8. feladat: Koordináták

Egy moziban 192 szék van.

Hogyha beszámozzuk őket 1-től 192-ig, akkor a nézők elég nehezen találják meg az ülőhelyüket.

Hol keressük például a 114-es széket?
Valahol itt?

Vagy esetleg itt?

Ez így nagyon bonyolult…

Erre már a mozik is rájöttek, és kitaláltak valamit…

Minden sorban beszámozták a székeket 1-től 16-ig…

És aztán magukat a sorokat is beszámozták.

Így már elég könnyen megtaláljuk például az 5. sor és 7. széket…

Itt lépkedünk 6-ot…
És aztán erre 8-at.

És meg is van.

A matematikában ezt úgy hívjuk, hogy koordináta.

Adjuk meg például Bob koordinátáit…

Aki éppen itt ül.

Az első koordináta mindig az lesz, hogy hányadik sor…
A második koordináta, pedig a szék.

Ezek lesznek Bob koordinátái.

Hogyha most Bob átül ide…

Akkor nagyon könnyű megtalálni.
Erre lépünk 7-et…
Erre pedig 13-at…
És meg is van.

A dolog nem csak mozira működik…

Tegyünk ide egy számegyenest…
Meg ide is…

Ezt úgy hívjuk, hogy koordinátarendszer.

És a székek nem is kellenek…

A koordinátarendszerben minden pont egyértelműen megadható koordinátákkal.

Ez a P pont például…
Így adható meg:

A dolog fordítva is működik.

Itt van ez a Q pont:

És a koordinátái alapján egyértelműen berajzolható a koordinátarendszerbe.

Ezeknek a vonalaknak a metszéspontjában lesz a Q pont.

Rajzoljuk be ezeket a pontokat is a koordinátarendszerbe:

Hát, ez kész is.

De az izgalmak még csak most jönnek…
 

Ez itt egy koordinátarendszer.

Úgy készült, hogy vettünk egy számegyenest…
Meg ezt az előzőre merőleges másik számegyenest…

Aztán a nulla-pontjaiknál összeraktuk őket.

Léteznek olyan koordinátarendszerek is, ahol a tengelyek nem merőlegesek egymásra…

De most maradjunk inkább a merőleges verziónál.

Ezt derékszögű koordinátarendszernek nevezzük.

Van egy másik neve is: Descartes-féle koordinátarendszer.

Descartes egy ember volt, ő használta először a derékszögű koordinátarendszert.

Ezt a pontot, amely mindkét számegyenes nulla-pontja úgy hívjuk, hogy origó.

Az origó koordinátái:
 
 

A vízszintes tengelyt x tengelynek nevezzük.

A függőleges tengelyt pedig y-nak.

Hogyha itt van egy P pont a koordinátarendszerben…

Akkor az első koordinátája az x-koordináta…
És a második pedig az y.

x tengelynek nevezzük.

A dolog fordítva is működik…

Hogyha ismerjük egy pont koordinátáit:

Akkor a koordináták alapján pontosan meg tudjuk mondani, hogy hol van ez a pont.

És most itt jön egy nagyon fontos dolog…

Az x tengelyen lévő pontoknak van egy közös tulajdonsága.

Mindegyik ilyen pontnak a második koordinátája nulla.

És az y tengelyen lévő pontokban is van valami közös.

Ezeknek meg az első koordinátája nulla.

És ez a pont, amelyik mindkét tengelyen rajta van…
Ezt a pontot úgy hívjuk, hogy origó.

A koordinátatengelyek négy részre osztják a síkot.

Ezeket síknegyedeknek nevezzük.

Itt az első síknegyed…
Ez a második…
Itt van a harmadik…
Végül ez a negyedik.

Az első síknegyedben a pontok minkét koordinátája pozitív.

A második síknegyedben az első koordináta negatív, a második pozitív.

A harmadik síknegyedben mindkét koordináta negatív.

A negyedik síknegyedben pedig az első koordináta pozitív, de a második negatív.

És most lássuk, mik lehetnek ezeknek a pontoknak a koordinátái.

Kezdjük az A ponttal.

A pontok koordinátáit leolvasni nagyon egyszerű…

Húzunk egy párhuzamost az A ponton keresztül az y tengellyel…
És meg is van az x koordináta.

Hogyha az x tengellyel húzunk az A ponton keresztül egy egyenest…
Akkor pedig az y koordinátát kapjuk meg.

Aztán a C pont egy kicsit trükkös…
Az x tengellyel tudunk párhuzamost húzni…
És így az y koordinátát kapjuk meg.

Az x koordináta pedig…
Na igen, az nulla.

Hasonló a trükk a D-nél is.

Végül itt jön még az E és az F.

Ilyen egyszerű az egész…