Felvételi felkészítő nyolcadikosoknak

1. feladat: Hatványozás, normálalak

• Hatványozás
  -

  A hatványozás a szám önmagával vett szorzatait rövidíti.

• Hatványazonosság I.
  -

  Ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor a kitevők összeadódnak.

• Hatványazonosság II.
  -

  Ha azonos alapú hatványokat osztunk, akkor a kitevők kivonódnak.

• Hatványazonosság III.
  -

  Hatvány hatványa a kitevők szorzata.

• Nulladik hatvány
  -

  Minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.

• Negatív egész kitevőjű hatványozás
  -

  Egy nem nulla szám negatív egész kitevőjű hatványát úgy számolhatjuk ki, hogy a reciprokát a kitevő ellentettjére emeljük.

• Hatványazonosság IV.
  -

  Ha egy szorzat mindkét tényezője ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

• Hatványazonosság V.
  -

  Ha egy törtnek a számlálója és nevezője is ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

• Normálalak
  -

  A túl nagy vagy éppen túl pici számok leírására találták ki a normálalakot.

1. feladat: Negatív számok, abszolútérték, számegyenes

• Számegyenes
  -

  A számegyenes a számok nullától való távolságát mutatja meg.

  A számegyenes mindig jobbra fele növekszik, tehát jobbra fele egyre nagyobb számok lesznek rajta, ezt egy jobbra mutató nyíllal jelöljük a végén.

  Így a nullától balra a negatív számok, jobbra a pozitív számok vannak.

• Ellentett
  -

  Egy szám ellentettje azt jelenti, hogy kicseréljük az előjelét.

  Ha kezdetben pozitív volt, akkor negatív lesz.

  Hogyha pedig negatív volt, akkor pozitív lesz.

  A 0 ellentettje pedig 0 marad.

• Abszolútérték
  -

  Egy szám abszolútértéke a nullától való távolságát jelenti. A jele két függőleges vonal.

  Az abszolútértéket úgy is meg lehet jegyezni, hogy lényegében a következőt csinálja mindig:

  - ha a szám nemnegatív (0 vagy pozitív), akkor az abszolútértéke önmaga lesz

  - ha a szám negatív, akkor az abszolútértéke az ellentettje lesz

  Még egyszerűbben, ha negatív előjelet látsz, azt le kell vágni, különben nem kell csinálni semmit.

1. feladat: Műveleti sorrend, zárójelek

• Zárójelek
  -

  A zárójel egy fontos matematikai szimbólum, ami a műveleteknél a műveletek sorrendjét befolyásolja. A zárójelben szereplő műveleteket mindig előbb kell elvégezni, mint a többi műveletet.

• Műveleti sorrend
  -

  Ha több művelet szerepel egymás mellett, akkor a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk őket.

  A műveleti sorrendben a zárójel az első.

  Ezt követik a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.

  Az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.

1. feladat: Helyiértékes számírás, római számok

• Alaki érték
  -

  Egy számban maguk a számjegyek másnéven az alaki értékek.

• Helyiérték
  -

  Egy szám helyiértékeit a helyiérték-táblázatának felírásával kapjuk meg. Ezek lehetnek egyesek, tizesek, százasok, ezresek, stb.

• Valódi érték
  -

  Egy szám valódi értékét az alaki értéke és helyiértéke határozza meg. Az alaki és helyiértékeket össze kell szorozni, aztán összeadni.

• Helyiértékes számírás
  -

  A helyiértékes számíráshoz számjegyeket (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) és helyiértékeket (egyes, tizes, százas, ezres, ...) használunk. A kettő együttes alkalmazásával lehet megérteni, hogy mekkora is egy szám valódi nagysága. A helyiértékes számírás nagy előnye, hogy elég véges sok számjegy (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) bármekkora szám felírásához.

• Hármas csoportosítás (ezres tagolás)
  -

  A hármas csoportosítás vagy másnéven ezres tagolás lényege, hogy a nagyobb számok is könnyen kiolvashatóak legyenek. Ha egy számot így akarsz felírni, akkor jobbról kezdve kell hármasával csoportosítani a számjegyeit.

• Római számok
  -

  A rómaiak minden számot úgy építettek föl, mintha építőkockákat használtak volna. Az építőkockáik az I, V, X, L, C, D, M betűkkel jelölték, amelyek 1-et, 5-öt, 10-et, 50-et, 100-at és 1000-et jelentenek.

1. feladat: Számrendszerek

• Átváltás tizes számrendszerbe
  -

  A tizes számrendszerbe való átváltás lépései.

• Átváltás tizesből kettes számrendszerbe
  -

  A kettes számrendszerbe átváltáshoz elkezdjük a számot 2-vel maradékosan osztogatni, amíg már csak a 0 marad.

2. feladat: Mértékegységek

• Mértékegységek
  -

  A mértékegységátváltásokat úgy a legkönyebb megjegyezni, ha az előtag neveket jegyezzük meg, mint deci, centi, milli, stb.

• Négyzetes mértékegységek (hatványozással)
  -

  Négyzetméter, négyzetdeciméter, négyzetcentiméter, négyzetmilliméter...

• Köbös mértékegységek (hatványozással)
  -

  köbméter, köbdeciméter, köbcentiméter, köbmilliméter...

• Liter és köbdeciméter
  -

  A mágikus átváltás liter és köbdeciméter között.

• Az idő mértékegységei
  -

  Hét, nap, óra, perc, másodperc átváltásai.

4. feladat: Statisztika

• Módusz
  -

  A módusz a leggyakoribb érték.

• Medián
  -

  A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

5. feladat: Szögszámolós feladatok

• Két pont távolsága
  -

  Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.

• Pont és egyenes távolsága
  -

  Pont és egyenes távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk az egyenesre.

  A távolság pedig ennek a szakasznak a hossza.

• Pont és sík távolsága
  -

  Pont és sík távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk a síkra.

  A pont és sík távolsága pedig ennek a szakasznak a hossza.

• Két egyenes távolsága
  -

  Ha a két egyenes metszi egymást, akkor a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.

  Ha a két egyenes egymással párhuzamos, akkor a távolságukat úgy kapjuk meg, hogy az egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.

  És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.

• Kitérő egyenesek
  -

  Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.

• Két sík távolsága
  -

  Ha a két sík metszi egymást, olyankor egy egyenesben metszik egymást és a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.

  Ha a két sík párhuzamos, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk meg, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot, a pontbl merőlegest állítunk a síkra, és a távolságuk ennek a szakasznak a hossza.

• Nevezetes ponthalmazok
  -

  Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza.

• Egyállású szögek
  -

  Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak és egyforma irányúak is, akkor ezeket a szögeket egyállású szögeknek nevezzük.

• Váltószögek
  -

  Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak, de irányuk ellentétes, akkor ezeket a szögeket váltószögeknek nevezzük.

• Csúcsszögek
  -

  Ha két váltószöget a csúcsuknál összeillesztünk, akkor ezeket a szögeket csúcsszögeknek nevezzük.

• Kiegészítő szögek
  -

  Ha két szög szárai párhuzamosak és az egyik száruk közös, akkor ezeket a szögeket kiegészítő szögnek nevezzük.

• Pótszögek
  -

  Ha két szög 90 fokra egészíti ki egymást, akkor pótszögeknek hívjuk őket.

• Egyenlő szárú háromszög
  -

  Az egyenlőszárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal.

• Szabályos háromszög
  -

  Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).

• Derékszögű háromszög
  -

  Azok a háromszögek, amelyeknek van 90°-os szöge.

• Hegyesszögű háromszög
  -

  A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög.

• Tompaszögű háromszögek
  -

  A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge.

• Háromszög egyenlőtlenség
  -

  A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.

5. feladat: A kör

6. feladat: Egyenes arányosság, fordított arányosság

• Egyenes arányosság
  -

  Két mennyiség akkor egyenesen arányos, hogyha az egyiket valahányszorosára változtatjuk, akkor a másik is ugyanennyiszeresére változik.

  Tipikus példa egy vonatjegy ára és a megtett távolság. Hogyha például a jegy 0,4 euróba kerül kilométerenként, akkor 1 kilométer 0,4 euró, 2 kilométer kétszer annyi, vagyis 0,8 euró, 3 kilométer háromszor annyi, vagyis 1,2 euró és így tovább. Egy másik tipikus példa a munkavégzéses feladatok. Ha például egy teherautó 400 tonna földet tud elszállítani, akkor két ugyanolyan teherautó kétszer annyit, vagyis 800 tonnát, három teherautó 1200 tonnát, és így tovább.

• Fordított arányosság
  -

  Két mennyiség akkor fordítottan arányos, hogyha az egyiket valahányszorosára változtatjuk, akkor a másik ugyanennyied részére változik.

  Tipikus példa fordított arányosságra a munkavégzéssel kapcsolatos kérdések. Ha egy adott munkát egy gép 12 óra alatt tud megcsinálni, akkor két ugyanolyan géppel 6 óra alatt lehet végezni, három egyforma géppel pedig 4 óra alatt. Vagyis a 12-t osztjuk a gépek számával. Egy másik tipikus példa, hogy egy rakományt 10 fordulóval tudnak teherautóval elszállítani. Ha két teherautót használunk akkor 10/2=5 forduló kell, és így tovább.

6. feladat: Százalékszámítás

• Százalékalap
  -

  A százalékalap az a szám, amihez a százalékszámítás során viszonyítunk. Ez jelenti mindig a 100%-ot. Ha például egy osztályba 20 gyerek jár és közülük 8 lány, 12 fiú, akkor a 20 gyerek lesz a 100%, aminek valahány százaléka lány és valahány százaléka fiú. 

• Százalékláb
  -

  A százalékláb a százalékszámításos feladatban a százalék. Ennyi százalékát kell kiszámítani a százalékalapnak.

• Százalékérték
  -

  A százalékérték a százalékalap és a százalékláb szorzata, tehát a végeredmény.

• A százalékszámítás lényege
  -

  A százalékértéket megkapjuk úgy, hogy a százalékalapot és a százaléklábat összeszorozzuk.

• A százalékalap kiszámolása
  -

  A százalékalap a százalérték és a százalékláb hányadosa.

• A százalékláb kiszámolása
  -

  A százalékláb a százalékérték és a százalékalap hányadosa.

• Százalékos emelés és csökkentés
  -

  Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.

7. feladat: Háromszögek, háromszögek területe

• Egyenlő szárú háromszög
  -

  Az egyenlőszárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal.

• Szabályos háromszög
  -

  Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).

• Derékszögű háromszög
  -

  Azok a háromszögek, amelyeknek van 90°-os szöge.

• Hegyesszögű háromszög
  -

  A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög.

• Tompaszögű háromszögek
  -

  A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge.

• Háromszög egyenlőtlenség
  -

  A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.

• Háromszög magasságvonala és a magasságpont
  -

  A magasságvonal a háromszög egy csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges. A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.

• Háromszög súlyvonala és a súlypont
  -

  A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Ezek metszéspontja a súlypont.

• Háromszög köré írható kör
  -

  A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelezőmerőlegesei metszéspontja. Hogyan lehet megszerkeszteni egy háromszög köré írható körét

• Háromszögbe írható kör
  -

  A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög köré írható körének középpontja.

• Háromszög középvonala
  -

  Ha egy háromszög oldalfelezőpontjait összekötjük, akkor a háromszög középvonalait kapjuk.

7. feladat: Négyszögek, négyszögek területe

• Négyzet
  -

  A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög.

• Téglalap
  -

  Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.

• Rombusz
  -

  Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.

• Paralelogramma
  -

  A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok.

• Trapéz
  -

  A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

• Deltoid
  -

  A deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely. 

7. feladat: Sokszögek, konvex/konkáv, átlók, szögek

• Síkidom
  -

  Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.

• Sokszög
  -

  Azokat a síkidomokat, amelyek határoló vonalai csak egyenes szakaszok, sokszögeknek nevezzük.

• Konkáv síkidom
  -

  A konkáv síkidom az, amelyikben el lehet bújni.

• Konvex síkidom
  -

  A konvex síkidom az, amelyikbe nem lehet elbújni.

• Szabályos sokszög
  -

  Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.

• SOKSZÖG OLDALA
  -

  Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Ezeket az egyenes szakaszokat nevezzük a sokszög oldalainak. 

• SOKSZÖG CSÚCSA
  -

  Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakasz alkotta zárt görbe határol. Ezeket a szakaszokat oldalaknak, vagy másként oldaléleknek nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az oldalélek találkoznak, a sokszög csúcsainak hívjuk.

• SOKSZÖG ÁTLÓI
  -

  A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat a sokszög átlójának nevezzük.

10. feladat: Százalékszámítás

• Százalékalap
  -

  A százalékalap az a szám, amihez a százalékszámítás során viszonyítunk. Ez jelenti mindig a 100%-ot. Ha például egy osztályba 20 gyerek jár és közülük 8 lány, 12 fiú, akkor a 20 gyerek lesz a 100%, aminek valahány százaléka lány és valahány százaléka fiú. 

• Százalékláb
  -

  A százalékláb a százalékszámításos feladatban a százalék. Ennyi százalékát kell kiszámítani a százalékalapnak.

• Százalékérték
  -

  A százalékérték a százalékalap és a százalékláb szorzata, tehát a végeredmény.

• A százalékszámítás lényege
  -

  A százalékértéket megkapjuk úgy, hogy a százalékalapot és a százaléklábat összeszorozzuk.

• A százalékalap kiszámolása
  -

  A százalékalap a százalérték és a százalékláb hányadosa.

• A százalékláb kiszámolása
  -

  A százalékláb a százalékérték és a százalékalap hányadosa.

• Százalékos emelés és csökkentés
  -

  Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.

10. feladat: Nehezebb szöveges feladatok

• Út-idő-sebességgel kapcsolatos összefüggések
  -

  Utazásról szóló szöveges feladatok.