- Interpolációs polinomok
- Differenciálegyenletek
- Differenciálegyenletek, izoklinák
- Laplace transzformáció
- Paraméteres görbék
- Vektormezők, görbementi és felületi integrálok
- Kettős és hármas intergrál, térfogati integrál
- Divergencia és rotáció
- Valszám alapok, Kombinatorika
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
- Várható érték és szórás
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Kétváltozós eloszlások
- Becslések
- Hipotézisvizsgálat
Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
1. Egy céltábla sugara 50 cm. Azt a távolságot, hogy ilyen távol lövünk a céltábla középpontjától, jelöljük $X$-szel. Tegyük föl, hogy a céltáblát biztosan eltaláljuk.
a) $P(X<10)=?$
b) $P(X<20)=?$
c) $P(X<x)=?$
Megnézem, hogyan kell megoldani
2.
a) Lehet-e $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi függvény?
\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x<0 \\ 1-x, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
b) Milyen $A$ paraméter esetén lesz $f(x)$ sűrűségfüggvény?
\( f(x)= \begin{cases} e^{3x}, &\text{ha } x<0 \\ Ax^2, &\text{ha } 0\leq x\leq1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Csináljunk $F(x)$-ből $f(x)$-et.
\( F(x)= \begin{cases} \frac{3}{4}e^{2x-4}, &\text{ha } x<2 \\ 1-\frac{1}{x^2}, &\text{ha } 2 \leq x \end{cases} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
4.
a) Adott az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, álltsuk elő a sűrűségfüggvényt.
\( F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ \frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2}, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 1, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
b) Itt volna a sűrűségfüggvény és állítsuk elő az eloszlásfüggvényt!
\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ 1-x, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. \( F(x) \) egy eloszlásfüggvény.
\( F(x)= \begin{cases} A+2^{x-2}, &\text{ha } x<1 \\ B-\frac{1}{x^2+1}, &\text{ha } 1 \leq x \end{cases} \)
\( A=? \qquad B=? \qquad P(0<X<2)=? \qquad f(x)=? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. \( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} Ae^{3x-6}, &\text{ha } x<2 \\ 0, &\text{ha } 2 \leq x \end{cases} \)
\( A=? \qquad F(x)=? \qquad P(1<X<3)=? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. \( f(x) \) egy sűrűségfüggvény.
\( f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{x+1}}, &\text{ha } 0<x \leq 8 \\ 0, &\text{máshol } \end{cases} \)
\( F(x)=? \qquad P(0<X<3)=? \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Egy sorsjegy ára 200 forint és minden ötödik sorsjegy nyer. Pista bácsinak 800 forintja van és addig veszi a sorsjegyeket, amíg nem nyer - vagy amíg el nem fogy a pénze. Jelentse X a vásárolt sorsjegyek számát. Adjuk meg az eloszlást, eloszlásfüggvényt, várható értéket és szórást.
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Egy dobozban van 2 piros, 3 sárga és 1 kék labda. Kiveszünk három darabot visszatevés nélkül. Jelentse X a húzott piros labdák számát. Adjuk meg az eloszlást, eloszlásfüggvényt, várható értéket és szórást.
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Egy dobozban cédulákat helyezünk el. Egy darab 1-es, két darab 2-es és három darab 3-as feliratút. A dobozokból két cédulát húzunk és jelentse X a húzott cédulákon szereplő számok összegét. Adjuk meg az eloszlást és az eloszlásfüggvényt.
Diszkrét valószínűségi változó
Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel. Ez azt jelenti, hogy vagy véges sokat, vagy végtelent, de úgy, hogy fel tudjuk sorolni az értékeit.
Eloszlásfüggvény
Az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:
\( F(x)=P(X<x) \)
Ha az $X$ valószínűségi változó diszkrét és értékei $X=a, X=b, X=c$ meg ilyenek, akkor az eloszlásfüggvény mindig egy lépcsőzetes függvény, ami minden számnál pontosan akkorát ugrik, mint az adott szám valószínűsége, amíg el nem érjük az 1-et.
\( F(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq a \\ P(X=a) \quad\text{ha} \; a<x \leq b \\ P(X=a)+P(X=b) \quad \text{ha} \; b<x \leq c \\ \dots \\ 1 \end{cases} \)
Ha az $X$ valószínűségi változó folytonos, akkor az $a$ és $b$ számok között bármilyen valós értéket fölvehet. Ilyenkor az eloszlásfüggvény is folytonos, ami $a$-ig nullát vesz föl, $a$ és $b$ közt növekszik és $b$ után végig egyet vesz föl.Vagyis ahol az $X$ valószínűségi változó működik, ott a függvény életre kel, előtte és utána pedig hibernált állapotban van.
Folytonos valószínűségi változó
Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság. Ebben az esetben az eloszlás függvény is mindig folytonos függvény lesz.
Sűrűségfüggvény
A sűrűségfüggvény úgy működik, hogy a valószínűségeket a görbe alatti területek adják meg. Az eloszlásfüggvény jele $F(x)$ volt, a sűrűségfüggvény jele $f(x)$. Az $a<X<b$ valószínűség éppen a görbe alatti terület $a$-tól $b$-ig.
\( P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) \; dx \)
Ha az $X<a$ valószínűséget szeretnénk kiszámolni:
\( P(X<a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx \)
Ha a $b<X$ valószínűséget:
\( P(b<X) = \int_{b}^{+\infty} f(x) \; dx \)
Ha ezt a három területet összeadjuk, akkor éppen a teljes görbe alatti területet kapjuk, ami a 100%-ot jelenti, így hát ez a terület éppen 1.
A sűrűségfüggvény tulajdonságai:
\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 1 \)
nem negatív
Eloszlásfüggvény tulajdonságai
1. $\lim_{-\infty} F(x) = 0$
2. $\lim_{\infty} F(x) = 1 $
3. monoton nő
4. balról folytonos
Összefüggések eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között
\( P(X<a)=F(a)=\int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx \)
\( P(b<X) = 1 -F(b) = \int_{b}^{+\infty} f(x) \; dx \)
\( P(a<X<b) = F(b)-F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \; dx \)
Sűrűségfüggvény tulajdonságai
1. $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 1 $
2. nem negatív
Sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvény és fordítva
Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk, azaz:
\( F'(x) = f(x) \)
Ha az $X$ valószínűségi változó $f(x)$ sűrűségi függvényét ismerjük, és meg akarjuk adni az $F(x)$ eloszlásfüggvényét, akkor azt pedig így tehetjük:
\( F(x) = \int_{- \infty}^{x} f(t) \; dt \)
Innen megtudhatod, mik azok a valószínűségi változók és azt is, hogy mi az az eloszlás és eloszlásfüggvény. Eloszlás, eloszlásfüggvény, Diszkrét eloszlások, Folytonos eloszlások, Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, Folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Valamint azt is elmeséljük, hogy mi az a sűrűségfüggvény, kiderül, hogy mi a kapcsolat a sűrűségfüggvény és az eloszlásfüggvény között. Sűrűségfüggvény, Görbe alatti terület, mint valószínűség, A sűrűségfüggvény tulajdonságai, Primitív függvény, Newton-Leibniz-tétel, Határozott integrál, Eloszlásfüggvény. Szuper-érthetően megtanulhatod, hogyan lehet valószínűségeket kiszámolni az eloszlásfüggvény és a sűrűségfüggvény segítségével. Sűrűségfüggvény, Görbe alatti terület, mint valószínűség, A sűrűségfüggvény tulajdonságai, Primitív függvény, Newton-Leibniz-tétel, Határozott integrál, Eloszlásfüggvény. Eloszlásfüggvény, Sűrűségfüggvény, A sűrűségfüggvény és az eloszlásfüggvény kapcsolata, Az eloszlásfüggvény tulajdonságai. Valószínűségek kiszámolása az eloszlásfüggvény segítségével, Eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvény.
