SZTE GTK Matematika 2
A kurzus 12 szekcióból áll: Kombinatorikai alapok, Valszám alapok, klasszikus valszám, Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel, Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, Statisztikai alapfogalmak, Várható érték és szórás, Markov és Csebisev egyenlőtlenségek, A binomiális eloszlás és a hipergeometriai eloszlás, Nevezetes folytonos és diszkrét eloszlások, Mátrixok és vektorok, Lineárisan független és összefüggő vektorok, vektorterek, Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
Kombinatorikai alapok
- -
Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.
- -
$n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.
- -
Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.
- -
Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.
- -
Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.
- -
Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.
- -
Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.
Valszám alapok, klasszikus valszám
- -
Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.
- -
A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.
- -
Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.
- -
Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.
- -
A feltételes valószínűség. Az A feltéva B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..
- -
Események metszetének, uniójának, különbségének és komplementerének valószínűségei.
Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- -
A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.
- -
Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- -
Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság.
- -
Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel.
- -
Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..
- -
A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.
- -
Az eloszlásfüggvény határértéke minusz végtelenben 0, plusz végtelenben 1, monoton nő és balról folytonos.
- -
A sűrűségfüggvény integrálja minusz végtelentől plusz végtelenig 1, és nem negatív.
- -
Három nagyon fontos összefüggés eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között.
- -
Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk. Fordítva pedig integrálni kell.
Statisztikai alapfogalmak
- -
A módusz a leggyakoribb érték.
- -
A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.
- -
Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.
- -
Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.
- -
Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.
- -
Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.
- -
A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.
- -
A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:
Várható érték és szórás
- -
A valószínűségi változó értékeinek valószínűségekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rém egyszerű, nézzünk rá néhány példát.
- -
A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.
- -
Folytonos valószínűségi változók esetén a várható értéket egy integrálás segítségével számítjuk.
- -
Folytonos valószínűségi változó esetén a szórást ugyanúgy kell számolni, mint diszkrét valószínűségi változó esetén:
Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- -
A Markov egyenlőtlenség arról szól, hogy az X valószínűségi változó a várható értéknél nem lehet sokkal nagyobb.
- -
A Csebisev egyenlőtlenség azt írja le, hogy az X valószínűségi változó várható értéktől való eltérése nem lehet túl nagy.
- -
Ha egy esemény bekövetkezésének elméleti valószínűsége $p$, akkor minél többször végezzük el a kísérletet, a relatív gyakoriság és az elméleti valószínűség eltérése annál kisebb lesz.
A binomiális eloszlás és a hipergeometriai eloszlás
- -
Ha a szövegben valószínűségek vannak megadva, akkor a binomiális eloszlást szoktuk használni.
- -
A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.
- -
Ha húzásokat vizsgálunk úgy, hogy a kihúzott elemeket nem tesszük vissza, akkor ez egy visszatevés nélküli mintavétel.
- -
A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás.
Nevezetes folytonos és diszkrét eloszlások
- -
A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejtes van.
- -
A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- -
A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.
- -
Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.
- -
- -
Mennyiségek eloszlása.
Mátrixok és vektorok
- -
- -
Ha egy mátrixot egy számmal szorzunk, akkor a mátrix összes elemét meg kell szorozni a számmal.
- -
Ha egy mátrixot osztunk egy számmal, akkor a mátrix minden elemét osztani kell a számmal.
- -
Két mátrix összeadásakor összeadjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet összeadni, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.
- -
Két mátrix kivonásakor kivonjuk az ugyanazon pozícióban lévő elemeket. Két mátrixot csak akkor lehet kivonni egymásból, ha ugyanannyi soruk és oszlopuk van.
- -
Két mátrix szorzata akkor létezik, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Az eredménymátrix i-edik sorának j-edik elemét úgy kapjuk, hogy a bal oldali mátrix i-edik sorát skalárisan szorozzuk a jobb oldali mátrix j-edik oszlopával. (Tehát az első elemet az elsővel, a másodikat a másodikkal stb. szorozzuk, majd összeadjuk)
- -
A mátrix összeadás kommutatív és asszociatív.
- -
A mátrixszorzás nem kommutattív, de asszociatív.
- -
A kvadratikus mátrix négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa.
- -
A diagonális mátrix olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák.
- -
Az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy.
- -
Az inverz mátrix egy olyan mátrix, hogy ha azzal szorozzuk az eredeti mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk. Ha balról szorozva kapunk egységmátrixot, akkor bal inverz, ha jobbról szorozva, akkor jobb inverz mátrix.
- -
A transzponált a mátrix sorainak és oszlopainak felcserélése.
- -
Azokat a mátrixokat, melyek transzponáltjuk önmaga, szimmetrikus mátrixnak nevezzük.
- -
Vektort egy számmal úgy szorzunk, hogy a vektor minden koordinátáját megszorozzuk a számmal.
- -
Vektort egy számmal úgy osztunk, hogy a vektor minden koordinátáját leosztjuk a számmal.
- -
Két vektort úgy adunk össze, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön össze adjuk.
- -
Két vektort úgy vonunk ki egymásból, hogy minden egyes koordinátájukat külön-külön kivonjuk egymásból.
- -
A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.
- -
Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen.
- -
Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak sorait.
- -
Egy olyan vektor, amivel beszorozva a mátrixunkat, összeadja annak egy oszlopában lévő elemeit.
- -
Ha egy mátrixot megszorzunk jobbról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik oszlopát.
- -
Ha egy mátrixot megszorzunk balról egy $\underline{e}_i$ egységvektorral, akkor megkapjuk a mátrix i-edik sorát.
Lineárisan független és összefüggő vektorok, vektorterek
- -
A vektorösszeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és létezik ellentett. A skalárszoros asszociatív, disztributív a vektorokra és a skalárokra is, és létezik egységszeres.
- -
Egy vektorrendszer akkor lineárisan független, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.
- -
Egy vektorrendszer akkor lineárisan összefüggő, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor úgy is elő tud állni, hogy nem minden szorzótényező 0.
- -
Vektorok generátor-rendszert alkotnak, ha minden vektortérbeli vektor elő áll az ő lineáris kombinációjuként.
- -
Egy vektorrendszer akkor alkot független rendszert, ha a vektorok lineáris kombinációjaként a nullvektor csak úgy áll elő, ha minden szorzótényező 0.
- -
A bázis független generátorrendszer.
- -
Egy vektorrendszer rangja a benne lévő független vektorok maximális száma
- -
W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.
- -
Egy vektor akkor állítható egy vektorrendszerrel, ha előáll azon vektorok lineáris kombinációjaként.
Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
- -
Egy egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.
- -
Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.
- -
Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.
- -
Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.
- -
Ha egy egyenletrendszernek több az ismeretlene, mint ahány egyenlete van, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
- -
Ha egy egyenletrendszerben két olyan egyenlet szerepel, ahol az ismeretlenek együtthatói megegyeznek, de más az eredményük, akkor az ellentmondó egyenletrendszer, aminek nincs megoldása.
- -
A szabadságfok a szabadváltozók száma.
- -
Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.
- -
Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.
- -
Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.
- -
Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.