Legyen $f$ és $g$ deriválható az $a$ szám környezetében (kivéve esetleg $a$-ban) és tegyük fel, hogy itt $g'(x) \neq 0 $.
Ekkor, ha $\lim_{x \to a}{f(x)} = \lim_{x \to a}{g(x)} =0 $ vagy $\lim_{x \to a}{g(x)} = \pm \infty$ és $\lim_{x \to a}{ \frac{ f'(x)}{ g'(x) }}$ létezik, ekkor a L’Hôpital-szabály (vagy L'Hospital-szabály) szerint:
\( \lim_{x \to a}{ \frac{f(x)}{g(x)}} = lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}\)
A határérték számítás csodafegyvere, egy szuper módszer, amivel nagyon sok bonyolult határérték gyorsan kiszámolható.
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{x^2-9x+20}{x^2-x-12} } \)
b) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x^2+4\sin{x}}{x+\cos{x}-1} } \)
c) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^4-5x-6}{4x^3-16x} } \)
d) \( \lim_{x \to 4}{ \frac{\sqrt{x+12}-x}{x^2-3x-4} } \)
e) \( \lim_{x \to 2}{ \frac{x^3-4x^2+4x}{x^4-8x^2+16} } \)
f) \( \lim_{x \to 0}{ \frac{x+\cos{x}-e^x}{x^2+\sin{x}-x} } \)
