- Trigonometria
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Kombinatorika
- Gráfok
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Számelmélet, számrendszerek
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- A geometriai valószínűség
- A várható érték
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Függvények ábrázolása
- Feladatok függvényekkel
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számtani és mértani sorozatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Számelmélet, számrendszerek
Oszthatóság
Az $a$ egész számnak a $b$ egész szám osztója, ha létezik olyan $q$ egész szám, hogy $a=b \cdot q$.
Maradékos osztás
Legyenek $a$ és $b$ természetes számok. Ekkor felírhatók
$a=q \cdot b + r \qquad 0<r<b$
Ahol $q$ és $r$ is természetes számok és $q$ az osztás hányadosa, $r$ pedig a maradék.
2-vel oszthatóság
Egy szám akkor osztható 2-vel, ha páros, azaz 0, 2, 4, 6, vagy 8-ra végződik.
3-mal oszthatóság
Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal.
4-gyel oszthatóság
Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két jegyéből alkottot szám osztható 4-gyel.
5-tel oszthatóság
Egy szám akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy 5.
6-tal oszthatóság
6-tal azok a számok oszthatók, amik 2-vel és 3-mal is oszthatók.
Ezek éppen a 3-mal osztható páros számok.
9-cel oszthatóság
Egy szám akkor osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel.
10-zel oszthatóság
10-zel azok a számok oszthatók, amik 0-ra végződnek.
11-gyel oszthatóság
11-gyel akkor osztható egy szám, ha hátulról kezdve $+-+- \dots$ előjelekkel összeadjuk a számjegyeket, akkor az így kapott szám osztható 11-gyel.
Legnagyobb közös osztó
Az $a$ és $b$ szám legnagyobb közös osztója az a $d$ pozitív szám, amire $ d \mid a$ és $d\mid b$, és e közös osztók közül ez a legnagyobb.
Jelölés: $d=(a,b)$
Néhány oszthatósági szabály
Ha $ a \mid c$ és $ b \mid c$ és $(a,b)=1$ akkor $ab \mid c$
Ha $c \mid ab$ és $(a,c)=1$ akkor $c \mid b$
Prímek
Azokat az 1-től különböző pozitív egész számokat, amelyeknek az 1-en és önmagukon kívül nincsen más pozitív egész osztója, prímeknek nevezzük.
Szemléletesen a prímek az egész számok építőkockái. Vagyis a prímek segítségével tudjuk felépíteni az egész számokat. A 60 például így épül föl, hogy:
$ 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 $
Itt a 2, a 3 és az 5 is prím, mert ezek már nem bonthatók kisebb építőkockákra. Az 1-et pedig azért nem tekintjük prímnek, mert a számok felépítésében nem sok hasznát vesszük, hiszen $ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $
A legkisebb prím tehát a 2, és ez az egyetlen páros szám amelyik prím, hiszen az összes többi páros szám már osztható 2-vel. A 2 után következő prím a 3, aztán az 5, és a 7. A prímeket egy speciális módszerrel nagyon könnyű kiválogatni az egész számok közül. Ezt a módszert úgy hívják, hogy Eratoszthenész szitája és meg tudod nézni itt a kapcsolódó epizódban.
Számelmélet alaptétele
A nullától és az egytől különböző összes $n$ pozitív egész szám felbontható prímek szorzatára a sorrendtől eltekintve egyértelműen.
$ n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dots \cdot p_k^{\alpha_k}$ ahol $k\in Z^{+}$
Itt $k$ a felbontásban szereplő különböző prímek száma.
Legkisebb közös többszörös (LKKT)
A legkisebb közös többszörös megtalálásának lépései:
- Elkészítjük a prímtényezős felbontást
- Vesszük az összes prímet a két prímtényezős felbontásból
- Mindegyik prím a nagyobbik kitevőt kapja.
Átváltás tizes számrendszerbe
A tizes számrendszerbe való átváltás lépései:
- Elkészítjük a helyiérték-táblázatot (a helyiértékek mindig a számrendszer számának hatványai).
- Oszloponként összeszorozzuk a helyiértéket a számjeggyel és összeadjuk ezeket.
Átváltás tizesből kettes számrendszerbe
A kettes számrendszerbe átváltáshoz elkezdjük a számot 2-vel maradékosan osztogatni, amíg már csak a 0 marad. Ezt követően pedig a maradékokat lentről felfelé visszaolvasva kapjuk meg a kettes számrendszerbeli számot.
a) Osztható-e 3-mal az 5728 és a 4758?
b) Osztható-e 4-gyel az 52742 és a 61524?
c) Osztható-e 6-tal a 3714?
d) Osztható-e 9-cel a 4326 és a 4257?
e) Osztható-e 11-gyel a 3718
a) Számoljuk ki a 108 és a 360 legnagyobb közös osztóját.
b) Számoljuk ki a 37 800 és 39 600 számok legnagyobb közös osztóját.
a) Számoljuk ki a 108 és 360 legkisebb közös többszörösét.
b) Számoljuk ki a 37 800 és a 39 600 számok legkisebb közös többszörösét.
a) Váltsuk át az ötös számrendszerbeli $402_5$ számot tizes számrendszerbe.
b) Váltsuk át az $A1E_{16}$ tizenhatos számrendszerbeli számot tizes számrendszerbe.
a) Váltsuk át a 178 tizes számrendszerbeli számot kettes számrendszerbe.
b) Váltsuk át a 178 tizes számrendszerbeli számot ötös számrendszerbe.
a) Váltsuk át az $101101_2$ kettes számrendszerbeli számot tizes számrendszerbe.
b) Váltsuk át az $5062_7$ hetes számrendszerbeli számot tizes számrendszerbe.
c) Váltsuk át a $121$ tizes számrendszerbeli számot kettes számrendszerbe.
a) Milyen pozitív egész $n$-re lesz a 6 osztója az $1+n^2+n^4+3^n$-nek?
b) Bizonyítsuk be, hogy 7 osztója $333^{444}+444^{333}$-nak.
c) Bizonyítsuk be, hogy 9 osztója $4^n-3n-1$-nek.
a) Igazoljuk, hogy ha \( n \) páratlan szám, akkor 9 osztója \( 11^n + 7^n \)-nek.
b) Milyen \( n \) természetes szám esetén osztható az alábbi kifejezés 16-tal?
\( 17^n + n\)
c) Igazoljuk, hogy ha \( n \) páratlan, akkor 37 osztója az alábbi kifejezésnek.
\( 1+2^{19} + 3^{19}+4^{19}+\dots + 36^{19} \)
Váltsuk át az $536_7$ hetes számrendszerbeli számot nyolcas számrendszerbe.