Egyetemi matek alapozó

Ha több művelet szerepel egymás mellett, akkor a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk őket.

A műveleti sorrendben a zárójel az első.

Ezt követik a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.

Az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.

Hogyan végezzünk műveleteket betűs kifejezésekkel.

Itt jön néhány példa arra, hogyan lehet kiemeléssel szorzattá alakítani.

Törtek és algebrai törtek egyszerűsítésének módszerei.

Ha a törtekből nem lett volna elég, itt jönnek az algebrai törtek.

Kéttagú összegek és különbségek négyzetre emelése. Két négyzet különbségének szorzata.

Kéttagú összegek és különbségek köbre emelése.

Kéttagú összegek n-edik hatványra emelésének képlete.

Az (a+b) hatványainak általánosítására egy képlet.

Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.

Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.

A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.

Globális és lokális maximumok és minimumok.

A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.

Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.

Elsőfokú egyenletek megoldása, a mérleg elv. Törtes egyenletek megoldása.

A másodfokú egyenlet megoldóképlete és alkalmazása.

A másodfokú egyenlet megoldóképletének gyök alatti része a diszkrimináns.

A másodfokú egyenlet szorzatalakja.

A Viète-formulák nem valami titkós gyógyszer hatóanyag, hanem a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket írja le.

A behelyettesítő módszer az egyenletrendszerek megoldásának egyik technikája, ami során az egyik ismeretlent kifejezzük a másikkal.

Az egyenlő együtthatók módszere egy megoldási technika az egyenletrendszerekhez, ami során a két egyenletet összeadjuk vagy kivonjuk egymásból.

Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.

Az elsőfokú egyenlőtlenségeknél még izgalmasabbak a másodfokú egyenlőtlenségek.

Egy szám abszolútértékén a nullától való távolságát értjük.

Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.

Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

Megnézzük, hogy milyen izgalmak fordulhatnak elő a gyökös egyenletek világában. Hogyan kell megoldani egy gyökös egyenletet? Mikor lehet egy egyenletet négyzetre emelni? Milyen kikötéseket kell tenni egy gyökös egyenlet megoldásánál? Törtes gyökös egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető gyökös egyenletek.

Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a hatványazonosságokból. Megnézzük, hogyan kell a hatványazonosságokat használni. Megnézzük mi az az exponenciális függvény és hogyan kell ábrázolni.

Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában. Itt jönnek az exponenciális függvények.

Mik azok az exponenciális egyenletek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenletet? Törtes exponenciális egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető exponenciális egyenletek.

Mik azok az exponenciális egyenlőtlenségek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenlőtlenséget?

Itt végre szuper-érthetően kiderül, hogy mi az a logaritmus. Készítünk egy gyors kis összefoglalót a logaritmus azonosságairól. Megnézzük, hogyan kell a logaritmus azonosságokat használni. Megnézzük mi az a logaritmus függvény és hogyan kell ábrázolni.

Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a logaritmus azonosságokról. Megnézzük, hogyan kell az azonosságokat használni, milyen kikötéseket kell tenni a logaritmikus kifejezéseknél, hogyan néz ki a logaritmus függvény.

Mik azok a logaritmusos egyenletek? Hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet? Milyen kikötéseket kell tenni egy logaritmusos egyenlet megoldásánál? Törtes logaritmikus egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető logaritmikus egyenletek.

Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?

Trigonometriai képlet összefoglaló. Összefüggések a tangens és kotangens között. A trigonometria alapegyenlete. Szögek kétszeresének szinusza és koszinusza.

Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának x koordinátáját nevezzük a szög koszinuszának

Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának y koordinátáját nevezzük a szög szinuszának.

Egy szög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő.

Szinuszt és koszinuszt tartalmazó egyenletek megoldásának lépései.

Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Komplex számok összeadásakor összeadjuk a valós részeket és külön összeadjuk a képzetes részeket. Kivonáskor külön kivonjuk egymásból a valós részeket és a képzetes részeket.

Egy képlet az a+bi alakú komplex számok szorzásához.

A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) számból épülnek föl. A valós számok a szokásos x tengelyen helyezkednek el, míg az imaginárius számok egy erre merőleges y tengelyen, amit imaginárius tegelynek, vagy képzetes tengelynek nevezünk.

Olyan számok, amelyek valós és képzetes részből épülnek fel.

A valós számokat úgy érdemes elképzelni, mint egy koordinátarendszer x tengelyét. És minden helyet ki is töltenek a valós számok ezen a számegyenesen. A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) részből épülnek föl, és szemléltetésükhöz nem egy, hanem két koordinátatengelyre van szükség. Az x tengelyen vannak a valós számok, az y tengelyen pedig az imaginárius, vagyis a képzetes számok. A valós számok tengelyén az egység a szokásos 1, míg az imaginárius számok tengelyén az egység az i. A kétb tengely által kifeszített síkot nevezzük komplex számsíknak, vagy másknt Gauss-féle számsíknak. 

A komplex szám tükörképe az x tengelyre.

Egy komplex szám abszolútértéke az origotól mért távolsága.

A komplex számok osztását, szorzását és hatványozását megkönnyítő forma.

Képlet komplex számok szorzásához és osztásához, ha azok trigonometrikus alakban vannak megadva.

Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.

Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám trigonometrikus alakban van.

Képlet komplex számok szorzásához és összeadásához, ha a komplex számok exponenciális alakban vannak megadva.

Egy képlet komplex számok hatványozásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.

Egy képlet komplex számok gyökvonásához, ha a komplex szám exponenciális alakban van.

Nevezetes 0-hoz tartó sorozatok.

Nevezetes végtelenhez tartó sorozatok.

Nevezetes gyökös sorozatok határértéke.

Exponenciális kifejezések határértéke.

Egy nevezetes sorozatcsalád, az e-hez tartó sorozatok.

Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük. Az ugráló sorozatokat oszcillálónak nevezzük. Lássunk néhány példát.

Ha két rendőr közrefog egy honpolgárt és a két rendőr konvergál a rendőrőrsre, akkor az általuk közrefogott honpolgárnak is szükségképpen konvergálnia kell a rendőrőrsre..

Lássuk mi a teendő gyökös sorozatok és ronda gyökös sorozatok esetén.

A végtelenbe tartó sorozatok nagyságrendi sorrendje azt mondja meg, hogy melyik sorozat milyen ütemben tart a végtelenbe. Minél nagyobb nagyságrendű egy sorozat, annál gyorsabban tart a végtelenbe

Egy sorozatnak torlódási pontja az A szám, ha bármilyen kis környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van.

Egy sorozat limesz inferiorja a torlódási pontjainak infinuma. A limesz szuperiorja a torlódási pontjainak szuprémuma.

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.

Függvények szakadása négy féle lehet: megszüntethető szakadás, ugrás, nem megszüntethető, nem véges szakadás, nem megszüntethető oszcilláló szakadás.

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya.

A sinh és cosh hiperbolikus függvények közt fennálló azonosságok.

A cosh, sinh és tanh függvények deriváltjai.

A cosh, sinh és tanh függvények inverzfüggvényei.

Az arcosh, arsinh és artanh függvények deriváltjai.

Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

$n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.

Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Eseményeknek nevezzük a valószínűségi kísérlet során bekövetkező lehetséges kimeneteleket.

A valószínűség kiszámításának klasszikus modellje az, hogy megszámoljuk hány elemi eseményből áll a vizsgált esemény és ezt elosztjuk az összes elemi esemény számával.

Ha a szövegben valószínűségek vannak megadva, akkor a binomiális eloszlást szoktuk használni.

A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.

Ha húzásokat vizsgálunk úgy, hogy a kihúzott elemeket nem tesszük vissza, akkor ez egy visszatevés nélküli mintavétel.

A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás.

Mikor mondjuk, hogy két esemény egymástól független? Példák független eseményekre.

Mikor kizáró két esemény? Példák kizáró eseményekre.