Matek 11. osztály | mateking
 
27 témakör, 355 rövid és szuper érthető epizód
Ezt a nagyon laza Matek 11. osztály kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.
3 450 Ft fél évre

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 27 szekcióból áll: Trigonometria, Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek, Szinusztétel és koszinusztétel, Kombinatorika, Gráfok, Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek, Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, Logaritmus, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt), Számelmélet, számrendszerek, Statisztika, Valószínűségszámítás, A várható érték, Vektorok, Koordinátageometria, A parabola (emelt szint), Százalékszámítás és pénzügyi számítások, Függvények ábrázolása, Feladatok függvényekkel, Bizonyítási módszerek, matematikai logika, Sorozatok határértéke (emelt szint), Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint), Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint), Deriválás (emelt szint), Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint), Függvények érintője (emelt szint), Az integrálás (emelt szint)

Trigonometria

  • -

    Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?

  • -

    Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a koszinusz. Mire jó a a koszinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása koszinusz szögfüggvény segítségével.

  • -

    Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a szinusz. Mire jó a szinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása szinusz szögfüggvény segítségével.

  • -

    Derékszögű háromszögben a szinusz a szöggel szemközti befogó és átfogó hányadosa. A koszinusz a szög melleti befogó és átfogó hányadosa. A tangens a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó hányadosa.

  • -

    Derékszögű háromszögben egy szög tangense a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó hányadosa.

  • -

    A háromszög területe kiszámítható a két oldal és a közrefogott szög szinuszának szorzataként, osztva 2-vel.

  • -

    Ha a kört kettéosztjuk egy húrjával, akkor körszeleteket kapunk. A körszelet területe az őt magába foglaló körcikk és egyenlőszárú háromszög különbsége.

Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek

  • -

    Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?

  • -

    Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának x koordinátáját nevezzük a szög koszinuszának

  • -

    Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának y koordinátáját nevezzük a szög szinuszának.

  • -

    Egy szög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő.

  • -

    Trigonometriai képlet összefoglaló. Összefüggések a tangens és kotangens között. A trigonometria alapegyenlete. Szögek kétszeresének szinusza és koszinusza.

  • -

    Szinuszt és koszinuszt tartalmazó egyenletek megoldásának lépései.

  • -

    Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Szinusztétel és koszinusztétel

  • -

    A Szinusz tétel szerint tetszőleges háromszögben bármely oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának arányával.

  • -

    A Koszinusz tétel szerint tetszőleges háromszögben egy tetszőleges oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összege és a másik két oldal illetve a kiválasztott oldallal szemközti szög koszinuszának szorzatának különbségével.

Kombinatorika

  • -

    $n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.

  • -

    Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

  • -

    Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

  • -

    Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

  • -

    Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

  • -

    Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

  • -

    Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Gráfok

  • -

    A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.

  • -

    Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.

  • -

    Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

  • -

    A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.

  • -

    Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.

  • -

    Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.

  • -

    Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.

  • -

    Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.

Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek

  • -

    Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.

  • -

    Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

  • -

    Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek

  • -

    Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában. Itt jönnek az exponenciális függvények.

  • -

    Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a hatványazonosságokból. Megnézzük, hogyan kell a hatványazonosságokat használni. Megnézzük mi az az exponenciális függvény és hogyan kell ábrázolni.

  • -

    Mik azok az exponenciális egyenletek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenletet? Törtes exponenciális egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető exponenciális egyenletek.

  • -

    Mik azok az exponenciális egyenlőtlenségek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenlőtlenséget?

Logaritmus, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek

  • -

    Itt végre szuper-érthetően kiderül, hogy mi az a logaritmus. Készítünk egy gyors kis összefoglalót a logaritmus azonosságairól. Megnézzük, hogyan kell a logaritmus azonosságokat használni. Megnézzük mi az a logaritmus függvény és hogyan kell ábrázolni.

  • -

    Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a logaritmus azonosságokról. Megnézzük, hogyan kell az azonosságokat használni, milyen kikötéseket kell tenni a logaritmikus kifejezéseknél, hogyan néz ki a logaritmus függvény.

  • -

    Mik azok a logaritmusos egyenletek? Hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet? Milyen kikötéseket kell tenni egy logaritmusos egyenlet megoldásánál? Törtes logaritmikus egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető logaritmikus egyenletek.

Számelmélet, számrendszerek

Statisztika

  • -

    A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

  • -

    A módusz a leggyakoribb érték.

  • -

    Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.

  • -

    Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.

  • -

    Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.

  • -

    A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.

  • -

    Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.

  • -

    A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:

Valószínűségszámítás

A várható érték

Vektorok

  • -

    A vektor egy irányított szakasz.

  • -

    Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

  • -

    Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

  • -

    Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

Koordinátageometria

  • -

    Mi az normálvektor? Mi az irányvektor? Egyenes egyenletének felírása, pont és egyenes távolsága, párhuzamos és merőleges egyenesek.

  • -

    Az irányvektor az egyenessel párhuzamos nem nullvektor.

  • -

    A normálvektor az egyenesre merőleges nem nullvektor.

  • -

    Egyenes egyenletének felírása, pont és egyenes távolságának kiszámolása, képlet pont és egyenes távolságára.

  • -

    Hogyan írjuk föl egy kör egyenletét? A kör kanonikus egyenlete, a kör középpontja és sugara, kör és egyenes metszéspontja.

A parabola (emelt szint)

  • -

    A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy v egyenestől (vezéregyenes) és az egyenesre nem illeszkedő F ponttól (fókuszpont) egyenlő távolságra vannak.

  • -

    Hogyan írhatjuk fel a parabola egyenletét és milyen adatokra van ehhez szükség.

  • -

    A parabola egyenlete, ha tengelye párhuzamos az x tengellyel, illetve ha tengelye párhuzamos az y tengellyel.

Százalékszámítás és pénzügyi számítások

Függvények ábrázolása

Feladatok függvényekkel

  • -

    A másodfokú függvény olyan függvény, amelynek legmagasabb fokú tagja másodfokú.

  • -

    Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Bizonyítási módszerek, matematikai logika

Sorozatok határértéke (emelt szint)

Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)

  • -

    Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

  • -

    sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

  • -

    Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

  • -

    A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.

Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)

Deriválás (emelt szint)

  • -

    Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

  • -

    Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

  • -

    Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

  • -

    Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

Függvények érintője (emelt szint)

  • -

    A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

Az integrálás (emelt szint)

  • -

    Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

  • -

    Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

  • -

    Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

  • -

    A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

  • -

    Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

  • -

    Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.