20 témakör, 388 rövid és szuper érthető epizód

Ez az ütős Analízis 1 kurzus segít mindent azonnal megérteni és sikeresen vizsgázni. 388 rövid és szuper-érthető epizód és 39 teszt segítségével 20 témakörön keresztül vezet végig az őrülten jó Analízis 1 rögös útjain. Mindezt olyan laza stílusban, mintha csak a rántotta elkészítésének problémájáról lenne szó.

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 20 szekcióból áll: Komplex számok, Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei, Halmazok, rendezett párok, leképezések, Függvények, Az inverzfüggvény, Sorozatok, Küszöbindex és monotonitás, Rekurzív sorozatok, Sorok, Függvények határértéke és folytonossága, A határérték precíz definíciója, Deriválás, Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete, Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok, Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok, L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom, Határozatlan integrálás, primitív függvény, Határozott integrálás, Kétváltozós függvények, Paraméteres görbék

FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA ÉS FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK

EXPONENCIÁLIS ÉS LOGARITMUS FÜGGVÉNYEK

TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK ÉS AZ EGYSÉGKÖR

INVERZ FÜGGVÉNY

KOMPLEX SZÁMOK

SOROZATOK

SOROK

FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE

FOLYTONOSSÁG

  • Függvények folytonossága - Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak valamely pontban, ha itt a függvényérték és a határérték megegyezik. Lássuk miért is ennyire fontos ez.
  • Szakadás - Ha egy adott pontban a függvényérték és a határérték nem egyezik meg, akkor a függvénynek szakadása van az adott pontban. Ennek számos típusa lehet...
  • Megszüntethető szakadás - Ez olyankor van, ha a függvénynek létezik határértéke az adott pontban, de az nem egyezik meg a függvényértékkel.
  • Ugrás - Ez olyankor van, ha a függvénynek nem létezik határértéke az adott pontban, de van jobb és bal oldali véges határértéke.
  • Nem megszüntethető nem véges szakadás - Ez olyankor van, ha a függvénynek nem véges a határértéke az adott pontban.
  • Nem megszüntethető oszcilláló szakadás - Ez mindegyik közül a legszörnyűbb eset, ilyenkor a függvénynek jobb és bal oldali határértéke sincs.

DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

A DERIVÁLÁS ALKALMAZÁSAI, FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT

INTEGRÁLÁS, PRIMITÍV FÜGGVÉNY

  • Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
  • Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
  • Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
  • Alapintegrálok - Tekintsük át a fontosabb függvények integráljait.
  • Integrálási szabályok - Lássuk, milyen integrálási szabályok vannak...
  • Szorzatok integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak szorzatok integrálására.
  • Törtek integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak törtek integrálására.
  • Parciális integrálás - Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.
  • Összetett függvények integrálása - Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
  • Helyettesítéses integrálás - Bizonyos esetekben érdemes bevezetni egy helyettesítést, amivel az integrálás egyszerűbbé válik. Nézzük meg, hogyan!
  • Parciális törtek - A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.
  • Racionális törtfüggvények integrálása - A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.
  • Polinomosztás - A parciális törtekre bontás előtt néha polinomosztás is kell. Nézzük mikor és hogyan.
  • Trigonometrikus függvények integrálása - A trigonometrikus kifejezések integrálása meglehetősen vicces feladat. Csak jó humorérzékűeknek ajánlott...
  • Tangens x-feles helyettesítés - Az egyik legfontosabb helyettesítéses integrálási módszer elsőfokú trigonometrikus kifejezéseket tartalmazó törtekre.

HATÁROZOTT INTEGRÁLÁS

  • Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
  • Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
  • Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
  • Két függvény közötti terület kiszámolása - Néhány tipikus feladat két függvény grafikonjai által közrezárt terület kiszámítására.
  • Improprius integrál - Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása.

KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

  • Mik azok a kétváltozós függvények? - Néhány elképesztően izgalmas példa kétváltozós függvényekre.
  • Lokális szélsőértékek - A kétváltozós függvények minimumai és maximumai olyanok, mint hegycsúcsok és völgyek.
  • Nyeregpont - Ez egy speciális pont a kétváltozós függvények felületén, amely bizonyos irányok szerint maximum, míg más irányok mentén minimum.
  • Parciális deriválás - A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
  • x szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol x-et tekintjük változónak.
  • y szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol y-t tekintjük változónak.
  • Másodrendű deriváltak - Az első deriváltak tovább deriválása újra parciális deriválással történik. Így négy darab másodrendű deriváltat kapunk. Két tiszta másodrendű deriváltat és két vegyes másodrendű deriváltat.
  • Young tétel - A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.
  • Stacionárius pont - Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
  • Hesse mátrix - A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.
  • Érintősík - Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.
  • Az érintősík normálvektora - Az érintősík normálvektora a parciális deriváltakból keletkező vektor, amit gradiensnek vagy másként deriváltvektornak is neveznek.
  • Gradiens - A parciális derivltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.
  • Deriváltvektor - A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.
  • Iránymenti derivált - Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.
  • Implicit deriválás tétele - Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.

Komplex számok

Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei

  • -

    Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

  • -

    Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

  • -

    Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

  • -

    Két vektor skalárisszorzatát kiszámolhatjuk a vektorok hosszának és hajlásszögének segítségével, illetve a vektorok koordinátáival is.

  • -

    Egy vektor 90°-os elforgatásához megcseréljük a két koordinátáját és az egyik előjelét megváltoztatjuk.

  • -

    Két vektor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk 0.

  • -

    Két vektor skaláris szorzata a vektorok hosszának szorzata a közbezárt szögük koszinuszával.

  • -

    Az egyenes egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

  • -

    Az egyenes egyenletének felírásához a síkban szükségünk van az egyenes egy pontjára és a normálvektorára.

  • -

    Két pont közti vektort a vektorok koordinátáinak különbségével írhatunk fel.

  • -

    Két pont távolsága gyök alatt a koordináták különbségeinek négyzetösszege.

  • -

    A sík egyenletének felírásához kell egy pontja és egy normálvektora.

  • -

    A sík egyenletének felírásához kell a sík egy pontja és a normálvektora.

  • -

    Két vektor vektoriális szorzatát egy 3x3-as mátrix determinánsával számíthatjuk ki, ahol a mátrix első sora egységvektorok, a második és harmadik sora pedig az a és b vektorok.

  • -

    Két vektor vektoriális szorzata egy olyan harmadik vektort ad, ami merőleges a két vektor által kifeszített síkra.

Halmazok, rendezett párok, leképezések

  • -

    Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

  • -

    A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

  • -

    Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

  • -

    Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

  • -

    Két halmaz szimmetrikus differenciája a halmazok kétféle különbségének uniója.

Függvények

  • -

    A függvény értékkészlete azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban, amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

  • -

    Azok a szerencsés x-ek, amelyekhez a függvény hozzárendel egy y számot.

  • -

    Megnézzük, hogy melyik függvény hogyan néz ki, aztán megnézzük a külső és belső függvénytranszformációkat. Eltolás az x tengely mentén, eltolás az y tengely mentén, tükrözés, nyújtás.

  • -

    A függvény konvexitása megmondja, hogy a függvény szomorú vagy vidám hangulatban van.

  • -

    A függvény monotonitása lehet növekedő, csökkenő, szigorúan monton növekedő vagy szigorúan monoton csökkenő.

  • -

    Globális és lokális maximumok és minimumok.

  • -

    Mikor páros, mikor páratlan vagy éppen egyik sem egy függvény.

  • -

    Lássuk mik azok a polinomfüggvények, és hogyan kell őket ábrázolni.

Az inverzfüggvény

  • -

    A függvény hozzárendelésének megfordításával kapjuk a függvény inverzfüggvényét, amennyiben a megfordított hozzárendelés is egy egyértelmű hozzárendelés.

Sorozatok

Küszöbindex és monotonitás

  • -

    Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

  • -

    sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

  • -

    Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

  • -

    A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.

Sorok

Függvények határértéke és folytonossága

A határérték precíz definíciója

Deriválás

Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete

Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok

L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom

  • -

    határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.

  • -

    Néhány exponenciális, logaritmusos és végtelenhez, nullához tartó nevezetes sorozatok határértékei.

  • -

    Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

  • -

    Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...

  • -

    Az $e^x$, lnx, sinx és cosx függvények Taylor sorai.

  • -

    Amikor egy függvény x helyen lévő értékét szeretnénk közelíteni egy Taylor polinommal, akkor lesz egy kis hibánk, mivel a polinom nem teljesen követi a függvényt. Ennek a hibának a kifejezésére van a Lagrange-féle maradéktag. 

Határozatlan integrálás, primitív függvény

Határozott integrálás

  • -

    A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

  • -

    Egy zárt intervallumon értelmezett függvény akkor Riemann integrálható, ha egyetlen olyan szám létezik, amely bármely alsó közelítő összegénél nagyobb egyenlő, és bármely felső közelítő összegénél kisebb egyenlő.

  • -

    Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása egy fontos függvénnyel.

  • -

    Forgástestek térfogatának és felszínének képletei határozott integrálással.

Kétváltozós függvények

  • -

    A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

  • -

    A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

  • -

    A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.

  • -

     másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

  • -

    Egy általános módszer, amivel kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait lehet meghatározni

  • -

    Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

  • -

    Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.

  • -

    A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans értéket veszi fel, az $f$ függvény szintvonalának nevezzük.

  • -

    Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ez esetben most egy sík lesz az érintő.

  • -

    A parciális deriváltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.

  • -

    Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.

  • -

    Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.

  • -

    Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.

Paraméteres görbék

  • -

    A ciklois egy olyan görbe, amelyet egy irányított görbén csúszás nélkül legördülő kör egy meghatározott pontja ír le.

  • -

    A görbe ívhossza egy differencálható görbe szakaszának a hossza.

  • -

    A paraméteres görbe egyenlete a görbén mozgó pont pillanatnyi koordinátáit írja le. A paraméteres görbe deriválásával kapjuk a $v(t)$ sebességvektort, ami minden időpillanatban megadja a görbén mozgó $P$ pont sebességének irányát és nagyságát.

  • -

    Binormálisvektornak nevezzük a görbe sebességvektorával és gyorsulásvektorával alkotott szorzatot.

  • -

    Az $r(t)$ paraméteres görbe első deriváltja a görbe érintővektora vagy más néven sebességvektora.

  • -

    Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a görbe gyorsulásvektora. Ha ezt elosztjuk a saját hosszával, az így keletkező egységnyi hosszú vektor a görbe főnormálisvektora.

  • -

    A $\underline{T}(t)$, $\underline{N}(t)$ és $\underline{B}(t)$ vektorok együttes elnevezése kísérő triéder.

  • -

    Az $r(t)$ paraméteres görbe második deriváltja a gyorsulást írja le. Ezek a vektorok egy síkot feszítenek ki, ezt a síkot a görbe simulósíkjának nevezzük.

  • -

    A görbület azt írja le, hogy a simulósíkon belül milyen erősen kanyarodik a görbe. A térgörbék azonban nem csak a simulósíkon belül kanyarodnak, hanem közben ki is csavarodnak abból. Azt, hogy egy térgörbe éppen milyen ütemben csavarodik ki a simulósíkjából, a torzió írja le.

  • -

    A paraméteres görbe görbülete a görbe egyenestől való eltérését jellemző számérték.

  • -

    A simulókörök középpontjai által kirajzolt alakzatot evolutának hívjuk.

  • -

    Hogyha a görbének egy $P$ pontjában létezik nem nulla görbülete, akkor azt a kört, amel a $P$-ben érinti a görbét és a görbülete megegyezik a görbe $P$-beli görbületével és a középpontja a görbe konkáv részében található, a görbe $P$ pontbeli simulókörének nevezzük.

  • -

    Az ellipszis egy olyan görbe, amely azon pontok mértani helye egy síkon, ahol a pontok két rögzített ponttól mért távolságának összege a két pont távolságánál nagyobb állandó.

  • -

    A hiperbola azon pontok halmaza, melyeknek két rögzített ponttól való távolságának különbségének abszolút értéke állandó.