Valószínűségszámítás

Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

$n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.

Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.

A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.

Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.

Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.

A feltételes valószínűség. Az A feltéva B valószínűség azt jelenti, hogy mekkora eséllyel következik be az A esemény, ha a B esemény biztosan bekövetkezik..

Események metszetének, uniójának, különbségének és komplementerének valószínűségei.

A teljes valószínűség tétele azt mondja ki, hogy ha ismerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamennyi eseményére, akkor ebből az A esemény valószínűsége kiszámítható.

Olyankor használjuk, ha egy korábban bekövetkezett $B_k$ esemény valószínűségére vagyunk kíváncsiak egy később bekövetkezett A esemény tükrében.

A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.

Folytonosnak nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik folytonos mennyiségeket mérnek, ilyen például az idő, a távolság.

Diszkrétnek nevezzük azokat a valószínűségi változókat, amik megszámlálhatóan sok értéket vesznek fel.

Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x). F(x)=P(x<X) Vagyis minden x számhoz hozzárendeli annak a valószínűségét, hogy X<x. Nos ez elég izgi..

A sűrűségfüggvény a görbe alatti területekkel írja le egy esemény valószínűségét.

Az eloszlásfüggvény határértéke minusz végtelenben 0, plusz végtelenben 1, monoton nő és balról folytonos.

A sűrűségfüggvény integrálja minusz végtelentől plusz végtelenig 1, és nem negatív.

Három nagyon fontos összefüggés eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény között.

Az $X$ valószínűségi változó $F(x)$ eloszlásfüggvényéből úgy kapjuk meg az $f(x)$ sűrűségfüggvényét, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvényt deriváljuk. Fordítva pedig integrálni kell.

Ha egy esemény előfordulását geometriai alakzat (vonal, síkidom, test) mértékével jellemezzük, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.

Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.

Az (a+b) hatványainak általánosítására egy képlet.

A valószínűségi változó értékeinek valószínűségekkel súlyozott átlaga. De valójában ez rém egyszerű, nézzünk rá néhány példát.

A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.

Folytonos valószínűségi változók esetén a várható értéket egy integrálás segítségével számítjuk.

Folytonos valószínűségi változó esetén a szórást ugyanúgy kell számolni, mint diszkrét valószínűségi változó esetén:

A Markov egyenlőtlenség arról szól, hogy az X valószínűségi változó a várható értéknél nem lehet sokkal nagyobb.

A Csebisev egyenlőtlenség azt írja le, hogy az X valószínűségi változó várható értéktől való eltérése nem lehet túl nagy.

Ha egy esemény bekövetkezésének elméleti valószínűsége $p$, akkor minél többször végezzük el a kísérletet, a relatív gyakoriság és az elméleti valószínűség eltérése annál kisebb lesz.

Ha a szövegben valószínűségek vannak megadva, akkor a binomiális eloszlást szoktuk használni.

A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.

Ha húzásokat vizsgálunk úgy, hogy a kihúzott elemeket nem tesszük vissza, akkor ez egy visszatevés nélküli mintavétel.

A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás.

A hipergeometriai eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol N darab elem közül kiválasztunk n darab elemet visszatevés nélkül. Az összes elem között K darab selejtes található. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy a kiválasztott elemek között éppen k darab selejtes van.

A binomiális eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a valószínűsége p és egymástól függetlenül elvégzünk n darab kísérletet, ahol a kísérletek mindegyikében az esemény vagy bekövetkezik vagy nem. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.

A Poisson eloszlás egy diszkrét eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének a várható előfordulása lambda darab. Az eloszlás annak valószínűségét írja le, hogy az esemény éppen k-szor következik be.

Az eltelt idők és a távolságok eloszlása.

Ez egy folytonos eloszlás, ahol egy esemény bekövetkezésének valószínűsége valamely intervallumon konstans.

Mennyiségek eloszlása.

$X$ és $Y$ együttes eloszlása egy táblázat, amelyben szerepel $X$ és $Y$ összes lehetséges értéke és a hozzájuk tartozó valószínűségek.

A korreláció $X$ és $Y$ valószínűségi változók közötti kapcsolatot írja le.

Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.

Két valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvényeinek felírása.

Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvény nagyon vicces módon írja le a valószínűségeket a függvény felülete alatti térfogat segítségével, vagyis jó sokat kell integrálgatni.

Két valószínűségi változó együttes sűrűségfüggvényéből ki tudjuk számolni az X és az Y valószínűségi változó saját sűrűségfüggvényét. Ezeket hívjuk perem-sűrűségfüggvényeknek.

Két valószínűségi változó peremeloszlás-függvényeinek felírása.

A módusz a leggyakoribb érték.

A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.

Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.

Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.

Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.

A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.

A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:

Olyan esetekben, amikor valamiért nem tudjuk vagy nem akarjuk a teljes sokaságot megvizsgálni, hogy meghatározzuk a fontosabb statisztikai mutatóit, becslést alkalmazunk.

A megbízhatósági szintet konfidencia szintnek nevezzük.

Az $1- \alpha$ megbízhatósági szinthez, vagy másként konfidencia szinthez tartozó konfidencia intervallumok azok az intervallumok, amik a sokasági átlagot $1-\alpha$ valószínűséggel tartalmazzák.

Módszer az átlag intervallumbecslésére, ha a sokasági szórás ismert.

A FAE minta azt jelenti, hogy a mintavétel során bármely mintaelemet azonos eséllyel választunk ki.

Módszer átlag intervallumbecslésére, ha a sokasági szórás nem ismert.

Módszer arány intervallumbecslésére.

Módszer variancia intervallumbecslésre.

Az EV-minta abban különbözik a FAE-mintától, hogy a kiválasztott mintaelemek nem függetlenek egymástól.

Módszer átlag intervallumbecslésre, ha a sokasági szórás nem ismert (EV-minta).

Módszer arány intervallumbecslésére EV-minta esetén.

Ha a teljes sokaságot felosztjuk viszonylag homogén rétegekre, és a mintát is ezen a rétegek szerint vizsgáljuk, a variancia csökkenthető.

A kétmintás becslésekre akkor van szükség, amikor két sokaság valamilyen paraméterét, leginkább az átlagát szeretnénk összehasonlítani.

Ha mindkét sokaság közel normális eloszlású, akkor az átlagok különbségének becslésére ez a formula van forgalomban.

Egy becslést torzítatlannak nevezünk, ha az egyes mintákból kapott becslések várható értéke megegyezik a becsülni kívánt mennyiséggel.

A kérdés az, hogy ha egy sokasági jellemzőre több becslés jöhet szóba, hogyan válasszunk közülük, vagyis mikor tekintünk egy becslést jónak, kettő közül melyiket tekintjük jobbnak és kijelenthetjük-e valamelyikről, hogy a legjobb?

Két becslés közül azt részesítjük előnyben, amelyre MSE kisebb.

A standard hiba azt mondja meg, hogy a mintaátlagok mekkora szórással ingadoznak a tényleges sokasági átlag körül.

Mintavételi hibának azokat a hibákat nevezzük, amik kimondottan azért fordulnak elő, mert nem tudjuk, vagy nem akarjuk a teljes sokaságot vizsgálni.

Az elfogadási tartomány az a tartomány, ahová ha a próba értéke kerül, akkor a nullhipotézist elfogadjuk.

A kritikus tartomány az a tartomány, ahová ha a próba értéke kerül, akkor a nullhipotézist elvetjük.

A szignifikanciaszint a hibás döntés valószínűsége.

A hipotézis megfogalmazása. A próbafüggvény kiválasztása. Szignifikanciaszint és kritikus tartomány. Mintavétel és döntés.

A sokaság normális eloszlású, szórása $\sigma$, $H_0$ a sokaság átlagára vonatkozik, a minta elemszáma $n$.

A sokaság normális eloszlású, szórása nem ismert, $H_0$ a sokaság átlagára vonatkozik, a minta elemszáma $n$

A sokaság tetszőleges eloszlású, szórása nem ismert, $H_0$ a sokaság átlagára vonatkozik, a minta $n$ elemű, elemszáma nagy.

A sokaság tetszőleges eloszlású, $H_0$ a sokasági arányra vonatkozik, a minta $n$ elemű, elemszáma nagy

A sokaság normális eloszlású, $H_0$ a sokasági szórásra vonatkozik, a minta $n$ elemű.

A sokaság eloszlására irányuló vizsgálat.

A sokaságon belül két ismérv függetlenségére irányuló vizsgálat. $H_0$: a két ismérv független, az ellenhipotézis pedig, $H_1$: a két ismérv közti kapcsolat sztochasztikus vagy függvényszerű.

Két sokaságban valamely változó eloszlásának egyezőségére irányuló vizsgálat. $H_0$: a két sokaságban az eloszlás egyező, az ellenhipotézis pedig, $H_1$: a két eloszlás nem egyező.

Mindkét sokaság normális eloszlású, szórásaik $\sigma_X$ és $\sigma_Y$.

A két sokaság normális eloszlású és szórásaik egyformák.

A két sokaság eloszlása és szórása nem ismert, mindkettő szórása véges, és mindkét minta elemszáma elég nagy.

Két sokaság szórásának összehasonlítására irányuló próba, ha mindkét sokaság normális eloszlású. A nullhipotézis $H_0$: $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$

Több sokaság várható értékének összehasonlítására vonatkozó próba, ha mindegyik sokaság normális eloszlású és azonos szórású.

A Bartlett-próba több sokaság szórásának összehasonlítására vonatkozó próba, ha mindegyik sokaság normális eloszlású.

A regressziószámítás lényege annak vizsgálata, hogy egy bizonyos változó, amit eredményváltozónak hívunk, hogyan függ más változók, az úgynevezett magyarázó változók alakulásától.

A regressziós egyenes egy lineáris függvény, ami mindegyik x-hez hozzárendel valamilyen y-t. Ezek általánan eltérnek a valódi y-októl. Ezeket az eltéréseket reziduumoknak nevezzük.

A reziduumokból képzett mutató az úgynevezett SSE, jelentése sum of squares of the errors vagyis eltérés-négyzetösszeg.

Ha az SSE értékeit elosztjuk a megfigyelt pontok számával és a kapott eredménynek vesszük a gyökét, akkor kapjuk a reziduális szórást.

A lineáris korrelációs együttható azt méri, hogy x és y között milyen szoros lineáris kapcsolat van.

A magyarázóerőt méri az úgynevezett determinációs együttható.

A hatványkitevős modellben y helyett lg y, x helyett lg x van, $\hat{b}_1$ viszont marad $\hat{b}_1$

Az exponenciális modellben y helyett lg y van, az x viszont marad x, $\hat{b}_1$ helyett pedig $\lg{ \hat{b}_1}$ van.

Az elaszticitás két összefüggő jelenség közti kapcsolat.

5 feltétel standard lineáris modellhez.

A paraméterek és a regresszió becslése standard lineáris modellben.

A többváltozós regressziós modelleket olyankor alkalmazzuk, amikor az eredményváltozó alakulását több magyarázó változó tükrében vizsgáljuk.

A kétváltozós esethez hasonlóan a korreláció itt is a változók közti kapcsolat szorosságát írja le, csakhogy itt egy fokkal rosszabb a helyzet, ugyanis most bármely két változó korrelációját vizsgálhatjuk. Ezt tartalmazza a korrelációmátrix.

A tesztelés úgy zajlik, hogy nullhipotézisnek tekintjük a $H_0 :  b_i = 0$ feltevést, ellenhipotézisnek pedig azt, hogy $H_1  :  b_i \neq 0$.

Négyzetösszeg, szabadságfok, átlagos négyzetösszeg, F.

A multikollinearitás röviden összefoglalva azt jelenti, hogy két vagy több magyarázó változó között túl szoros korrelációs kapcsolat van, és ez zavarja a becslést.

Az autokorreláció a regresszió maradéktagjának a saját későbbi értékeivel való korrelációját jelenti, vagyis egyfajta szabályszerűséget a maradékváltozóban.

A Durbin-Wattson-teszt lényegében egy hipotizésvizsgálat.

Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

Integráláskor a konstans szorzó kivihető.

Összeget külön-külön is integrálhatunk.

Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

Szorzat integrálásának egy speciális esete, amikor a függvény n-edik hatványon van és meg van szorozva a deriváltjával.

Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.

Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.

Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.

Törtek integrálásának egy speciális esete, amikor a tört számlálója a nevező deriváltja.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás lényege, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk majd megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás úgy működik, hogy egy kifejezést $u$-val helyettesítünk annak reményében, hogy hátha így képesek leszünk megoldani a feladatot.

A helyettesítéses integrálás egyik legfurcsább esete az $u = \tan{ \frac{x}{2} } $. Olyankor használjuk, ha a törtben $\sin{x}$ és $\cos{x}$ is csak első fokon szerepel.

A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.