10. feladat: Százalékszámítás

Egy osztályban a diákok 12,5%-ának megy a százalékszámítás.  Számoljuk ki, hogy hány diáknak megy, ha összesen 32-en vannak.

A százalékszámítás lényege ez:

Bármilyen százalékot lazán át tudunk írni tizedes törtre.
Csak elosztjuk 100-zal, és kész is.

A 32-nek pedig úgy számoljuk ki a 12,5%-át, hogy egyszerűen megszorozzuk vele.

 32-en járnak, és 3 emberből 4-nek általában gondjai vannak a százalékszámítással. 

Az egész ilyen könnyű…

Ezt a számot itt százalékalapnak nevezzük.
SZÁZALÉKALAP

De hívhatjuk akár Bobnak is, ha ez a név szimpatikusabb…

Úgysem az a lényeg, hogyan hívjuk, hanem az, hogy meg tudjunk oldani feladatokat.

Magát a százalékot úgy hívják, hogy százalékláb…

SZÁZALÉKLÁB

De, hogy miért éppen láb?
Ki tudja…

És a végeredmény a százalékérték.

SZÁZALÉKÉRTÉK

A négy matekzseni.

De az egészből nem ezt kell megjegyezni.

A lényeg most jön.

Itt egy telefon, ami eredetileg 340 ezerbe kerül…
De most akciósan 20%-kal olcsóbb.

Számoljuk ki, hogy mennyit spórolunk.

A teljes árnak kell a 20%-a.

Csak beszorozzuk vele, és kész is.

Úgy tűnik, hogy 76 ezret spórolunk a 20%-os akción.

Itt egy másik telefon is, ami 290 ezerbe kerül, de most 30%-kal olcsóbb? Mennyit spórolunk ezen?

Lássuk, mennyi az ár 30%-a…

Itt úgy néz ki, hogy 87 ezret spórolunk.

Egy tábla csoki csomagolására az van írva, hogy 78%-os kakaótartalom.
Hány gramm kakaó van egy 100 grammos táblában?

A 150 grammnak kell a 78%-a.

A 150 grammos táblában 117 gramm kakaó van.

Egy nadrág ára 25 ezer, és az árát 16%-kal csökkentették. Mennyivel kerül kevesebbe?

Nézzük, mennyi az ár 16%-a…

Úgy tűnik, hogy 4 ezret spórolunk a 16%-os akción.

Az eredeti ár x…
És ennek a 16%-a a 3200

Úgy tűnik, hogy 76 ezret spórolunk a 20%-os akción.

Itt egy telefon, ami eredetileg 350 ezerbe kerül…
De most akciósan 20%-kal olcsóbb.

Számoljuk ki, hogy mennyit spórolunk.

A 350 ezernek kell a 20%-a:

Úgy tűnik, hogy 70 ezret spórolunk a 20%-os akción.
És most lépjünk a következő szintre, ahol az árleszállítások mesterévé válhatunk…

Annyit tudunk, hogy a 20%-os kedvezménnyel 70 ezer forintot spórolhatunk ennek a telefonnak az árából.
Mennyi az eredeti ár?

Itt most valahogy fordítva van a kérdés, mint eddig.

Eddig az volt a kérdés, hogy mennyi kedvezmény…
Most meg az a kérdés, hogy mennyi az eredeti ár.

Ez tényleg fordítva van…

Hát, így hirtelen fogalmunk sincs, hogy mennyi az ár.
Úgyhogy akkor x.

Eredeti ár = x.

És ennek a 20%-a a 70 ezer:

Hát, így kell kiszámolni, hogy melyik számnak a 20%-a a 70 ezer.

A 350 ezernek.

Nézzünk meg még egyet…

Egy nadrág árát 16%-kal csökkentették, és így 3200 forinttal olcsóbb lett. Mennyibe került eredetileg?

Az eredeti ár x…
És ennek a 16%-a a 3200

A kérdés, hogy mennyi az x, vagyis melyik számnak a 16%-a a 3200.
Most fog kiderülni:

A nadrág eredeti ára 20 ezer forint volt.

Egy osztályban a tanulók 56%-a lány. Hányan járnak az osztályba, ha a lányok 14-en vannak?

Hát, így elsőre fogalmunk sincs, hogy hányan járnak az osztályba…
Úgyhogy akkor x.
Ennek az 56%-a a 14 darab lány:

Úgy néz ki, hogy 25-en járnak az osztályba.

És most lássunk valami nehezebbet…

Egy csokigyárban 78%-os kakaótartalmú csokikat gyártanak. 117 kg kakaó hány tábla 100 grammos csoki elkészítéséhez elég?

Ez már egy trükkösebb feladat, mint az eddigiek…

Kezdjük azzal, hogy hány kiló csoki készíthető összesen 120 kg kakaóból.
Hát, ezt nem tudjuk, úgyhogy x kiló…

És ennek az x kiló csokinak a 78%-a a 120 kg.

Eddig ott tartunk, hogy összesen van 150 kiló csokink…
És ebből csinálunk 100 grammos táblákat.

A csokitáblák száma pedig…

100 gramm csokiból 1 tábla csoki lesz…
200 gramm csokiból 2 tábla…
1000 gramm csokiból 10 tábla…
150000 gramm csokiból 1500 tábla.

Egy osztályba 12 lány jár, és 18 fiú. 
Számoljuk ki, hogy az osztálynak hány százaléka lány?

Ezzel el is érkeztünk a százalékszámítás legnehezebb részéhez.

Amikor magát a százalékot kell kiszámolni.

Ezt hívják egyébként százaléklábnak.

De lábak nélkül is ugyanúgy kell számolni.

Ha 12 lány van és 18 fiú, akkor az osztályba összesen 30-an járnak.

Eddig jó.

És a kérdés, hogy ennek hány százaléka a 12 darab lány.

A százalékszámítás legfontosabb alapszabálya, hogy nyelvtanból tudni kell, mi az a birtokos jelző…

De a birtokos jelző csak ennyi: nak/nek

És mindig azzal osztunk, ami a nak/nek.

Hogyha az a kérdés, hogy az osztály(nak/nek) hány százaléka lány:

Ha az lenne a kérdés, hogy az osztály(nak/nek) hány százaléka fiú…

De az izgalmak csak most jönnek…
Számoljuk ki, hogy a fiúk száma hány százaléka a lányok számának.

Jön a nyelvtani elemzés…

És most nézzük, a lányok száma hány százaléka a fiúk számának.

Hát igen, ez egy végtelen tizedes tört.
Ilyenkor a vessző után négy számjegyet szokás kiírni…
Az utolsó számjegyet kerekítve.

Ez is megvan.

És végre a nyelvtannak is vesszük valami hasznát…

Németországban 84 millióan laknak.
Olaszországban pedig 60 millióan.

Számoljuk ki, hogy Németország népessége hány százaléka Olaszország népességének.

Ami biztos, hogy az olaszokkal osztunk…

A német népesség az olasz 140%-a.

Nézzük meg azt is, hogy az olasz népesség a németnek hány százaléka.
 

A spanyolok csak 48 millióan vannak…

Számoljuk ki, hogy a spanyolok népessége hány százaléka a német és az olasz népességnek.

A spanyol népesség a németnek az 57,14%-a és az olasznak a 80%-a.

Egy vonaton összesen 500 ülőhely van. A vonat hány százaléka foglalt, ha 410-en utaznak rajta? Az ülőhelyek hány százaléka szabad?

Újabb nyelvtani zsonglőrködés következik.

Jön a néma „nak”…

Hogyha kicsit átírjuk a kérdést:
Egy vonaton 500 hely van. A vonatnak hány százaléka foglalt, ha 410-en utaznak rajta?

A szabály az volt, hogy mindig azzal osztunk, ami a nak/nek.

A másik kérdés az volt, hogy az ülőhelyek hány százaléka szabad.
Az összes ülőhely a 100%, ezért, ha 82% foglalt…
 
Az ülőhelyek 18%-a szabad.

A vonat öt kocsiból áll és a kocsik zsúfoltságát minden kocsiban egy foglaltságot jelző képernyő mutatja.

Az egy emberke azt jelenti, hogy a kocsiban a helyek harmada foglalt.

 
A két emberke azt jelenti, hogy egyharmad és kétharmad között van a foglaltság.

A három emberke pedig azt jelenti, hogy kétharmadnál is több hely foglalt.

A vonat első és utolsó kocsijában 70 férőhely van, a többi kocsiban pedig 120. Mit mutatnak a foglaltságot jelző képernyők, ha az első kocsiban 42-en, a másodikban 54-en, a harmadikban 84-en, a negyedikben 96-an és az ötödikben 21-en utaznak?

Nézzük meg egyesével, hogy hány százalékos a foglaltság a kocsikban.

Elérkezett az idő, hogy a nak/nek-szabály mellett egy új szabályt is megjegyezzünk.
Az új szabály így szól, hogy mindig azzal osztunk, ami a 100%.
Az első kocsiban a 100% a 70 darab férőhely.

A második kocsiban 120 férőhely van, tehát itt ez lesz a 100%.
A jelek szerint az ülőhelyek 82%-a foglalt.

A harmadik kocsiban is 120 férőhely van…

A negyedik kocsiban is 120 férőhely van…

És az utolsó kocsiban csak 70 férőhely van.

Végül számoljuk ki azt is, hogy a teljes vonatnak hány százaléka foglalt.

Most a teljes vonat lesz a 100%, vagyis az 500 férőhely…
És a foglalt helyek száma pedig…

Vagyis az ülőhelyek 58,2%-a foglalt.

A vonatra kétféle jegyet árulnak. Az első osztályú jegy 64 euróba, egy másodosztályú jegy pedig 40 euróba kerül. Hány százalékkal drágább az első osztályú jegy?

Jöhet a nak/nek-szabály…
Nem túl jó hír, hogy az egyetlen nak/nek a szövegben ez.

Hát, ennyit erről. Nézzük akkor ezt a másik szabályt, hogy mindig azzal osztunk ami a 100%.

Ha az a kérdés, hogy…
Akkor nyilván nem ez lesz a 100%...
Hiszen ez majd valahány százalékkal több lesz.

Ha pedig nem az első osztályú jegy a 100%, akkor…

Mindig azzal osztunk, ami a 100%...

Ennyivel drágább az első osztályú jegy.

Vagyis az első osztályú jegy 60%-kal drágább, mint a másodosztályú.

Egy osztályba 16 lány jár, és 20 fiú. 
Számoljuk ki, hogy hány százalékkal több a fiú, mint a lány.

Kezdjük a nyelvtani elemzéssel…
Nak/nek az sajna nincsen…

Úgyhogy jön a B-terv…
 
Mindig azzal osztunk, ami a 100%...

Úgy néz ki, hogy nem a fiúk a 100%-osak.

Hát, akkor a lányok…

25%-kal több a fiú, mint a lány.

Nézzük meg fordítva is.
Hány százalékkal kevesebb a lány, mint a fiú?

Most nem a lányok lesznek a 100%, hanem a fiúk.

És mindig azzal osztunk, ami a 100%.

Úgy néz ki, hogy 20%-kal kevesebb a lány.
 

Épp a telefonok áránál tartottunk…
És addig jutottunk, hogyha egy telefon ára mondjuk 300 ezer…

És az árat 20%-kal csökkentjük, akkor lazán beszorozzuk ezzel…
És kész is.
 
Megvan az új ár.

A dolog ugyanilyen egyszerű akkor is, ha az árat például 15%-kal emeljük:

És most nézzünk valami érdekesebbet.

Egy telefon árát 18%-kal csökkentették, és az új ár 290 ezer forint. Mennyi volt az eredeti ár?

Hát így elsőre fogalmunk sincs, úgyhogy jelöljük x-el…
Eredeti ár = x forint.

Most jön az akció:

Az akciós árat úgy kapjuk…
Hogy az eredeti árat beszorozzuk 0,92-vel:

És most jó lenne tudni, hogy mennyi az x…

Egy vonaton 500 férőhely van, és a helyek 15%-a üres. A következő állomáson az utasok 32%-a leszáll. Hányan szállnak le?

Menjünk szépen sorban…

Kezdjük azzal, hogy egyáltalán hányan utaznak a vonaton.

A helyek 15%-a üres:

Az utasok száma:
 

Ezeknek a 32%-a száll le:

Egy másik vonatról az utasok 16%-a szállt le egy állomáson, és a leszálló utasok 25%-a továbbutazott. Ez 14 ember. Hány utas volt a vonaton?

Hát, így hirtelen fogalmunk sincs, úgyhogy akkor x.

A vonaton x darab utas volt.

Jó lenne tudni, hogy mennyi az x.
Azt tudjuk, hogy az x darab utas 16%-a szállt le:
És a 25%-uk utazott tovább busszal, ami 14 ember.

 
A vonaton 350-en utaztak.

És itt jön egy harmadik vonat is, amiről az utasok 24%-a száll le, és a leszálló utasok 25%-a utazik tovább busszal, ami 27 ember. Hányan maradtak fönt a vonaton?

Ez egy kicsit trükkösebb feladat, mint az előző…

Fogalmunk sincs, hogy hányan maradtak a vonaton, úgyhogy legyen x.

De ezzel az a baj, hogy a feladatban szereplő százalékok nem a vonaton maradt utasokról szólnak.

Ez a 24% a vonaton utazó összes utas 24%-a.
Így hát jobban járunk, ha a vonaton utazó összes utas az x.

Az összes utas 24%-a száll le…
És ezeknek a 25%-a utazik busszal, ami 27 ember.

Összesen 450-en utaztak a vonaton.

De nem ez volt a kérdés…

A kérdés az volt, hogy hány százalékuk marad fent.
24% száll le, tehát aki fent marad:
 

342-en maradtak fönt a vonaton.

Egy futóversenyen a versenyzők legjobb 35%-a bejut a második fordulóba, ahol a leggyorsabb 25% kap jutalmat. Ez 49 ember. Hányan indultak a futóversenyen?

 Készítsünk egy rajzot, mert az segíteni szokott…

Itt vannak a versenyzők…
És nem tudjuk, mennyien vannak, úgyhogy akkor x.

És közülük a leggyorsabb 25% kap jutalmat…

És ez 49 darab ember.

Úgy tűnik, hogy 560-an indultak a futóversenyen.

Egy másik futóversenyen a versenyzők 85%-a nem jut tovább az első fordulón. Akik továbbjutnak, közülük a 8% jut be a döntőbe. Hányan indultak a versenyen, ha a döntőben 12-en versenyeztek?

A versenyzők 85%-a nem jut tovább…
De a világ a győzteseké…

És közülük 8% jut be a döntőbe…

Azt nem tudjuk, hogy mennyibe került a lakás eredetileg…
Sőt azt se, hogy mennyibe került három évvel később.

És ezeket soha nem is fogjuk megtudni.

A kérdés nem is erről szól, hanem arról, hogy hány százalék volt a változás.

Az első évben a változás 7%-os növekedés:

 
A második évben a változás 5%-os növekedés:
És a harmadik évben 2%-os csökkenés:
 

A változás a három év alatt ezeknek a szorzata:
 

A lakás ára 10,103%-kal nőtt.

Az ÁFA úgy működik, hogy van egy eredeti ár, amennyibe az autó, vagy bármilyen termék kerül, és amikor eladják, az állam is akar a haszonból.

Az eredeti árat nettó árnak nevezzük, ez most a 20 ezer dollár.
Ennyibe kerülne az autó, ha az állam nem követelné a vásárlás után a neki járó jussát.

A nettó árból úgy lesz bruttó ár, hogy a vásárlás után az állam is kéri a maga százalékát.