- Komplex számok
- Polinomok, polinomosztás, polinomfüggvények
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Hatványozás, logaritmus, exponenciális és logaritmusos egyenletek
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Sorozatok határértéke
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Monotonitás és korlátosság
- Rekurzív sorozatok
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Trigonometrikus függvények és arkusz függvények
- Hiperbolikus függvények és inverzeik
- Sorok összege és sorok konvergenciája
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hôpital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
L’Hôpital szabály
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
L’ Hôpital-szabály
Legyen $f$ és $g$ deriválható az $a$ szám környezetében (kivéve esetleg $a$-ban) és tegyük fel, hogy itt $g'(x) \neq 0 $.
Ekkor, ha $\lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{x \to a}{g(x)} =0 $ vagy $\lim_{x \to a}{g(x)} = \pm \infty$ és $\lim_{x \to a}{ \frac{ f'(x)}{ g'(x) }}$ létezik, ekkor a L’Hôpital-szabály (vagy L'Hospital-szabály) szerint:
\( \lim_{x \to a}{ \frac{f(x)}{g(x)}} = lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\)
Néhány fontosabb határérték
\( e^{- \infty} = 0 \quad e^{\infty} = \infty \)
\( \ln{0} = - \infty \quad \ln{\infty} = \infty \)
\( \frac{1}{\infty} = 0 \quad \frac{1}{+0}=+\infty \quad \frac{1}{-0}=-\infty \)
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{x^2-9x+20}{x^2-x-12} } \)
b) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^4-5x-6}{4x^3-16x} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x^2+4\sin{x}}{x+\cos{x}-1} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{\sqrt{x+12}-x}{x^2-3x-4} } \)
b) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^3-4x^2+4x}{x^4-8x^2+16} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x+\cos{x}-e^x}{1-\cos{x}} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x^3-e^x+\cos{x}}{x^4-\sin{x}}} \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{\cos{x}-e^x+x}{x^2+\sin{x}-x} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x^2+x+\cos{x}-e^x}{x^3+x-\sin{x}} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{\sqrt{x^2+1}-\cos{x}}{x^2+\cos{x}-1}} \)
b) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{\ln{\left(x^4+x^3\right)}}{x} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^x-\cos{x}}{x^7}} \)
b) \( \lim_{x \to 0^{+}}{ \frac{e^x+\ln{x}}{\ln^2{x}} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{2e^x-x^2-2x-2}{x^5}} \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to \infty}{ x^2 e^{-x} } \)
b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x \ln{x} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ x^2 e^{ \frac{1}{x^2} }} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x\to0^{+}}{x^4 \cdot \ln^2{x} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{\left( \frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{x} \right)} \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \frac{1}{x}- \frac{1}{\ln{(x+1)}} \right) } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \frac{1}{\sin{x}}-\frac{1}{e^x-1} \right) } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^x } \)
b) \( \lim_{x \to 0^+}{ x^{ \sin{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to 1}{ x^{ \frac{1}{1-x}} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to 0^+}{ x^{x^{\frac{1}{\sqrt[3]{\ln^2{x}}}}} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ ( \cos{x} )^\frac{1}{x} } \)
b) \( \lim_{x \to 0^+}{ ( \sin{x} )^{ \sin{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ ( \cos{x} )^{ \frac{1}{\sin^2{x}} }} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to 0^+}{ ( \tan{x} )^{ \sin{x}} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 1}{ \frac{\sqrt[3]{x+7}-2x}{\sqrt{x+3}-2x^2} } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x - \arctan{x} }{ x-\sin{x}+\sin^3{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \ln{x}}{ e^x+x } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to 0}{ \frac{1}{\arctan{x}} - \frac{1}{x} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 3}{ \frac{\arcsin{(4x-12)}}{\sinh{\left(x^2-9\right)}} } \)
b) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{\sinh{(4x-16)}}{ \arccos{(x-4)}-\frac{\pi}{2} } } \)
c) \( \lim_{x \to 5}{ \frac{\cosh{\left(x^2-25\right)}-1}{ \arctan{(x-5)} } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to 4}{ \frac{4\cosh{\left(x^2-4x\right)}}{\operatorname{arsinh}\left(x^2-16\right)} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0^{+}}{ \frac{\ln^3{x}}{x^4} } \)
b) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{\ln^3{x}}{x^4} } \)
c) \( \lim_{x \to 0^{+}}{ (\sin{x})^{\ln{(1+x)}} } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ \sinh{(4x+3)} }{ \cosh{(5-4x)} } } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x\cdot \sinh{4x}}{\cos{2x}-1} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x \cdot \sin{4x}}{\cosh{2x}-1} } \)
d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{e^x \cdot \cosh{4x} }{ \sinh{5x} } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{2^x-\cos{x}}{ \arctan{x}+\sin{x} } } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^x-\cos{x} }{\ln{(1+x)} + \sin{x} } } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{\sin{2x} - x}{\ln{(x+1)} +6x } } \)
d) \( \lim_{x \to 0^+}{ \frac{ \ln{(2x)}-x }{ \ln{(3x)}+x } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 0}{ \left( \frac{1}{e^x-1} - \frac{1}{x} \right) } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{e^{x^2}-1 }{\cos{2x} - 1} } \)
c) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x-\sin{x} }{e^{x^2} - \cos{x} } } \)
d) \( \lim_{x \to \infty}{ \frac{ x^2 \cdot \ln{x} }{ x^2+x+1 } } \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to 0} \frac{x^3+x^2}{e^{4x}-\cos{x}-4x} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{+ \infty} (3x+1)^3 e^{-4x} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{0^{+}} 2x \ln{3x} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_2 \left( \frac{ \sin{ (3(x-2))}}{ \sin{(5(x-2))}} - \frac{ log_{2}{x}-1}{3x-6} \right) \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to 3} (x-3) \cdot \cot{ ( \pi x )} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{x \to \infty} \frac{ e^x }{x^2} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_{ - \frac{2}{3}} \frac{ \sin{(3x+2)} }{e^{3x^2+2x}-1} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_1 \frac{ e^{x^2-2x+1} -1 }{2x-2} \)
Számítsuk ki az alábbi határértéket.
\( \lim_2 \frac{\sin{\left( x^2-2x \right)} }{x^2-4} \)
Itt szuper-érthetően bemutatjuk, hogy mi az a L'Hôpital szabály, hogyan kell használni és miért a határértékszámítás csodafegyvere. A L'Hôpital szabály lényege, hogy a 0/0 és a végtelen/végtelen típusú függvényhatárértékeknél általában könnyebbé teszi a határérték kiszámolását azzal, hogy az eredeti függvények hányadosa helyett a deriváltak hányadosát nézzük. És e deriváltak hányadosának határértékét már könnyebb kiszámolni, mint az eredeti határértéket. Mielőtt elkezdjük a L'Hôpital szabályt használni, mindig ellenőrizni kell, hogy 0/0-típusú határérték vagy végtelen/végtelen típusú határérték van-e a feladatban, mert a módszer csak ilyen esetekben működik. Olyan is előfordul, hogy a siker érdekében többször egymás után kell a L'Hôpital szabályt használni. Ebben az epizódban megnézünk jópár L'Hôpital szabályos feladatot és lépésről lépésre megoldjuk ezeket a határértékszámítás feladatokat, hogy minden világos és érthető legyen. Maga a L'Hôpital szabály elnevezés Guillaume de l'Hôpital francia matematikus nevéhez köthető, bár ahogy ez lenni szokott nem ő találta ki, hanem Bernoulli. Érdemes még megemlíteni, hogy a L'Hôpital szabály sok helyen L'Hospital szabály néven fordul elő. Ez az elnevezés onnan ered, hogy a 17. és 18. században a nevet általában l'Hospital-ként írták, és ő maga is így írta a nevét. Azóta a francia helyesírás megváltozott és a néma „s”-t eltávolították, leváltotta az azt megelőző magánhangzó fölé helyezett kis pipa. Vagyis a szabály helyesen írva L'Hôpital szabály és nem pedig L'Hospital szabály. Az pedig mindegy, hogy Guillaume de l'Hôpital eredetileg hogyan írta a nevét, mert magát a L'Hôpital szabályt egyébként sem ő, hanem Johann Bernoulli találta ki...
A L’Hôpital szabály névadója egy bizonyos Guillaume François Antoine, l'Hôpital francia matematikus volt, aki az 1661-ben vagy 62-ben született és akkor élt, amikor Newton és Leibniz megalkotta a differenciál- és integrálszámítást. Maga l'Hôpital is komolyan foglalkozott a matematikával, sőt egy híres könyvet is írt, aminek a címe Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes.
Meglepő, de igazából ez volt az első igazi tankönyv, ami kimondottan a differenciálszámítással foglalkozott, és maga az „analízis” elnevezés is itt ragadhatott rá a matematikának a differenciál- és integrálszámítással foglalkozó ágára. Ez a könyv inkább csak rendszerezte azokat az eredményeket, amiket a kor nagy matematikusai kitaláltak, l'Hôpital nem igazán talált ki új dolgokat, bár a matematika iránti lelkesedése és hozzáértése tagadhatatlan. A könyv bevezetőjében kifejezi háláját Leibniz és Johann Bernoulli felé, akik hozzájárultak az elméletek kidolgozásához, de az ötletek alapját magáénak tekintette. Azt írja: Elismerem, hogy sokat köszönhetek Bernoulli urak meglátásainak, különösen Johann Bernoulli meglátásainak, aki jelenleg Groningenben professzor. Felfedezéseiket minden teketória nélkül felhasználtam, akárcsak Leibniz úrét. Ezért beleegyezem, hogy annyi elismerést igényeljenek, amennyit csak akarnak, és megelégszem azzal, amit rám hagynak.
Mivel a könyv rendkívül jól rendszerezte az akkor kialakuló elméleteket, így nagyon fontosnak is bizonyult és még száz évvel később, egészen 1781-ig jelentek meg újabb és újabb kiadásai. A problémát és a vitákat inkább az okozta, hogy l'Hôpital a könyvében egyre inkább saját felfedezéseinek kezdte értelmezni mindazt, amit egyébként remekül bemutatott, csak éppen nem ő talált ki. L’Hôpital még a könyv születése előtt évi 300 frankos juttatásért cserébe felbérelte Johann Bernoullit, hogy tájékoztassa a legújabb matematikai felfedezéseiről, és a kor jelentősebb matematikai eredményeiről. Bernoulli egy híres matematikus családból származik, és a családban legalább négy Bernoulli tevékenykedett, akinek nevéhez különböző matematikai tételek és felfedezések fűződnek, így nem csoda, hogy a Bernoulli névvel elég gyakran találkozhatunk.
Johann Bernoullit egyre jobban bosszantották a l'Hôpital munkásságát ért elismerések, és több helyen is panaszkodott, hogy l'Hôpital lényegében sajátjaként hivatkozik olyan dolgokra, amiket Bernoulli talált ki, vagy még csak nem is ő, de ő magyarázta el l'Hôpitalnak. Végül l'Hôpital halála után Bernoulli egyre több dologról kezdte állítani, hogy azokat valójában ő találta ki. Így van ez a L’Hôpital szabállyal is, amit valószínűleg tényleg Johann Bernoulli talált ki és ő mutatta meg l'Hôpitalnak. Ezért is látható, hogy néhány helyen Bernoulli-L’Hôpital szabálynak vagy csak simán Bernoulli szabálynak hívják.
És van itt még egy másik elnevezés is. A L'Hôpital szabály ugyanis sok helyen L'Hospital szabály néven fordul elő. Ez az elnevezés onnan ered, hogy a 17. és 18. században még a nevet általában l'Hospital-ként írták, és ő maga is így írta a nevét, így szerepel a például az analízist bemutató és rendszerező könyvén is. Később aztán a francia helyesírás megváltozott és a néma „s”-t eltávolították, leváltotta az azt megelőző magánhangzó fölé helyezett kis pipa. Vagyis a szabály helyesen most már L'Hôpital szabály és nem pedig L'Hospital szabály. Az pedig mindegy, hogy Guillaume de l'Hôpital eredetileg hogyan írta a nevét, mert magát a L'Hôpital szabályt egyébként sem ő, hanem Bernoulli találta ki...
