot \underline{a} } \)
Tengelyes tükrözés mátrixa síkban
Az x tengelyre tükrözés mátrixa:
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)
Az y tengelyre tükrözés mátrixa:
\( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Az y=x tengelyre tükrözés mátrixa:
\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
Forgatás mátrixa síkban
Az $\alpha$ szögű forgatás mátrixa:
\( \begin{pmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix} \)
Középpontos tükrözés mátrixa síkban
Az origóra való középpontos tükrözés egy 180°-os forgatásnak felel meg, így mátrixa:
\( \begin{pmatrix} \cos{180°} & -\sin{180°} \\ \sin{180°} & \cos{180°} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
Givens forgatás térben
Az $i$ és $j$ koordinátatengelyek síkjában történő Givens forgatás mátrixát úgy kapjuk, hogy arra a négy helyre ahol az egységmátrix $i$-edik és $j$-edik sora és oszlopa metszi egymást beírjuk szépen az $\alpha$ szögű forgatás mátrixának elemeit.
\( G = \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0&0 \\ 0&\cos{\alpha}&0&-\sin{\alpha}&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&\sin{\alpha}&0&\cos{\alpha}&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix} \)
Householder mátrix
Hogyha egy origón átmenő sík normálvektora az $\underline{a}$ vektor, akkor az erre a síkra tükrözés mátrixa:
\( H=I-2\cdot \frac{\underline{a} \cdot \underline{a}^T}{\underline{a}^T \cdot \underline{a}} \)
Householder tükrözés
Az origón átmenő síkokra való tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük.
Merőleges vetítés mátrixa
Az x tengelyre merőleges vetítés mátrixa:
\( P_x= \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} \)
Az y tengelyre merőleges vetítés mátrixa:
\( P_y= \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \)
Merőleges vetítés síkban
Az x tengelyre merőleges vetítés mátrixa:
\( P_x= \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix} \)
Az y tengelyre merőleges vetítés mátrixa:
\( P_y= \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \)
Merőleges vetítés térben
A $\underline{v}$ irányvektorú origón átmenő egyenesre történő merőleges vetítés mátrixa:
\( P = \frac{\underline{v} \cdot \underline{v}^T}{\underline{v}^T \cdot \underline{v}} \)
Projekció mátrixa
A projekció mátrixa:
\( P = I - \frac{\underline{a}\cdot\underline{a}^T}{\underline{a}^T\cdot \underline{a}} \)
Tükrözzük az x tengelyre a $\underline{v}$ vektort, ha
a) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
b) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
A leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely vektorokra és számra teljesül, hogy
Minden lineáris leképezés valahogy így néz ki:
Ha akkor a lineáris leképezést lineáris transzformációnak nevezzük.
A leképezés a vektoraihoz rendel -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész előáll képként. A -nek azt a részét, amely a leképezés során előáll, a leképezés képterének nevezzük és -vel jelöljük.
A nullvektorból minden lineáris leképezés nullvektort csinál, vagyis képe mindig ,
de előfordulhat, hogy más -beli vektorok képe is nullvektor lesz.
Ezen vektorok halmazát nevezzük a leképezés magterének és -vel jelöljük.
A magtér és a képtér nem csupán részhalmazok -ben és -ben, hanem alterek is. altér -ben és altér -ben.
A képtér és a magtér dimenziója összesen éppen kiadja dimenzióját.
Ezt az összefüggést dimenziótételnek nevezzük:
DIMENZIÓTÉTEL:
mateking.hu
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!
Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!
Vegyük például a tengelyes tükrözést.
Ez egy lineáris leképezés.
A tükrözés mátrixát úgy kapjuk,
hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk:
Vegyük például a tengelyes tükrözést. Ez egy lineáris leképezés.
Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.
Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát, akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:
A szokásos bázis alapján a tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk:
Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.
Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát,
akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:
A transzformáció mátrixa most is úgy keletkezik,
hogy egymás mellé írjuk a bázisvektorok képeit.
Van itt azonban egy izgalmas fordulat.
Addig minden stimmel, hogy a bázisvektorok képe:
Addig minden stimmel, hogy megkaptuk az új bázisvektorok képeit.
Csakhogy itt az új bázisvektorok képeit még mindig a régi bázisban adtuk meg.
Nekünk azonban a bázisvektorok képeit is az új bázisvektorok segítségével kell megadnunk.
Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az és vektorokból,
hogy előálljanak és képei.
Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az és vektorokból, hogy előálljanak és képei.
Ezúttal a szerencse megsegít bennünket, az vektor képe ugyanis
ami úgy tűnik éppen mínuszegyszerese.
Az vektor képe tehát úgy jön ki, hogy -ből 0 darab, -ből pedig -1 darab kell.
Lássuk mi a helyzet az vektor képével. Itt is szerencsénk van.
ami éppen az eredeti mínuszegyszerese, tehát -ből -1 darab, -ből 0 darab kell.
Lássuk a transzformáció mátrixát ebben az új bázisban!
A tükrözés mátrixa most is
úgy keletkezik, hogy egymás mellé
írjuk a bázisvektorok képeit.
Csakhogy új bázisvektorok képeinek
ezeket az új koordinátáit kell írnunk
a tükrözés mátrixába.
Na ezt kell írnunk a mátrix első oszlopába, ahova az vektor képe kerül.
Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.
Az vektor képe szintén szerencsésen előállítható, ugyanis
ami pedig éppen az eredeti mínuszegyszerese, tehát -ből -1db és -ből 0db kell.
Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.
Az új bázisban felírt mátrix:
Mindezt egyszerűbben is megkaphatjuk egy remek kis összefüggés segítségével.
ahol az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban. Mit is jelent mindez?
Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez
és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos mátrix tehát
RÉGI BÁZIS
ÚJ BÁZIS
A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:
A leképezés mátrixa sokkal többet is tud annál, minthogy egyszerűen leírja magát a leképezést.
Minden vektorról megmondja, hogy mi lesz a vektor képe:
A vektor képe úgy lesz, hogy egyszerűen
megszorozzuk a vektort a leképezés mátrixával.
Nézzük meg például mi lesz a tükrözés során
ebből a remek vektorból:
A tükrözés mátrixa normál bázisban:
A vektor képe:
És tényleg!
Nézzük meg mi történik ugyanezzel a vektorral a másik bázisban.
Az új bázisban koordinátái megváltoznak.
A vektor éppen kétszerese -nek,
ezért az első koordinátája kettő,
a második koordináta pedig nulla.
A tükrözés mátrixa az új bázisban:
vagyis nulla darab -re és
–2 darab -re van szükség
Lássuk a leképezés mátrixának még néhány további izgalmas tulajdonságát.
Ha egy leképezés mátrixa akkor
a leképezés megfordításának mátrixa
A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy,
hogy a leképezés inverze.
A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy, hogy a leképezés inverze.
Egy leképezésnek pontosan akkor létezik inverze, ha a mátrixnak létezik inverze,
és az inverz leképezés mátrixa:
mátrixa
Ha van két leképezés, mondjuk és a leképezések mátrixa pedig és ,
akkor a leképezés mátrixa lesz.
Nézzünk meg erre egy példát.
Legyen az eddigi tükrözés az x tengelyre,
pedig mondjuk tükrözés az y tengelyre.
Ekkor a két tükrözés egymás utáni
alkalmazása.
A leképezés mátrixa:
Az x tengelyre tükrözés mátrixa:
Az y tengelyre tükrözés mátrixa:
Ez éppen az origó középpontú tükrözés mátrixa.
A leképezések egymás után alkalmazásáról szóló tétel
A leképezés mátrixa:
A leképezés a vektor
A leképezésben minden
vektor képét így kapjuk:
Ha létezik a leképezés
inverze, akkor mátrixa:
mátrixa
Ezek a tételek lehetővé teszik, hogy készítsünk egy remek kis képletet ami leírja, hogy miként változik meg egy leképezés mátrixa az új bázisra való átállásnál.
A leképezés mátrixa új bázisban felírva
ahol az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban.
Lássuk, hogy mit is jelent mindez!
Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez
és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos mátrix tehát
és van ez a bizonyos ami annak a leképezés-
nek a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál.
Ez a bizonyos mátrix tehát egyszerűen
úgy keletkezik, hogy fogjuk az új bázis-
vektorokat és leírjuk egymás mellé.
A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:
Ez csodás, így is kijött a tükrözés új mátrixa, kevesebb gondolkodással és több számolással.
Mindezeket foglaljuk össze!
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK MÁTRIXA
A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk:
Ha egy másik bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor
A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:
Itt az új bázisra való áttérés mátrixa:
Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázisvektorokat
fogjuk és leírjuk egymás mellé.
Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázis
vektorait leírjuk egymás mellé.
Ha és olyan mátrixok, hogy létezik egy mátrix
úgy, hogy
akkor az előző tétel alapján és mindketten
ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak éppen
más-más bázisban felírva.
Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.
Ez elvezet minket néhány nagyon izgalmas összefüggéshez, amik most fognak jönni!
és mátrixok hasonlók, tehát , ha létezik olyan mátrix, amire
Van egy leképezés, amit már réges-régóta ismerünk, mert minden általános iskolában tanítják.
Ez a leképezés a tengelyes tükrözés.
Na persze a tükrözés mátrixát már nem tanítják az általános iskolában…
Az x tengelyre tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy vesszük a bázisvektorok képeit…
És ezeket szépen egymás mellé írjuk egy mátrixba.
Ez a mátrix azt is elárulja, hogy mi lesz egy vektor képe a tükrözés hatására.
Van itt például ez a vektor…
És a tükörképének a koordinátáit úgy kapjuk meg…
hogy a tükrözés mátrixát megszorozzuk a vektorral.
Az y tengelyre tükrözés mátrixa hasonló módon keletkezik…
Itt vannak a bázisvektorok…
És megnézzük, hogy melyikkel mi fog történni.
A dolog akkor válik izgalmasabbá, hogyha valamilyen ferde tengelyre tükrözünk.
Nézzük meg például ezt…
Amikor az tengelyre tükrözünk, az x és y koordináták helyet cserélnek…
Lássuk, mi történik ezzel a vektorral:
A tükörképét most is úgy kapjuk, hogy megszorozzuk szépen a tükrözés mátrixával…
És íme a tükörkép.
A koordináták itt is szépen fölcserélődtek.
De mi van akkor, ha az egyenesre tükrözünk?
Ez már sokkal izgalmasabb és ránézésre nem is lehet úgy kitalálni, mint az eddigieket.
Azzal kezdjük, hogy kiderítjük mi lehet ennek az egyenesnek a normálvektora.
Most, hogy ez megvan, itt jön egy kis geometriai bűvészkedés.
Kiszámoljuk a vektornak az vektorra eső merőleges vetületét…
egy skaláris szorzat segítségével.
Meg is van.
A dolog olyankor is működik, ha a vektorok szöge egy kicsit nagyobb…
Csak ilyenkor bejön ide ez a mínuszjel.
Hogyha szeretnénk tükrözni a vektort az egyenletű egyenesre…
Akkor egyszerűen csak fogjuk ezt az vektort…
Elosztjuk a saját hosszával, hogy egységnyi hosszú legyen…
Aztán pedig beszorozzuk q-val.
Pontosabban inkább a kétszeresével.
Hogyha ezt a vektort most hozzáadjuk az eredeti -hez…
Akkor meg is kapjuk a tükörképét.
Kizárólag esztétikai okokból ezt még átírjuk így…
Végül kiemeljük a vektort.
Hát igen, hogyha -t sajátmagából emeljük ki, az az egységmátrix lesz…
Meg is van a tükrözés mátrixa.
Az origón átmenő a normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa:
Hogyha már ennyit szenvedtünk vele, akkor próbáljuk is ki.
Meg is van a tükrözés mátrixa.
Ezt a mátrixot csak úgy ránézésre már valóban nem találtuk volna ki…
És most lássuk, mi történik ezzel a vektorral, ha tükrözzük az egyenesre.
Már jön is:
Van itt ez a 90o-os forgatás…
Aminek a mátrixát a szokásos módon kapjuk meg.
Vesszük az egyik bázisvektort…
és megnézzük, hogy a forgatás hatására mi lesz belőle.
Aztán vesszük a másikat is…
És meg is van a forgatás mátrixa.
Ha nem 90 fokkal, hanem 180 fokkal forgatunk…
Azt úgy hívjuk, hogy középpontos tükrözés.
A középpontos tükrözés mátrixa:
Ez a mátrix éppen az egységmátrix mínuszegyszerese.
A középpontos tükrözés úgy működik, hogy minden vektornak…
…elkészíti az ellentettjét.
És most nézzük, hogyan néz ki a forgatás mátrixa tetszőleges szögre.
is működik.
Hogyha az első bázisvektort elforgatjuk szöggel…
Akkor a koordinátái…
Hát, igen, az irányszögű egységvektor első koordinátája a koszinusz…
A második pedig a szinusz.
Eddig jó.
A második bázisvektor már izgalmasabb…
És végre kiderül, hogy ez a rengeteg trigonometrikus azonosság…
Még jó is valamire.
Meg is van az
Íme, az szögű forgatás mátrixa.
Most pedig nézzük, hogyan működik mindez térben.
Az origó körüli forgatás térbeli megfelelője egy tengely körüli forgatás lesz.
Hogyha például az x tengely körül forgatunk, akkor a forgatás a másik két koordinátatengely síkjában történik.
Az x, y és z tengelyek körüli forgatások mátrixai:
A forgatások mindhárom esetben egy síkban történnek.
A három tengely közül mindig az egyik tengely az, ami körül forgatunk…
és mindig a másik két tengely által kifeszített síkban.
Ezeket a koordinátasíkokban történő forgatásokat Givens forgatásnak nevezzük.
A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha mindezt a négydimenziós térben csináljuk…
Az x és y tengelyek síkjában történő szögű forgatás mátrixát már ismerjük.
Éppen itt is van:
Hogyha van egy harmadik koordinátatengely is…
Az mindegy, a harmadik koordinátával a forgatás nem csinál semmit.
Sőt, tulajdonképpen lehet akárhány koordináta…
Egy négydimenziós térben az első két koordinátatengely síkjában történő forgatás mátrixa így néz ki:
És lehet akár ötödik vagy hatodik dimenzió is.
A forgatást pedig bármely két koordinátatengely síkjában végezhetjük…
Ha például a második és a harmadik tengely síkjában forgatunk…
Akkor a mátrix ilyen lesz:
Hogyha pedig a második és a negyedik tengely síkjában…
akkor ilyen.
Ezeket a forgatásokat, amelyeket két tetszőlegesen választott koordinátatengely síkjában végzünk Givens forgatásnak nevezzük.
Givens egyébként egy ember volt…
A Givens forgatások mátrixa tulajdonképpen egy egységmátrix…
Egykét apró módosítással.
Az i és j koordinátatengelyek síkjában történő Givens forgatás mátrixát úgy kapjuk…
Hogy arra a négy helyre, ahol az egységmátrix i-edik és j-edik sora és oszlopa metszi egymást…
Beírjuk szépen az alfa szögű forgatás mátrixának elemeit.
A Givens forgatásokat arra fogjuk használni, hogy mátrixok bizonyos elemeit kinullázzuk vele.
És hirtelen valamilyen különös vágyat érzünk arra, hogy ez az elem itt nulla legyen.
A Givens forgatásokkal mindez lehetséges…
Az első két koordinátatengely síkjában fogunk forgatni.
Ez pedig itt a forgatás mátrixa:
Egy olyan forgatás kéne, ami ezt a vektort…
szépen elforgatja az x tengely vonalába…
A forgatás szöge .
De van itt még egy kis gond.
A forgatás iránya.
Nekünk éppen az ellenkező irány kéne.
Mondjuk, ezen könnyen lehet segíteni…
Az szöget kicseréljük az ellentettjére, és a forgatás iránya máris megváltozik.
Végül vannak itt ezek az azonosságok…
Az teljesen mindegy, hogy mekkora az szög…
Berakjuk szépen ezeket ide a mátrixba.
És meg is vagyunk.
Hogyha ezt a mátrixot megszorozzuk az A mátrixszal…
Akkor minden álmunk valóra válik.
Ezzel a módszerrel tovább tudjuk folytatni a kinullázást, és az A mátrixot felső háromszögmátrixszá tudjuk alakítani.
Bizonyos mátrixok esetében ez az eljárás a leghatékonyabb különböző mátrixfelbontások végrehajtásához.
A tengelyes tükrözés térbeli megfelelője a síkra tükrözés.
Hát igen, itt már valódi házakat tükrözünk…
Nézzük meg például az x és y tengelyek által kifeszített síkra tükrözés mátrixát.
Itt vannak a bázisvektorok.
És a tükrözés hatására…
Meg is van a tükrözés mátrixa.
Ezt még nem volt nehéz kitalálni.
Egy fokkal izgalmasabb kérdés, hogy mi lehet az síkra tükrözés mátrixa.
Ehhez már kicsivel jobb térlátásra van szükség.
A z tengely benne van a síkban…
Így aztán a tükrözés a z tengelyen lévő vektorokkal nem csinál semmit.
Az x és y tengelyt pedig a tükrözés fölcseréli.
És íme, itt a tükrözés mátrixa.
De mi történik akkor, ha egy ferde síkra tükrözünk?
Mondjuk erre a síkra itt:
A síkbeli esetben volt már erre egy kis képletünk…
Éppen itt is van:
Ez volt az origón átmenő normálvektorú egyenesre tükrözés mátrixa a síkban.
Térben minden pontosan ugyanígy fog történni.
Hogyha egy origón átmenő sík normálvektora az vektor…
…akkor az erre a síkra tükrözés mátrixa:
Ezeket a tükrözéseket Householder-tükrözésnek nevezzük.
És most lássuk a tükrözés mátrixát.
Ehhez mindössze a sík normálvektorára van szükség.
Meg egy kis számolásra…
Az origón átmenő normálvektorú síkra történő tükrözés mátrixa:
Householder tükrözés:
Meg is van.
A Householder-tükrözéseket arra tudjuk használni, hogy egy vektort egy általunk kiszemelt másik vektorrá transzformáljunk át.
Mindjárt meg is látjuk, hogy mindezt hogyan.
Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az vektort a vektorba transzformálja.
Na, ilyen tükrözés nem lesz, a két vektor ugyanis nem egyforma hosszú…
Ahhoz, hogy a Householder-tükrözéssel egy vektort egy másik vektorba tudjunk transzformálni az kell, hogy a két vektor hossza egyforma legyen.
Hát jó…
Vannak itt ezek az egyforma hosszú vektorok.
Keressük azt a Householder-tükrözést, ami az vektort a vektorba transzformálja.
Elkészítjük ezt a vektort:
Ez lesz a tükröző sík normálvektora…
És most jöhet a Householder-mátrix:
Íme, a Householder-mátrix:
Hogyha tükrözzük vele az vektort…
Akkor tényleg a vektort kapjuk.
Ha pedig a vektort tükrözzük…
Akkor az vektor jön ki.
