Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete

1.

a) Mi lesz az \( f(x)=x^2+5x-7 \) függvények a deriváltja az \( x_0=2 \)-ben?

b) Mi lesz az \( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \) függvények a deriváltja az \( x_0=1 \)-ben?

c) Mi lesz az \( f(x)=-4x^2+5x \) függvények a deriváltja az \( x_0=-3 \)-ban?

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

2.

a) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} 9-x^2, &\text{ha } x<2 \\ 3x-1, &\text{ha } x \geq 2 \end{cases} \)

b) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = -3 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} x^4-4x^2, &\text{ha } x<-3 \\ \sqrt{x^2+16}, &\text{ha } x \geq -3 \end{cases} \)

c) Deriválható-e az alábbi függvény az \( x_0 = 2 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} 4x^2-7e^{x-2}-9, &\text{ha } x<2 \\ \ln{ \left( x^3-3x-1 \right)}, &\text{ha } x \geq 2 \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

3.

a) Milyen \( A \) paraméter esetén deriválható az alábbi függvény az \( x_0 = 1 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} \sqrt[4]{\ln{x}+6x+10}, &\text{ha } x>1 \\ \frac{A}{x^2+4}, &\text{ha } x \geq 1 \end{cases} \)

b) Megadható-e az \( A \) és \( B \) paraméter úgy, hogy ez a függvény deriválható legyen az \( x_0 = -2 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} Ax^4+4x, &\text{ha } x \leq -2 \\ x^3+Bx^2, &\text{ha } x > -2 \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

4.

a) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=2x^3+1 \) függvényt az \( y_0=55 \) pontban érinti.

b) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=x^2-x+4 \) függvényt egy olyan pontban érinti, aminek \( x \) koordinátája negatív, \( y \) koordinátája 24.

c) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, amely érinti az \( f(x)=x^4+5x+12 \) függvényt és párhuzamos az \( y=-27x+1 \) egyenessel.

d) Keressük annak az érintőnek az egyenletét, ami az \( f(x)=2e^{x-4}+5 \) függvényt az \( y_0=7 \) pontban érinti.

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

5.

a) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\sqrt[3]{\ln{x}+x^2} \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=1 \) pontban.

b) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\sin{(\ln{x})}+x \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=1 \) pontban.

c) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\ln{(\cos{x})}+e^{4x} \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=0 \) pontban.

d) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\arctan{x}+e^x \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=0 \) pontban.

e) Van itt ez a függvény: \( f(x)=\arctan{( \ln{x} )} \), és keressük az érintő egyenletét az \( x_0=1 \) pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

6.

a) Deriválható-e ez a függvény az \( x_0 = 3 \) és \( x_1 = 6 \) pontokban?

\( f(x)=\left| x^2-6x \right| \)

b) Deriválható-e ez a függvény az \( x_0 = 0 \) és \( x_1 = 6 \) pontokban?

\( f(x)=x \cdot \left| x^2-6x \right| \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

---

7.

a) Deriválható-e ez a függvény az \( x_0 = 0 \) pontban?

\( f(x)=\left| x \right| \cdot \sin{x} \)

b) Milyen \( A \) paraméter esetén deriválható ez a függvény az \( x_0=0 \) pontban?

\( f(x)= \begin{cases} e^{Ax^2-x}, &\text{ha } x<0 \\ \cos{(x^2+x)}, &\text{ha } x \geq 0 \end{cases} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani