4. feladat: Statisztika
Módusz
Az adatsor legyakoribb értéke a módusz. Hogyha például Bob matekjegyei ezek:
2, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 2, 4, 2, 4
Akkor egyszerűen meg kell számolni, hogy melyikből van a legtöbb, és az a matekjegy lesz a módusz. Most 2-esből van a legtöbb, így Bob matekjegyeinek a módusza 2. A módusz jele Mo és így most Mo=2.
Léteznek olyan eloszlások is, amelyeknek több módusza van. Hogyha például Bob jegyei:
1, 2, 2, 3, 5, 3, 3, 4, 2
Itt 2-esből és 3-asból ugyanannyi van, mindkettőből 3 darab. Ez egy kétmóduszú eloszlás.
Medián
A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke. Ha az adatsorban páros sok elem van, akkor nincs középső elem, ilyenkor a két középső elem átlagát vesszük.
Hogyha például Bob matekjegyei ezek:
2, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 2, 4, 2, 4
Akkor egyszerűen növekvő sorba kell rakni..
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5
És aztán meg kell keresni melyik a középső. Most nincsen középső, mert páros sok elem van, így ilyenkor a két középen lévőt átlagoljuk:
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5
Ezeknek az átlaga 2,5 vagyis a medián most 2,5. A medián jele Me, így Me=2,5
a) Bob nem túl jó matekból, viszont szeret rajzolni, így hát elhatározta, hogy ábrázolja a matekjegyeit egy grafikonon...
Ezek a matekjegyek:
2, 3, 2, 1, 1, 4, 5, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 2, 3
Ábrázold a jegyek eloszlását oszlopdiagramon és kördiagramon.
b) Bob 12 napig nyaralgat, és ez itt a várható időjárás...
Ábrázoljuk oszlopdiagramon és kördiagramon.
Itt van egy diagram arról, hogy az iskolai színjátszó szakkörnek havonta hány lány és hány fiú tagja volt egyik évben.
Ábrázoljuk ugyanezt vonaldiagrammal is.
a) Bob a nyaralását tervezget, és szeretne olyan időszakot választani, amikor sütni fog a nap.
Ez a táblázat azt mutatja, hogy egy nyaralóhelyen havonta mennyi eső esik. Az esőt milliméterben mérik, ami azt jelenti, hogyha a leesett eső nem tudna elfolyni, akkor ennyi milliméter magasan állna a víz.
Melyik hónapban utazzon Bob, ha a lehető legkevesebb esőt szeretné?
b) Egy júliusi napon Bob meg is érkezett. Az első napja kicsit esős volt, de legalább jó meleg. Nézzük meg, hogy hány órakor esett a legtöbb eső és hánykor volt a legmelegebb?
c) Másnap Bob már inkább vonattal ment...
Ez a menetrend egy elővárosi vonat indulási időpontjait mutatja az egyik állomásról.
Melyik órában indul a legtöbb vonat?
Ezeket a jegyeket kapta Bob matekból...
2, 3, 1, 1, 2, 4, 5, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 1, 4, 2
Számoljuk ki az átlagát.
Számítsuk ki Bob matekjegyeinek móduszát és mediánját.
Ezek a matek jegyek:
2, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 2, 4, 2, 4
Ez a diagram azt mutatja, hogy az egyik téli olimpián hány aranyérmet szerzett Ausztria, Svájc, Franciaország és Németország.
Igaz-e, hogy Svájc kétszer annyi aranyérmet szerzett, mint a franciák?
a) Ez az oszlopdiagram arról szól, hogy egy 32 fős osztály tanulói hány ötöst kaptak magyarból.
i) Bob kapta a legtöbb ötöst magyarból. Hány ötöst kapott Bob?
ii) Az osztályban Lilinél és Miránál kevesebb ötöst nem kapott senki. Hány ötöst kapott összesen Lili és Mira? Hányan vannak még rajtuk kívül az osztályban, akik ilyen kevés ötöst kaptak?
iii) Számoljuk ki, hogy hány ötöst kapott a 32 diák összesen.
b) Egy iskolában 576-an tanulnak valamilyen idegen nyelvet. Minden diák csak egy idegen nyelvet tanul, vagy németet, vagy olaszt, vagy franciát. A legtöbben a németet tanulják és a legkevesebben az olaszt. A háromféle nyelv megoszlását ez a kördiagram ábrázolja. Hányan tanulnak az iskolában franciát? Hány fokos középponti szög tartozik a németül tanulók körcikkéhez? Az 576 diák hány százaléka tanul olaszt?
c) Egy 100 perces előadás három főszereplője Tom, Robert és Emma. A diagram vízszintes szakaszai azt mutatják, hogy a 100 perc alatt a főszereplők mikor szerepeltek.
Hány percen keresztül szerepelt mindhárom főszereplő egyszerre?
Ábrázoljuk oszlopdiagramon, hogy a három főszereplő összesen mennyi ideig szerepelt az előadáson. Ábrázoljuk kördiagramon, hogy az előadás hány százalékában volt látható egy, kettő és mindhárom főszereplő.
Egy csoportban hatan írnak tesztet, a teszt eredménye 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, vagy 5-ös lehet. Tudjuk, hogy csak egy 3-as van és az átlag 4,5. Mik voltak az eredmények?
Egy vonat utasainak száma hétfőn 200, kedden 190, szerdán 90, csütörtökön 170. Hány utas volt pénteken, ha tudjuk, hogy az öt adat átlaga is szerepel az adatok között, és egyik nap sem utaztak 200-nál többen, sem pedig 90-nél kevesebben?
Egy vonat utasainak száma hétfőn 200, kedden 160, szerdán 90, csütörtökön 150. Hány utas volt pénteken, ha tudjuk, hogy az öt adat átlaga is szerepel az adatok között, továbbá az adatok egyetlen módusza nem egyenlő a mediánjukkal?
Egy teszt 5 kérdésből áll, minden kérdésre három lehetőség közül lehet választani. A helyes válaszra 1 pont jár, a rossz válaszra 0 pont. A tesztet 20-an írják meg, és az elért összpontszám 48.
a) Melyik feladatra adták a legtöbb helyes választ?
b) Melyikre adták a legkevesebb jó választ?
Egy városkában 30 szálloda üzemel. A szállodák között van kétcsillagos, háromcsillagos, négycsillagos és ötcsillagos is.
a) Számoljuk ki, hogy átlagosan hány csillagosak a szállodák a városkában. Adjuk meg a mediánt és a móduszt is.
b) Ábrázoljuk kördiagramon a szállodák csillagok szerinti megoszlását.
| * | 0 |
| ** | 2 |
| *** | 12 |
| **** | 9 |
| ***** | 7 |
Egy versenyen 5 országból összesen 30 versenyző vett részt. A résztvevők megoszlását mutatja ez a diagram. Adjuk meg a móduszt és a mediánt, és ábrázoljuk a versenyzők megoszlását kördiagramon.
a) Egy 30 fős osztály tanulóitól megkérdezték, hogy hányszor voltak moziban az év során. Az adatokból az alábbi oszlopdiagramot készítették. Anna volt a legtöbbször moziban az osztályban, és Bencénél kevesebbszer senki nem volt.
i) Hányszor volt moziban Anna?
ii) Hányszor volt moziban Bence?
iii) Liliről tudjuk, hogy rajta kívül még 7-en vannak az osztályban, akik ugyanannyiszor voltak moziban, mint Lili. Hányszor volt moziban Lili?
b) Anna, Mira és Lili együtt játszanak egy kézilabdacsapatban. Egy kézilabda mérkőzés 60 percig tart, és ez a grafikon mutatja, hogy a három lány közül ki melyik percben volt a pályán egy mérkőzés során.
i) Hány percet töltött mindhárom lány egyszerre a pályán?
ii) A három lány közül melyikük töltötte a legtöbb időt a pályán, és melyikük a legkevesebbet?
a) Egy gyümölcsárus feljegyezte hány kg-ot adott el hétfőn és kedden almából, banánból, barackból, körtéből és szilvából.
i) Melyik gyümölcsből adta el a legtöbbet a két nap alatt összesen?
ii) Melyik nap alatt adott el több kilogrammot ebből az öt gyümölcsből összesen?
b) A gyümölcsárus egy órán keresztül figyelte, hogyan fizetnek nála a vásárlók, készpénzzel, bankkártyával vagy telefonos app segítségével. A megfigyelés eredményét mutatja ez a kördiagram.
i) Hányan vásároltak a gyümölcsárusnál ebben az órában?
ii) Hányan vásároltak készpénzzel?
iii) A vásárlók hány százaléka fizetett bankkártyával?
Bob nem túl jó matekból, viszont szeret rajzolni, így hát elhatározta, hogy ábrázolja a matekjegyeit egy grafikonon… Ezek a matekjegyek: És ez pedig Bob… Ezt a grafikont úgy hívjuk, hogy oszlopdiagram. Az egyik tengelyen vannak a matekjegyek… A másik tengelyen pedig az, hogy hány darab van belőlük. A diagramról lazán le tudjuk olvasni Bob matekjegyeit. Van két darab 1-ese… Hat darab 2-ese… Négy darab 3-asa… Két darab 4-ese… És egy 5-öse. Az oszlopdiagramról már messziről látni, hogy Bobnak leginkább 2-esei vannak. És az is látszik, hogy 5-ösből van a legkevesebb... De igaz-e vajon, hogy Bob matekjegyeinek több mint a fele 2-es? Na, ezt már nehezebb ránézésre megmondani. Meg kéne hozzá számolni, hogy hány darab 2-es van és hány jegy van összesen. Itt jön most egy másik diagram, amiről ez is ránézésre látszódni fog… Ezt úgy hívjuk, hogy kördiagram. Kell hozzá egy kör… Amit felosztunk annyi részre ahány matekjegye van Bobnak. A teljes kör 360 fok… Ezt kell felosztanunk 15 egyenlő részre… És most rajzoljuk be Bob matekjegyeit… A kördiagramon látszik, hogy Bobnak jó sok 2-ese van… De azért kevesebb, mint a jegyeinek a fele. Hogyha a darabszámokat is ráírjuk… Akkor a kördiagramból is pontosan kiderül, hogy hány darab van a különböző jegyekből. De most már ne rugózzunk tovább Bob matekjegyein… Beszélgessünk inkább az időjárásról. Íme, a következő 12 nap időjárása… Ábrázoljuk oszlopdiagramon és kördiagramon. Hát, reméljük, Bob szereti az esőt… Nézzük meg a kördiagramon, hogy milyen arányban fog esni. Úgy néz ki, hogy Bobnak csak a nyaralása felében fog kellene a napszemüveg… Sőt, igazán csak itt. Ez 4 nap a 12 napból… Vagyis a nyaralás harmada. De itt azért még lehet egy kis napsütés…
Ebben a táblázatban 12 nap időjárása látható a legkisebb és legnagyobb napi hőmérséklettel.
Nézzük meg, hogyan tudjuk ábrázolni az adatokat ebben a koordinátarendszerben.
Ábrázoljuk a következő 12 nap legkisebb és legnagyobb napi hőmérsékletét egy koordinátarendszerben.
Ez itt a koordinátarendszer…
És most nézzük, hogyan tudjuk ábrázolni az adatokat.
Kezdjük a napi legkisebb hőmérsékletekkel.
Ha egyszerűen csak berajzoljuk ezeket a koordinátarendszerbe…
Azt úgy hívjuk, hogy pontdiagram.
Egy kicsit izgalmasabb, hogyha a pontokat össze is kötjük…
Ezt vonaldiagramnak nevezzük.
Ugyanezt megcsinálhatjuk a napi legnagyobb hőmérsékletekkel is.
Itt jön a pontdiagram…
És ez a vonaldiagram.
Hogyha nem külön-külön ábrázoljuk a legkisebb és a legnagyobb hőmérsékleteket, hanem az egészet egyben…
Akkor hétfőn napközben emelkedni kezd a hőmérséklet…
Aztán éjszakára lehűl.
Másnap újra emelkedik…
Aztán megint csökken.
És így ezt a cikcakkos vonalat kapjuk a 12 nap hőmérsékleteivel.
A grafikonról lazán le tudjuk olvasni, hogy melyik nap van a leghidegebb…
És azt is, hogy melyik napon van a legmelegebb.
Végül itt jön egy beugratós kérdés…
Melyik nap volt a napi legmelegebb hőmérséklet a leghidegebb?
Vagyis most csak a pirosakat kell nézni…
Lássuk, hol a legkisebb…
Két ilyen nap is van.
És nézzük meg azt is, mikor volt a napi legkisebb hőmérséklet a legnagyobb…
És van itt még egy dolog…
Ezt az egészet ábrázolhatjuk oszlopdiagrammal is…
Mégpedig így, hogy minden nap két oszlopot használunk.
És a pöttyök nem is kellenek…
Ezt csoportosított oszlopdiagramnak nevezzük.
Itt van például egy ilyen diagram arról, hogy az iskolai színjátszó szakkörbe hány lány és hány fiú jár.
Ábrázoljuk ugyanezt vonaldiagrammal is.
És most itt az ideje, hogy fényt derítsünk néhány izgalmas kérdésre a színjátszó szakkörrel kapcsolatban…
Melyik hónapban volt a legtöbb, és mikor volt a legevesebb fiú a szakkörben?
Ez a vonaldiagramról már messziről látszik…
Januárban volt a legkevesebb fiú, éppen 10 darab.
És decemberben volt a legtöbb, amikor 40-en voltak.
Most nézzük, mi a helyzet a lányokkal…
A legtöbb lány itt volt novemberben, itt 30-an voltak.
A legkevesebb pedig itt, februárban.
Nem látszik valami jól, hogy pontosan hány lány volt februárban…
Az oszlopdiagramról ez talán könnyebb leolvasni.
Úgy tűnik, a halvány vonalkák kettesével vannak…
Így hát ez itt alighanem 18.
Vagyis februárban volt a legkevesebb lány, amikor 18-an voltak.
És most nézzük, mikor lett több a fiú, mint a lány…
Ezt a vonaldiagramról lehet a legegyszerűbben leolvasni.
Ahol a két grafikon metszi egymást…
Vagyis augusztusról szeptemberre haladta meg a fiúk száma a lányok számát.
És most lássuk, mire használhatnánk ezeket a diagramokat…
Ezt a felmérést egy vasúttársaság készítette arról, hogy az utasok hány százaléka szeret az emeletes vonatok felső szintjén utazni.
Úgy néz ki, hogy az utasok őrülten szeretnek az emeleten utazni…
De sajnos van itt valami, amit úgy hívnak, hogy csalás…
Ezek a kis vonalkák azt jelentik, hogy itt el van vágva a koordinátatengely.
És a helyzet valójában így néz ki.
Persze még így is többen vannak akik szeretnek az emeleten utazni…
De azért nem olyan sokkal.
Hogyha elkezdjük fölfelé tolni a vízszintes tengelyt….
Akkor egyre inkább az a kép alakul ki, hogy szinte miden utas az emeleten szeretne utazni.
Amikor ezeket a gyanús kis vonalakat látjuk egy diagramon, akkor készüljünk rá, hogy valaki éppen át akar minket verni…
De van itt valami, amit úgy hívnak, hogy csalás…
Ezek a kis vonalkák azt jelentik, hogy itt el van vágva a koordinátatengely.
A helyzet ugyanis valójában így néz ki.
A sárga oszlop tehát egyáltalán nem kétszer akkora, mint a kék.
Ha egy diagramon ezeket a gyanús kis vonalakat látjuk, akkor készüljünk rá, hogy valaki éppen át akar minket verni…
Sokan lesznek, akik ilyen diagramokkal akarnak minket átverni.
át akarnak verni…
A matekdolgozatban, a felvételin, az érettségin…
Na meg persze a reklámokban, és a politikai hirdetésekben.
Itt van például egy grafikon arról, hogy egy iskolában hányan utálják a matekot.
Úgy tűnik, decemberre csoda történt…
Már szinte alig van valaki, aki utálja a matekot.
És a decemberi csoda magyarázata…
Azért maradt még bőven, aki utálja a matekot…
Sőt, itt jön egy újabb trükk…
Hogyha egy kicsit összenyomjuk a grafikont…
Akkor még azt a látszatot is kelthetjük, hogy annyi csökkenés sem volt, amennyi tényleg volt.
Ez a diagram azt mutatja, hogy az egyik téli olimpián hány aranyérmet szerzett Ausztria, Svájc, Franciaország és Németország.
Igaz-e, hogy Svájc kétszer annyi aranyérmet szerzett, mint Ausztria?
Ez az oszlopdiagram arról szól, hogy egy 32 fős osztály tanulói hány ötöst kaptak magyarból. Bob kapta a legtöbb ötöst magyarból. Hány ötöst kapott Bob?
Ez a tengely azt mutatja, hogy egy tanulónak hány darab ötöse van…
Itt pedig az látszik, hogy hány darab ilyen tanuló van.
A legtöbb ötöst ez az egy darab tanuló kapta…
Ő kell, hogy legyen Bob.
És úgy néz ki, hogy 8 darab ötöse van Bobnak.
Az osztályban Lilinél és Miránál kevesebb ötöst nem kapott senki. Hány ötöst kapott összesen Lili és Mira? Hányan vannak még rajtuk kívül az osztályban, akik ilyen kevés ötöst kaptak?
A legkevesebb ötös 2 darab…
És ennyien vannak, akiknek csak 2 darab ötösük van.
Hatan.
8 db ötös
1 db tanuló
Úgy tűnik, hogy 192-en tanulnak franciát.
hat olyan diák van, akinek csak 2 darab ötöse van.
Közülük kettő Lili és Mira.
Mindkettőnek 2 darab ötöse van.
Ami összesen 4 darab.
És rajtuk kívül még 4-en vannak, akik ilyen kevés ötöst kaptak.
Végül számoljuk ki azt is, hogy hány ötöst kapott a 32 diák összesen.
Lássuk, mekkora középponti szög van a németeknél…
Egy ilyen körcikk 30 fokos…
És van belőle 5 darab…
Végül nézzük, mi van az olaszokkal.
Három cikkelyt foglalnak el az olaszok a 12 darabból…
Ez ránézésre is az egésznek a negyede, vagyis 25%.
De kiszámolhatjuk így is:
Így is kijön, hogy 25% tanul olaszt.
Egy 100 perces előadás három főszereplője Tom, Christoph és Emma. A diagram vízszintes szakaszai azt mutatják, hogy a 100 perc alatt a főszereplők mikor szerepeltek.
Hány percen keresztül szerepelt mindhárom főszereplő egyszerre? Ábrázoljuk oszlopdiagramon, hogy a három főszereplő mennyi ideig szerepelt az előadáson. Ábrázoljuk kördiagramon, hogy az előadás hány százalékában volt látható egy, kettő és mindhárom főszereplő.
Nézzük, mikor szerepelt mindhárom főszereplő…
Itt például igen.
