- Kombinatorika
- Valszám alapok, klasszikus valszám
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
- Várható érték és szórás
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- A binomiális eloszlás és a hipergeometriai eloszlás
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Kétváltozós eloszlások
- Statisztikai alapfogalmak
- Becslések
- Hipotézisvizsgálat
- Regressziószámítás
- Nem hátrány, ha tudunk integrálni
A binomiális eloszlás és a hipergeometriai eloszlás
Binomiális eloszlás
Ezt a képletet hívjuk binomiális eloszlásnak:
\( P = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
ahol $n$ a kísérletek száma,
$k$ a sikeres kísérletek száma,
$p$ pedig a sikeres kísérlet valószínűsége.
Visszatevéses mintavétel
Visszatevéses mintavételről beszélünk, ha egy $p$ valószínűségű elem többszöri kihúzásának esélyét vizsgáljuk úgy, hogy ha kihúzunk egy ilyen elemet, akkor ezt követően azt visszarakjuk.
Például ha azt vizsgáljuk, hogy egy kosárban van 8 piros és 5 kék golyó, és mennyi a valószínűsége, hogy háromszor húzva két piros és egy kék golyót húznánk úgy, hogy a kihúzott golyókat mindig visszatesszük, akkor az egy visszatevéses mintavétel.
A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.
Visszatevés nélküli mintavétel
A visszatevés nélküli mintavétel tipikus példája, hogy van egy doboz, benne $N$ darab elem. Közülük $K$ darab valamilyen tulajdonságú, az egyszerűség kedvéért hívjuk selejtesnek. Mondjuk sárga vagy szép vagy ronda. Kihúzunk $n$ darab elemet, és ez a képlet meg fogja nekünk mondani, hogy mekkora az esélye, hogy közülük $k$ darab a vizsgált tulajdonságú:
\( P(X=k)=\frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)
De vannak olyan esetek, amikor a visszatevés nélküli mintavételnél másik képletet kell használnunk. Ezt a másik képletet binomiális eloszlásnak nevezzük, és olyankor használjuk, amikor a selejtek száma helyett csak a selejtek arányát ismerjük.
Ez a binomiális eloszlás képlete:
\( P = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
ahol $n$ a kísérletek száma,
$k$ a sikeres kísérletek száma,
$p$ pedig a sikeres kísérlet valószínűsége.
És, hogy mi alapján döntjük el, hogy a két képlet közül melyiket kell használni? A dolog nagyon logikus, nézd meg a kapcsolódó epizódot és minden világos lesz.
Hipergeometriai eloszlás
A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás, képlete pedig:
\( P(X=k)=\frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)
a) Van egy dobókocka, aminek 3 oldala kék, 2 oldala sárga és 1 pedig piros. Nézzük meg, mekkora a sansza, hogy 4 dobásból 2 sárga.
b) Van egy dobókocka, aminek 3 oldala kék, 2 oldala sárga és 1 pedig piros. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 4 dobásból 1 piros.
c) Egy dobozban van 3 kék, 2 sárga és 1 piros labda. Kiveszünk a dobozból 4 labdát. Mi a valószínűsége, hogy 1 sárga?
d) Egy dobókocka 3 oldala kék, 2 oldala sárga és 1 oldala piros. Egymás után 4-szer dobunk a kockával. Mi a valószínűsége, hogy 1 sárga?
e) Egy bárban 100-an vannak, közülük 60-an lányok. A vendégek közül kiválasztunk 10 embert. Mi a valószínűsége, hogy 7 lány?
f) Egy bárban a vendégek 60%-a lány. A vendégek közül kiválasztunk 10 embert. Mi a valószínűsége, hogy 7 lány?
Egy üzlet a következő 20 napból 3 nap zárva tart. Kiválasztunk 5 napot, mi a valószínűsége, hogy 3 nap lesz nyitva?
Egy bizonyos hónap 30 napjából átlag 12 nap szokott esni. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?
Egy vizsgán a hallgatóknak általában 60%-a megbukik. Egy nap 10-en vizsgáznak, mi a valószínűsége, hogy
a) legfeljebb 2-en mennek át?
b) legalább 2-en mennek át?
Egy rádióteleszkóp-rendszer a Föld 8 különböző pontján elhelyezett teleszkópból áll. A rendszer üzemképes, ha legalább 6 teleszkóp egyszerre működik. A kedvezőtlen időjárási körülmények miatt egy adott napon 0,2 annak a valószínűsége, hogy egy teleszkóp épp nem működik.
a) Mi a valószínűsége, hogy egy adott napon a rendszer üzemképes?
b) Mi a valószínűsége, hogy egy héten kevesebb, mint 3 nap üzemképes a rendszer?
c) Egy héten várhatóan hány nap üzemképes a rendszer?
I.) Egy könyvárus óránként átlag 8 könyvet tud eladni. Mekkora a valószínűsége, hogy 5 óra alatt elad legalább 50 darabot? Adjunk erre becslést a Markov-egyenlőtlenséggel.
II.) Egy autópályán 100 autóból átlag 12-nél találnak valamilyen szabálytalanságot. 10 autót véletlenszerűen megállítva, mi a valószínűsége, hogy
a) pontosan két autónál lesz valamilyen szabálytalanság?
b) legfeljebb két autónál lesz szabálytalanság?
c) legalább két autónál lesz szabálytalanság?
d) két egymást követő autó szabálytalan?
Egy közvélemény-kutatás során átlagosan minden ötödik ember hajlandó válaszolni a kérdésünkre. Az egyes emberek válaszadási hajlandósága független egymástól. 100 embert megkérdezve...
a) Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 30 választ kapunk?
b) Mennyi a valószínűsége, hogy a 10. megkérdezett ember lesz az első válaszadó?
A légitársaságok általában több jegyet adnak el egy járatra, mint ahány hely a gépen ténylegesen van, mert mindig van néhány utas, aki végül betegség, késés vagy egyéb ok miatt nem száll föl a gépre. Ezt a jelenséget túlfoglalásnak nevezik. Egy légitársaság a 180 férőhelyes gépre 183 darab jegyet szokott eladni. Annak valószínűsége, hogy egy jeggyel rendelkező utas végül mégsem jelenik meg az indulásig 0,04. Mekkora a valószínűsége, hogy egy utazás alkalmával a túlfoglalás miatt van olyan utas, aki nem fér fel a gépre?
A fák egy részében megtelepedett a szú. Bármelyik fát kiválasztva 4% annak a valószínűsége, hogy van benne szú. Egy vásárló 50 fát vett. Mennyi a valószínűsége, hogy legfeljebb egy szúrágta fa kerül a rakományba?
Egy dobozban több ezer érme van, amelyek 3%-a hibás. Az érmék közül véletlenszerűen kiválasztunk 80-at. (A kiválasztás visszatevéses mintavétellel is modellezhető.) Mennyi a valószínűsége annak, hogy legfeljebb 2 hibás érme lesz a kiválasztott érmék között?
Itt végre megtudhatod, hogyan kell valószínűséget számolni a visszatevéses és a visszatevés nélküli mintavételnél, kiderül, hogy mi a binomiális eloszlás és a hipergeometriai eloszlás, mikor melyiket kell használni és mi köze van ezeknek a visszatevéses és visszatevés nélküli mintavételhez. Leleplezünk egy téveszmét is, hogy a visszatevéses minta mindig binomiális a visszatevés nélküli minta pedig mindig hipergeometriai eloszlás. Ez csak félig igaz. Kiderül, hogy melyik fele igaz és melyik nem, sőt az is kiderül, hogy miért nem és mit lehet olyankor tenni.
