1. feladat: Negatív számok, abszolútérték, számegyenes

És a számokra különböző jeleket találtak ki…
 
Az 1, 2, 3 stb. számokat természetes számoknak nevezzük.

Ezek a számok fordulnak elő körülöttünk a természetben.

TERMÉSZETES SZÁMOK
 
Aztán olyan számokra is szükség lett, amelyek arányokat fejeznek ki.

Ezek már nem természetes számok.
Mint ahogy a bárányok életének sem ez a természetes állapota.

nak  legalábbis 
Ezzel megjelentek a törtek.
 

A törteket és a természetes számokat így egyben racionális számoknak nevezzük.
RACIONÁLIS SZÁMOK

A nullát egészen hosszú ideig nem tekintették számnak.
A római számokban például nincs is olyan jel, ami a nullát írja le.

A negatív számokat pedig az európai matematikusok egyenesen az ördög művének gondolták…

Még az 1700-as években is úgy gondolták, hogy nem létezhetnek olyan számok, amelyek negatívak.
És ezeket már a bárányok is kevésbé kedvelik…

Aztán szép lassan mégis elfogadták a létezésüket.

A nulla nem is negatív és nem is pozitív szám.

És sokáig nem is tartották természetes számnak.
De már igen.

A természetes számokat és a negatív számokat együttesen egész számoknak hívjuk.

Itt van például a 3.
A 3 természetes szám, egész szám és racionális szám is.

A -4 nem természetes szám, de egész szám és racionális szám.

És a 3/4 nem is természetes szám, nem is egész szám, de racionális.

Most pedig számoljunk egy kicsit.

Van itt ez a lift…
Amivel lazán megérthetjük a negatív számok működését.

Ha fölfelé megyünk a lifttel, az pozitív…
Lefelé pedig negatív.
Ez például azt jelenti:
 

Hogy a 2. emelten vagyunk, és fölmegyünk még 3-at.
Az eredmény nyilván 5.

Hogyha most lemegyünk két emeletet…
 
Akkor a harmadikra érkezünk.

Menjünk le most 7 emeletet.
 

Ez eddig nagyon könnyű.

Nézzünk valami nehezebbet.
Számoljuk ki ezt:
 

A másodikról indulunk…
Először lemegyünk 5 emeletet.
Aztán fölmegyünk hatot…

Utána még egyet…

És végül le négyet.
Kész is.

Most nézzük, hogyan tudnánk összezavarni a liftet…

Itt van például ez:
 
Az első emeletről indulunk…

És látszólag lefele megyünk…
Csak éppen negatívat megyünk lefelé.

Hát, ezzel teljesen megzavarjuk a lift működését.
.
A megoldás pedig…

Huh, ez meg is van.
Itt jön egy másik is:

A harmadikról indulunk…
És úgy néz ki, hogy fölfelé…
Ja, nem.

Készítsünk ebből egy kis összefoglalót.

Amikor csak az egyik mínusz:
Az mindig mínusznak számít.

És ha mindkettő plusz:
Az plusz.

Írjuk is föl magunknak ide.
Az eőjel-szabály:

Végül számoljuk ki ezeket… most már liftek nélkül.

Amikor összeadás és kivonás van, egy számegyenes mindig jól jön…
A szorzáshoz meg itt van ez.
Egy utolsó talán még nem árthat meg:

Ez itt egy számegyenes.
És itt vannak rajta a számok.

Mindegyik számot egy pötty jelöli.

És azt, hogy egy szám mekkora, a nullától való távolsága mutatja meg.

Ez itt például nyolc.
Ez pedig mínusz nyolc.

A pozitív számokba jobbra mutat a nyíl…
A negatív számokba pedig balra.

Hogyha itt van például ez:
 

Akkor ez az öt…
Ez pedig a kilenc.

Így néz ki, amikor az öthöz hozzáadjuk a kilencet...
És ez pedig, amikor levonjuk.

Az eredmény mínusz négy.

Nézzünk meg még egyet:

Ez itt a mínusz hét…
Ez pedig a négy.

És, ha összeadjuk őket…

Hát, ez eddig nem túl izgalmas…
Nézzük, mit tudnak még ezek a számegyenesek.

Itt egy számegyenes ezzel a két számmal.

Milyen számokat jelölnek a sárga pöttyök?

Az ilyen feladatok megoldásához mindig a számegyenes skálázását kell kideríteni…
Az meg mi?
A skálázás azt jelenti, hogy hányasával vannak ezek a vonalak.

Nézzük meg mi a helyzet most…
A 20 és a 25 egymás utáni vonalak.
A kettő közti távolság éppen öt.

Vagyis a vonalak ötösével vannak.

Kezdjünk el számolni…

Most menjünk lefelé…
Meg is vagyunk.

Ez a módszer egy kicsit azért lassú volt…

Jó lenne valahogyan felpörgetni a dolgot.

Nézzünk meg egy gyorsabb módszert is.

Simán csak megszámoljuk, hogy hányat kell ugrani a sárga pöttyig…
Négy darab ugrás kell…

És ötösével ugrunk.

 
És 25 plusz 20 az valóban 45.

A dolog lefelé is működik…

Öt darab ugrás van.
 

Nézzünk meg még egyet…

Itt egy másik számegyenes ezzel a két számmal.

Milyen számokat jelölnek a sárga pöttyök?

Végül itt jön még egy számegyenes két számmal.
 
 

Egy szám ellentettje azt jelenti, hogy kicseréljük az előjelét.
Ha kezdetben pozitív volt…
Akkor az ellentettje negatív lesz.

Hogyha pedig negatív volt…
Akkor az ellentettje pozitív lesz.

A nyolc és a mínusz nyolc tehát egymás ellentettje.

Vagy éppen az ötnek az ellentettje…
A mínusz öt.

És a mínusz ötnek az ellentettje…
A tizenhárom…
Dehogyis, hát persze, hogy az öt.

És most egy másik őrülten izgalmas dolog következik.

Egy szám abszolútértéke.

Az abszolútérték egy nagyon egyszerű fogalom.

Egy szám abszolútértéke a nullától való távolságát jelenti.

És az abszolútérték jele két függőleges vonal.

A mínusz öt abszolútértéke:

És az öt abszolútértéke:

Egy szám abszolútértéke:
 – ha a szám nem negatív, akkor önmaga
 – ha negatív, akkor az ellentettje

És most valami hihetetlenül izgalmas dolgot fogunk csinálni…
Kitöltjük ezt a táblázatot: