9. feladat: Hasábok térfogata és felszíne

Van itt ez a sík, benne egy háromszöggel...
És a sík felett még egy ugyanilyen háromszög.

Ha a két háromszög csúcsait vonalakkal összekötjük, akkor egy térbeli alakzatot kapunk…

Amit úgy hívunk, hogy hasáb.

A dolog nem csak háromszögekre működik…

Ezeket az összekötő vonalakat alkotónak nevezzük.
A hasábokat körbeölelő oldallapokat pedig úgy hívjuk, hogy palást.

Széthajtogatva mindez valahogy így néz ki.

A hasábok felszínét kiszámolni nagyon egyszerű.

Van egy alaplapjuk meg egy fedőlapjuk…
Ezek mindig egyformák, és a területüket külön-külön T-vel jelöljük.

 
És van még a palástjuk.

A hasábok felszíne pedig:

Ez a képlet később még jól jöhet…

A hasábok térfogatát is nagyon könnyen ki tudjuk számolni.

Csak venni kell az alaplap területét…
És aztán megszorozzuk a hasáb magasságával.
 

Írjuk föl ezt is a listánkra.
És van itt még egy dolog…

A hasábok magasságát be lehet rajzolni ide is.

Hogyha széthajtogatjuk a hasábokat…
A palást mindig egy téglalap lesz.
Aminek az egyik oldala éppen a hasáb magassága…
A másik oldala pedig a hasáb alapjának a kerülete.

És ezzel egy új képletet kapunk a hasábok felszínére:

A felszínt így kapjuk, hogy kétszer az alaplap területe…
Plusz a palást területe, ami egy téglalap.

 És most lássuk, mire használhatnánk mindezt, jóra vagy rosszra…

Egy doboz alapja majdnem teljesen szabályos ötszög, a doboz oldalai pedig egyforma téglalapok. Az alaplap területe 250 cm2, a kerülete 60 cm és a doboz 20 cm magas. Mekkora a doboz térfogata és felszíne?

Kezdjük a térfogattal.
Itt a képletünkben T a hasáb alaplajának a területe…
Ami egyébként ugyanakkora, mint a fedőlap…

A hasáb magassága pedig…
 

A térfogat meg is van.
 

És most jöhet a felszín.

Ezt a képletet fogjuk használni.
Minden meg is van…

A vizuális típusok kedvéért…

Ez eddig elég egyszerűnek tűnik.
De az izgalmak csak most jönnek.

Van itt ez a kereszt alapú gerenda. A gerenda 16 méter hosszú, és az oldalai 1 méter széles és 16 méter hosszú téglalapok. Mekkora a gerenda térfogata és felszíne? 

Ez a gerenda egy hasáb.

A hasáb alaplapja ez a kereszt alakú síkidom…
A palástja pedig sok kis hosszú téglalapból áll.

És most nézzük, mekkora a hasáb térfogata.
 

A térfogathoz kelleni fog a magasság…

Mondjuk a rajzunkon ez inkább hosszúság…
De ezt így állítva kell elképzelni…

Nézzük, mekkora a hasáb térfogata.

A térfogathoz kell az alaplap területe és a hasáb magassága.

Nézzük, miből is áll a palást.

Itt ez az 1 méter széles és 16 méter hosszú téglalap…

Ennek a területe 16 m2.

És ilyenből van még néhány.
Ott még van egy tizenkettedik…

Így hát a palást felszíne:
 

Ez itt az alaplap:
 

A hasáb térfogata pedig:
 
 
És most lássuk a felszínt.
A felszínt ezzel a képlettel számoljuk ki.
 
Nézzünk meg még egyet.

Egy doboz alapja majdnem teljesen szabályos ötszög, a doboz oldalai pedig egybevágó négyzetek. Az alaplap területe 250 cm2, a kerülete pedig 60 cm. Mekkora a doboz térfogata és felszíne?

Nézzük, mi az, amit tudunk.

Hát, ennyi…
Mindenképpen szükségünk lenne a hasáb magasságára.

Egy ilyen négyzetnek az egyik oldala éppen a hasáb magassága.
És hát akkor a többi oldala is, mivel ez egy négyzet.

Ez a szakasz itt fönt, pedig éppen a kerület ötöde.
A feladat szövege szerint az oldallapok egybevágó négyzetek.

A dolog ugyanis valahogy így néz ki.

Egy aranyrúd 25 cm hosszú, 5 cm magas, és alul 10 cm, felül pedig 7 cm széles. Mekkora az aranyrúd térfogata?

Így elsőre ez valami eléggé fura alakzatnak tűnik…
De ha felállítjuk…
Akkor egy hasáb.

A hasáb magassága 25 centiméter…
A hasáb alapja pedig egy trapéz.
Ez a trapéz, itt.

Jó lenne tudni, hogy mekkora a területe.

Van itt erre egy képlet:
 

Ebben a képletben a a trapéz egyik alapja…
És c a másik alap.
Az m pedig a trapéz magassága.

A hasáb térfogatát így már nagyon könnyű kiszámolni.

Hát, ez meg is van.

Nézzünk meg még egyet.

Egy pizzás doboz 5 cm magas, 40 cm széles és 40 cm hosszú. A dobozt két részre vágjuk az ábrán látható módon. 
Mekkora a nagyobbik rész térfogata?

Úgy tűnik, hogy ez egy hasáb…

A térfogathoz pedig ezek kellenek.
Az alaplap területe és a hasáb magassága.

A magasság meg is van.

Az alaplap és a fedőlap pedig egy trapéz…

Ezek az oldalak a pizzás doboz eredeti oldalai.
Mindkettő 40 centiméteres.

Íme, az alaplap:
Ez egy trapéz…
Megint kéne a trapéz területképlete…

És már megint egy trapéz.

Úgy tűnik elég gyakran van szükség mostanában a trapéz területképletére…

Jobb is, ha felírjuk magunknak ide.

A legnépszerűbb területképletek:
 

TRAPÉZ

Már jön is a területképlet:

És itt van a trapéz magassága…

A terület meg is van.
És most jöhet a térfogat…
 

Egy híd pillérjének az alapozásánál tömör vasbeton blokkokat készítenek. Mindegyik blokk alapja 8 méter oldalhosszúságú négyzet, oldallapjai pedig két egybevágó trapéz, egy 3 méter magas téglalap és egy 7 méter magas téglalap. Hány köbméter egy ilyen vasbetonból észült blokk térfogata?

A feladat szerint a vasbeton blokkok alapja 8 méter oldalhosszú négyzet…
 

És az oldallapok pedig…

A 7 méter magas téglalap ott van…
Így talán jobban látszik…

Most pedig lássuk, mekkora a térfogat.

Ez itt egy hasáb…
Egy oldalára döntött hasáb.

Vagyis ez a hasáb alaplapja…
És ez pedig a magassága.
 

Az alaplap egy trapéz…

De ez is az oldalára van döntve…
Na, így már jobb.

És most jöhet a térfogat…

A trapéz alapú hasáboknál tartottunk…
És most nézzük, mi van még…

Ez itt egy háromszög alapú hasáb.
És ez pedig egy téglalap alapú hasáb.
Fedőneve: téglatest.

És vannak aztán paralelogramma alapú meg deltoid alapú hasábok is.

Ezek feladatok a hasábokkal valójában nem a térfogatszámolós meg felszínszámolós feladatok…
Lényegében csak arról szólnak, hogy ki tudjuk-e számolni háromszögek, trapézok vagy épp paralelogrammák területét.

Ez rögtön látszik, hogyha ránézünk itt a jobb oldalra.
Egy picike helyet foglalnak csak a térfogat és felszín képletek…
És a többi hatalmas helyen a sokszögek területképletei vannak.

Most pedig nézzünk valami feladatot.

Egy doboz alapja olyan derékszögű háromszög, aminek az oldalai 9 cm, 12 cm és 15 cm. A doboz oldallapjai közül a legkisebb területű egy négyzet, a többi téglalap.
Mekkora a doboz térfogata és felszíne?

Menjünk szépen sorban…
A hasáb alaplapja, és fedőlapja ez a derékszögű háromszög.

Kezdjük azzal, hogy kiszámoljuk ennek a területét.
És most nézzük, hogy mekkora a terület.

Az oldalak hosszát a feladat szövegéből tudjuk…
 

 
A derékszögű háromszögeknél a befogók egyben magasságok is…

Már csak a hasáb magasságát kéne tudnunk.

Hát, erről nincsen szó a feladat szövegében…
Itt van viszont ez a trükkös mondat.
Az oldallapok egyik oldala éppen a hasáb magassága.
És most nézzük, mekkora a másik oldaluk…
Ekkora.

A másik oldaluk pedig a kék háromszög valamelyik oldala.

A legkisebb területű oldallap ez.
És a feladat szerint ez egy négyzet.

Vagyis minden oldala ugyanakkora.
Itt is van a képlet.

És a feladat szövege szerint ez egy négyzet.
A kék háromszög legrövidebb oldala pedig 9 centiméter.
És mivel ez egy négyzet, az összes többi oldala is 9 centiméter.
Így hát meg is van a hasáb magassága.

Most már minden megvan a térfogathoz:
 

Egy új országút építésénél 100 méter hosszú földből épült töltésre volt szükség. A töltés magassága 7 méter, szélessége az alapjánál 24 méter, a tetején pedig 10 méter. A földet teherautókkal szállítják az építkezésre, és egy teherautó egyszerre 22 köbméter földet tud szállítani. Hány teherautónyi föld kellett a töltés megépítéséhez?

Ez a töltés egy hasáb…
A hasáb alapja egy trapéz…

Aminek a magassága 7 méter…
 

A trapéz alapja 24 méter…
A teteje pedig, ami egyébként a másik alap, az 10 méter.

A trapéz területe meg is van.
 

Ez a hasáb alaplapja.
A hasáb magassága pedig…
Hát igen, ez a hasáb fekszik.

És most jöhet a térfogat…

 
A töltéshez 11 900 köbméter földre van szükség.

Egy teherautó 25 köbméter földet tud szállítani…
A kérdés, hogy hányszor van meg a 25 a 11 900-ban.
 
A töltés építéséhez 476 teherautónyi földre van szükség.

Most, hogy ez is végre kiderült, már csak egy utolsó feladat van hátra.

Itt van ez a hétszög alapú hasáb, aminek a magassága 10 centiméter, és az alaplapjának a kerülete 26 centiméter, a területe pedig 32 négyzetcentiméter.

Mekkora a hasáb felszíne és tréfogata?
 
Hétszög nem szerepel itt a listánkon…
De nem is kell…

A feladat szövegében meg van adva a hétszög területe…
Sőt a kerülete is.
 
Na és a hasáb magassága is.
Így már mindet ki tudunk számolni.