Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk, azaz:
\( F'(x) = f(x) \)
Ha az $X$ valószínűségi változó $f(x)$ sűrűségi függvényét ismerjük, és meg akarjuk adni az $F(x)$ eloszlásfüggvényét, akkor azt pedig így tehetjük:
\( F(x) = \int_{- \infty}^{x} f(t) \; dt \)
Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk. Fordítva pedig integrálni kell.
a) Adott az $X$ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, álltsuk elő a sűrűségfüggvényt.
\( F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ \frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2}, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 1, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
b) Itt volna a sűrűségfüggvény és állítsuk elő az eloszlásfüggvényt!
\( f(x)= \begin{cases} e^{2x}, &\text{ha } x \leq 0 \\ 1-x, &\text{ha } 0 < x \leq 1 \\ 0, &\text{ha } 1<x \end{cases} \)
