Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény

Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel. Ez azt jelenti, hogy vagy véges sokat, vagy végtelent, de úgy, hogy fel tudjuk sorolni az értékeit.

Az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

\( F(x)=P(X<x) \)

Ha az $X$ valószínűségi változó diszkrét és értékei $X=a, X=b, X=c$ meg ilyenek, akkor az eloszlásfüggvény mindig egy lépcsőzetes függvény, ami minden számnál pontosan akkorát ugrik, mint az adott szám valószínűsége, amíg el nem érjük az 1-et.

\( F(x) = \begin{cases} 0 \quad \text{ha} \; x \leq a \\ P(X=a) \quad\text{ha} \; a<x \leq b \\ P(X=a)+P(X=b) \quad \text{ha} \; b<x \leq c \\ \dots \\ 1 \end{cases} \)

Ha az $X$ valószínűségi változó folytonos, akkor az $a$ és $b$ számok között bármilyen valós értéket fölvehet. Ilyenkor az eloszlásfüggvény is folytonos, ami $a$-ig nullát vesz föl, $a$ és $b$ közt növekszik és $b$ után végig egyet vesz föl.Vagyis ahol az $X$ valószínűségi változó működik, ott a függvény életre kel, előtte és utána pedig hibernált állapotban van. 

Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság. Ebben az esetben az eloszlás függvény is mindig folytonos függvény lesz.

A sűrűségfüggvény úgy működik, hogy a valószínűségeket a görbe alatti területek adják meg. Az eloszlásfüggvény jele $F(x)$ volt, a sűrűségfüggvény jele $f(x)$. Az $a<X<b$ valószínűség éppen a görbe alatti terület $a$-tól $b$-ig.

\( P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) \; dx \)

Ha az $X<a$ valószínűséget szeretnénk kiszámolni:

\( P(X<a) = \int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx \)

Ha a $b<X$ valószínűséget:

\( P(b<X) = \int_{b}^{+\infty} f(x) \; dx \)

Ha ezt a három területet összeadjuk, akkor éppen a teljes görbe alatti területet kapjuk, ami a 100%-ot jelenti, így hát ez a terület éppen 1.

A sűrűségfüggvény tulajdonságai:

\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 1 \)

nem negatív

1. $\lim_{-\infty} F(x) = 0$

2. $\lim_{\infty} F(x) = 1 $

3. monoton nő

4. balról folytonos

\( P(X<a)=F(a)=\int_{-\infty}^{a} f(x) \; dx \)

\( P(b<X) = 1 -F(b) = \int_{b}^{+\infty} f(x) \; dx \)

\( P(a<X<b) = F(b)-F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \; dx \)

1. $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = 1 $

2. nem negatív

Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk, azaz:

\( F'(x) = f(x) \)

Ha az $X$ valószínűségi változó $f(x)$ sűrűségi függvényét ismerjük, és meg akarjuk adni az $F(x)$ eloszlásfüggvényét, akkor azt pedig így tehetjük:

\( F(x) = \int_{- \infty}^{x} f(t) \; dt \)