- Komplex számok
- Polinomok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Hatványozás, logaritmus, exponenciális és logaritmusos egyenletek
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Trigonometrikus függvények és arkusz függvények
- Hiperbolikus függvények és inverzeik
- Sorozatok határértéke
- Küszöbindex és monotonitás
- Rekurzív sorozatok
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hôpital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Hatványozás, logaritmus, exponenciális és logaritmusos egyenletek
Hatványazonosságok összefoglaló
Hatványozás azonosságai:
\( a^n a^k = a^{n+k} \)
\( \frac{ a^n}{ a^k } = a^{n-k} \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
\( \left( a^n \right)^k = a^{nk} \qquad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
\( a^{ \frac{k}{n}} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^k = \sqrt[n]{a^k} \)
\( a^n b^n = (ab)^n \)
\( \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n \)
Exponenciális függvény
Exponenciális függvénynek nevezzük az $f(x)=a^x$ alakú függvényeket, ahol $a>0$ valós szám.
Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában.
Ilyen függvények írják le a baktériumok szaporodását, a radioaktív elemek bomlását, a számítógépek teljesítményének növekedését és még rengeteg más dolgot.
Logaritmus
$log_{a}{x}$ azt mondja meg, hogy $a$-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy $x$-et kapjunk.
Logaritmus azonosságok
\( \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ \frac{x}{y} } = \log_{a}{x} - \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ x^n } = n\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ \sqrt[n]{x^k} } = \frac{k}{n}\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ x } = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a} } \)
Exponenciális egyenletek megoldása
Az exponenciális egyenletek megoldásának kulcsa, hogy a két oldalt azonos hatványalapra hozzuk, mert ekkor
\( a^x = a^b \Rightarrow x=b \)
Így hát az egyenlet két oldalát addig alakítgatjuk a hatványozás azonosságainak segítségével, amíg erre az alakra nem jutunk.
Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása
Exponenciális egyenlőtlenséget ugyanúgy kell mint az egyenletet, amire figyelni kell csupán az az, hogy amikor elhagyjuk a hatványalapot, nem mindegy, hogy az 1-nél nagyobb, vagy kisebb szám-e.
Ha az alap 1-nél nagyobb szám, akkor nem történik semmi, az alap elhagyása után az egyenlőtlenség iránya megmarad.
Ha viszont az alap 1-nél kisebb szám, akkor az alap elhagyása után az egyenlőtlenség iránya megfordul.
Logaritmikus egyenlet megoldása
A logaritmikus egyenletek megoldásának lényege, hogy ilyen alakra jussunk:
\( log_{a}{x} = b \)
Mert innen a logaritmus definíciója miatt az következik, hogy
\( x = a^b \)
Ahhoz, hogy a bonyolúltabb egyenleteket is ilyen alakra hozzuk, a logaritmus azonosságait használjuk.
Végezzük el ezeket a műveleteket a hatványazonosságok segítségével.
a) \( \left( \frac{ \left( u^4 \cdot u^2 \right)^3}{u^{20}} \right)^5 = ? \)
b) \( \sqrt[6]{ \left( \frac{u^4}{v^4} \right)^3 } =? \)
a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)
b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)
c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)
d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)
e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)
f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)
a) Bob laborjában baktériumok tenyésztésével foglalkozik. A baktériumok mennyiségének alakulását ez a képlet adja meg:
$R=5\cdot 2^x$
Itt $x$ jelöli az eltelt időt órában megadva és $R$ pedig azt jelenti, hogy $x$ óra elteltével hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Hány óra alatt lesz a tenyészetben 30 milligramm baktréium?
b) Egy másik baktériumok mennyiségének alakulását ez a függvény írja le:
$K(t)=K_0 \cdot \sqrt{3}^{\frac{t}{24}}$
Itt $K_0$ azt jelenti, hogy hány milligramm baktérium volt kezdetben, $t$ az eltelt idő percben, $K(t)$ pedig azt adja meg, hogy $t$ idő múlva hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mennyi lesz másfél óra múlva?
Hány perc alatt lesz 54 milligramm baktérium a tenyészetben, ha kezdetben 12 milligramm volt?
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{x+5} = \left( \frac{9}{16} \right)^{x-3} \)
b) \( \left( \frac{3}{2} \right)^{x-4} = \left( \frac{4}{9} \right)^{x-10} \)
c) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
d) Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
e) A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radiaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
\( N(t)=N_0 \cdot e^{-\lambda t} \)
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?$ \; \lambda=0,0277 $
a) A radiaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stonrciumé viszont csak 25 év.
Ez a csinos kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében ($t$ = évek száma):
\( N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda t} \)
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 90%-ára a 90-stonrcium mennyisége?
A $T$ felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
\( T= \frac{ \ln{2} }{\lambda} \)
b) Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 4^{5-x}=16^{3x-1} \)
b) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{x-4} = \sqrt[3]{ \left( \frac{9}{16} \right)^{x-3} } \)
c) \( \sqrt[3]{16^x} = 4^{3x-14} \)
d) \( \sqrt[3]{144^x} = \sqrt{ \frac{1}{12^{10-3x} } } \)
e) \( 2^{x+5}+7=7\cdot 2^{x+3} +1 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 56 \)
b) \( 3^x 3^4 +5 = 4\cdot 3^{x+2} +3^x +49 \)
c) \( 3^{x-4} \cdot 16 = 4^{x-4} \cdot 9 \)
d) \( 9^x-7\cdot 3^{x+2} = 19 \cdot 3^x -81 \)
e) \( 4^{x+1}-13\cdot 6^x + 9^{x+1}=0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket.
a) \( 16^{x-3}\leq 8^{x+2} \)
b) \( 3^x+4\cdot 3^{x+1} \leq 117 \)
c) \( \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)^{2x+5} \leq \left( \frac{4}{7} \right)^{3x-2} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{3}{x}+\log_{3}{16} = 4 \)
b) \( \log_{4}{x}+\log_{4}{(x-4)} = \log_{4}{5} \)
c) \( \log_{3}{(x-13)} + \log_{3}{(x+11)} = 4 \)
d) \( \log_{2}{(x-3)} + \log_{2}{(x-7)} = \log_{2}{5} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{2}{(x+11)} - \log_{2}{(x-2)} = 3 + \log_{2}{5} \)
b) \( \log_{3}^2{x} - 7\cdot \log_{3}{x} +12 = 0 \)
c) \( \log_{5}{ \frac{x}{25} } + \log_{5}^2{x} = 4 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{3}{(x+5)} = \log_{3}{(x-2)} +2 \)
b) \( \lg{ (x+7)^2} - \lg{ (3x+1)} = \lg{16} \)
c) \( \lg{ (x-2) } + \lg{ (x+5)} = \lg{18} \)
Oldjuk meg a következő logaritmusos egyenlőtlenségeket.
a) \( \log_{\sqrt{5}}{(x+4)} - \log_{\sqrt{5}}{12} \geq \log_{\sqrt{5}}{x-1)} \)
b) \( \log_2{(x-5)}-\log_2{(x+4)} \geq 3 \)
c) \( \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{\left( x^2 + 16 \right) } \leq \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{ \left( 9x-4 \right) } \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
a) \( (0,125)^{3-4x}=\frac{1}{32} \)
b) \( 3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} + 3^{x+3} = 120 \)
c) \( 4^x + 4^{x+1} + 4^{x+2} = 336 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.
a) \( 3^{x-4} \cdot 16 = 4^{x-4} \cdot 9 \)
b) \( 4^{x-3} \cdot 144 = 12^{x-3} \cdot 16 \)
c) \( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} = 3^x +3^{x+2} \)
Oldjuk meg ezeket az exponenciális egyenlőtlenségeket.
a) \( 27^{x+2} \leq 9^{x-3} \)
b) \( 2^{x+2}+6\cdot 2^x > 40 \)
c) \( \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^{2x-1} \geq \left( \frac{1}{5} \right)^{5x+4} \)
Oldjuk meg ezt az exponenciális egyenlőtlenséget.
\( 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8 <0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt[3]{4^x} = \sqrt{2^{3x+1}} \)
Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenletet.
\( 2^{\sqrt{x}+2} - 2^{\sqrt{x}+1} = 12 +2^{ \sqrt{x}-1} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 5\cdot 2^{ \sqrt{x}+1} -24=4\cdot 2^{ \sqrt{x}} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
a) \( 2\cdot 9^x +2 =20\cdot 3^{x-1} \)
b) \( 16^x +16-4^{x+2}=4^x \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( 5\cdot 2^{ \sqrt{x}+1} -56=3\cdot 2^{ \sqrt{x}} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
a) \( 2^{x+1}+3\cdot 2^{1-x}=5+2^x \)
b) \( \frac{2^x}{2^x+4} = \frac{32}{4^x-16} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
\( \sqrt{ 9^x -8 \cdot 3^x } = 3^{x+1} - 24 \)
Oldjuk meg ezt az exponenciális egyenlőtlenséget.
\( 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8 <0 \)
Oldjuk meg ezt az exponenciális egyenlőtlenséget.
\( 9^{x+1} -28 \cdot 3^x + 3 \leq 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{5}{ \frac{x^2-1}{x+3} } = \log_{5}{(x+9)} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{2}{x } + 8\cdot \log_{x}{2} = 6 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{2}{(x+5)} + \log_{2}{(x-3)} = 1+\log_{2}{ \left( x^2+9 \right)} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{5}{x} +1 = 3\log_{x}{5x} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( x^2 \cdot \log_{2}{x} - 3x^2 = 0 \)
Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.
Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy
de semmi ördögi nem lesz itt.
Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.
Hát nézzük meg.
Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor
a kitevők összeadódnak.
Ez lesz az első azonosság.
HATVÁNYAZONOSSÁGOK
Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.
De azért van itt egy apró kellemetlenség.
Már jön is.
Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.
Itt pedig a kitevő negatív lesz.
Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.
Nos így:
A kitevőket kell összeszoroznunk.
Itt van aztán ez, hogy
Na ez vajon mi lehet?
Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.
Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.
Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.
A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.
Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.
Ha van egy ilyen, hogy
nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.
Jön itt még néhány újabb képlet,
de most már lássuk a függvényeket.
Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.
Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.
Például egy ilyen szám a
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…
Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.
Ez a függvény tehát az ex.
Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.
Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.
Színre lép a logaritmus
És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.
Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.
Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.
Itt van például ez:
Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.
Nos 23=8, tehát a válasz…
Vagy nézzük meg ezt:
Nos lássuk csak
Itt jön aztán egy nehezebb ügy:
A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.
A jó válasz:
Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:
A kérdés, 8 a hányadikon a 16.
Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.
Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,
utána pedig a 2-ből 16-ot.
Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:
Sőt ez sem:
Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.
LOGARITMUS AZONOSSÁGOK
A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez
Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.
És voila.
Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy
akkor ebből így kapjuk meg x-et.
A megfordítását is jegyezzük meg, ha
akkor így kapjuk meg x-et.
Exponenciális egyenlet megoldása
Logaritmikus egyenlet megoldása
Oldjuk meg például ezeket:
Most pedig lássuk a függvényeket.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.
Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.
Valahogy így…
Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.
Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.
Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…
Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.
De így is kijön.
Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…
Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.
64,625 perc
Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?
Kezdetben van valamennyi baktérium.
Aztán megduplázódik…
aztán megint megduplázódik.
És így tovább.
A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:
Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.
Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.
Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.
És most nézzük, hogyan tovább.
Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.
Vagyis egy generációs idő hossza…
25,24 perc.
A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
Lássuk, mi történik 40 év alatt:
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.
Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.
Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Itt jön a mi kis képletünk:
30 év alatt 12%-kal csökkent:
Na, ez így sajna nem túl jó…
Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.
A felezési idő tehát 162,7 év.
Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:
377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.
Hát, ennyi.
Az exponenciális egyenletek megoldása:
Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.
Már jön is az első:
Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:
Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…
Lássuk csak, bingo!
Na, ezzel megvolnánk.
Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
Itt van aztán egy újabb ügy:
A két hatványalap nem ugyanaz…
de van remény.
És nézzük, mit tehetnénk ezzel:
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.
A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:
Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:
De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…
Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:
Vagyis 60 perc telt el.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.
Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:
Íme, a képlet:
Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:
Ezt beírjuk a számológépbe…
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mi történik 100 év alatt.
Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:
Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.
Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.
Itt is jön az első:
Na, ezzel megvolnánk.
Itt van aztán ez:
Eddig jó…
Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.
Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.
Na, ezzel megvolnánk.
Nézzünk egy másikat.
Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.
Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.
Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.
Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:
Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.
És vannak egészen trükkös esetek is.
Nézzünk meg még egy ilyet.
Az exponenciális egyenletek megoldása:
Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.
Már jön is az első:
Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:
Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…
Lássuk csak, bingo!
Na, ezzel megvolnánk.
Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
Itt van aztán egy újabb ügy:
A két hatványalap nem ugyanaz…
de van remény.
És nézzük, mit tehetnénk ezzel:
Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.
A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:
Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.
Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?
A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:
De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…
Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:
Vagyis 60 perc telt el.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.
Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?
A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:
Íme, a képlet:
Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:
Ezt beírjuk a számológépbe…
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mi történik 100 év alatt.
Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:
Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.
Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.
Itt is jön az első:
Na, ezzel megvolnánk.
Itt van aztán ez:
Eddig jó…
Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.
Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.
Na, ezzel megvolnánk.
Nézzünk egy másikat.
Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.
Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.
Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.
Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:
Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.
És vannak egészen trükkös esetek is.
Nézzünk meg még egy ilyet.
