Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel

MEGLEPŐ REJTÉLYEK MEGOLDÁSA ÉS A BAYES TÉTEL

Letesznek elénk három teljesen egyforma dobozt, melyek közül kettő üres, a harmadikban pedig nyeremény van. Kívülről nézve nem tudjuk megmondani, hogy melyik dobozban van a nyeremény, és a játék úgy indul, hogy választanunk kell a dobozok közül egyet. Ha üres dobozt választunk, akkor nem kapunk semmit. Viszont, ha azt a dobozt választjuk, amelyikben a nyeremény van, akkor megnyerjük. A három doboz közül egy nyer, így aztán a nyerési esélyünk 1/3, vagyis 33,3%, bármelyik dobozt választjuk is. Válasszuk ki, mondjuk, a második dobozt. Az izgalmak csak most jönnek. Miután kiválasztottuk a második dobozt, a játékvezető megmutatja nekünk, hogy az első doboz üres. És ezek után megkérdezi tőlünk, hogy ennek az új információnak a birtokában biztosan maradunk-e a második doboznál, vagy nem választanánk-e inkább a harmadikat. Jelen pillanatban egy nyerő és egy üres doboz maradt játékban, így logikusnak tűnik a gondolat, hogy mindkét megmaradt doboz nyerési esélye 50%. A helyzet azonban az, hogy ez nem így van. Meglepő, de kétszer akkora esélyünk van nyerni akkor, ha váltunk, és inkább a másik megmaradt dobozt választjuk. A kérdés csak az, hogy vajon miért?

Az 1600-as évektől egyre-másra kezdtek felbukkanni a különböző események valószínűségét firtató kérdések. Az ezekre a kérdésekre adott, néha hibás, de többnyire azért jó válaszok jelentették a kiindulópontját a matematika egyik egészen új ágának, az 1900-as évek elején az orosz Andrej Ny. Kolmogorov, Pafnutyij L. Csebisev és Andrej A. Markov által precíz alapokra helyezett valószínűségszámításnak. Az egyik ilyen kérdés volt az, hogy ha egy tálban van 40 piros és 60 fekete golyó, és valaki kivesz egyet, de nem tudni, milyet, akkor mekkora eséllyel húzunk ezek után pirosat. Ez a látszólag teljesen érdektelen és utólag visszatekintve eléggé egyszerű kérdés igencsak megosztotta a témával foglalkozó matematikusokat az 1700-as évek elején. A problémára Thomas Bayes angol presbiteriánus lelkész adott részletes megoldást, amely azonban csak halála után jelent meg, 1763-ban. A Bayes által megalkotott elmélet azóta egy teljesen új ágát teremtette meg a matematikai statisztikának, ám akkoriban sokan úgy vélték, hogy Bayes téved. Visszatérve a nyerő dobozok esetéhez, Bayes elmélete pontosan azt a meglepő és nehezen hihető tényt állította, hogy a példánkban megmaradt két doboz nem 50-50% eséllyel nyer. Nézzük meg, hogy miért.

Kezdetben, amikor még mindhárom doboz közül választhatunk, világos, hogy nyerési esélyünk 1/3, vagyis 33,3%. Az is világos, hogy ha még mielőtt választanánk, a játékvezető megmutatná az egyik üres dobozt, akkor valóban 50-50% lenne a megmaradt két doboz nyerési esélye. A dolog lényege éppen abban van, hogy az üres dobozt azután mutatják meg, hogy mi már választottunk. Ezáltal pedig befolyásoljuk a játékvezetőt abban, hogy melyik dobozt fogja megmutatni. Ha az általunk kiválasztott második doboz a nyerő, amire egyébként 33,3% esélyünk van, akkor az első és a harmadik doboz is üres, vagyis a játékvezetőnek teljesen mindegy, hogy melyiket mutatja meg. Ám abban az esetben, ha az általunk választott második doboz üres, ami az esetek 66,7%-ában fordul elő, akkor a játékvezetőnek mindenképpen a másik üreset kell megmutatnia. Vagyis amikor kezdetben üreset választunk, amire 66,7% az esély, akkor a játékvezető kiiktatja a rendszerből a másik üreset, és így ami marad, az nyer. Ezért van az, hogy az esetek 66,7%-ában akkor nyerünk, ha váltunk. Ha valakiben esetleg maradtak kételyek, megnyugtatásul annyit, hogy Bayes idejében számos matematikus is kételkedett az ilyen gondolatmenetek helyességében, és csak jóval később, az 1900-as évek elején alakult ki az a terminológia, ami a feltételes valószínűség fogalmának megszületésével lehetővé tette a Bayes által megalkotott elmélet precíz megfogalmazását és bizonyítását. A Bayes által képviselt gondolatmenet aztán olyannyira elterjedt a matematikában, hogy a statisztikának egy külön ága épült erre, amelyet Bayes-statisztikának neveztek el. Mielőtt azt hinnénk, hogy ez az egész csak értelmetlen játék, nézzünk meg egy másik történetet is.

Egy betegség a teljes lakosság 1%-át érinti. A betegség kimutatására kifejlesztettek egy szűrővizsgálatot, amely 95%-os megbízhatósággal képes kimutatni valakiről, hogy beteg-e vagy sem. Másként fogalmazva: 5% eséllyel téved. A biztonság kedvéért elmegyünk erre a vizsgálatra, és hamarosan ki is derül az eredmény. A vizsgálatot végző orvos közli velünk, hogy gratulálunk, az eredmény: Ön beteg. Hát ez nem jó hír, de talán van egy kis remény arra, hogy esetleg a vizsgálat tévedett. A vizsgálat 95%-os megbízhatósággal működik, de vajon mekkora esélyünk van arra, hogy mégsem vagyunk betegek? Talán 5%? Nézzük meg. Azt tudjuk, hogy a lakosság 1%-a beteg, vagyis 100 emberből átlag 1 ember beteg. A vizsgálat 95%-os megbízhatósága azt jelenti, hogy 100 emberből 5 esetben téved. Vagy betegnek nyilvánít olyan embert, aki egészséges, vagy fordítva. Átlagosan a 100 emberből 5 embert fog betegnek minősíteni.

Az 5 ember közül egy ember tényleg beteg, a másik 4 pedig a tévedés. Most pedig lássuk, mik az esélyeink. Az 5 ember közül, akiket betegnek mondott a teszt, 4 ember teljesen egészséges. Másként fogalmazva: a 80%-uk teljesen egészséges. Megint másként fogalmazva: ha a teszt azt mondja, hogy betegek vagyunk, akkor 80% esélyünk van arra, hogy valójában mégis egészségesek vagyunk. Ilyen erővel akár egy pénzérmét is feldobhattunk volna, hogy eldöntsük, betegek vagyunk-e, vagy sem, mert még az is jobb arányokat produkál.

Mit tanultunk ebből? Az eset egyik komoly tanulsága az, hogy ha egy teszt 95%-os, az nem azt jelenti, hogy 5% esélyünk van rá, hogy téved. Most ugyanis a tévedés esélye 80%. A másik fontos tanulság, hogy ez a teszt ugyan sok egészséges embert nyilvánít tévesen betegnek, viszont a betegeket elég jó eséllyel kiszűri. Olyankor, amikor az a cél, hogy egy járványt minél hamarabb megállítsunk, gyakran használnak ilyen típusú olcsó teszteket. Egy ilyen teszt 100 emberből 5 embert fog meg, és az 5 ember között jó eséllyel ott lesz az az egy, aki tényleg beteg, meg még 4 másik. Erre az 5 emberre pedig már lehet alkalmazni egy drágább és jóval kifinomultabb másik tesztet, amely képes kiszűrni, hogy ebből az 5 emberből ki az, aki tényleg beteg, és kik azok, akiknél vaklárma volt.