1. feladat: Helyiértékes számírás, római számok

És a számokra különböző jeleket találtak ki…

Az 1-et általában egy vonal jelentette…
 A 2-t pedig két vonal.

És 3-at…

Őrület, a 3-at három vonal.
De ezt így sokáig már nem lehetett folytatni.

Képzeljük el, mi lenne, ha a huszonhármat így jelölnénk…

Hopszi, le is maradt két vonal…
Föl sem tűnt ugye?

Még megszámolni sincs kedvünk ezeket a vonalakat, nemhogy számításokat végezni vele.

A rómaiak egy egészen jól használható jelrendszert találtak ki a számokra.

A 4-et még négy vonallal jelölték…
De az 5-re már külön jelet fejlesztettek ki.

Aztán a 6 úgy lesz, hogy 5 meg 1…
A 7 pedig 5 meg 2.

És így szépen eljutunk 9-ig.
Itt jön a rómaiak újabb zseniális ötlete.
A 10-re megint új jelet használtak.

És még bevezettek egy cselt.
Észrevették, hogy az 5-ös és a 10-es előtti számokat már nehéz átlátni.

Így hát megváltoztatták a jelölést.
Ez a vonal a V előtt azt jelenti, hogy az 1-et nem hozzáadni kell az 5-höz, hanem levonni.

És ugyanez van itt is.
10-től 20-ig így már vidáman el tudtak számolni a rómaiak…
Sőt tovább…

De azért, ha így hirtelen meg kéne mondani, hogy ez mennyi…

Hát ige, azért egy kis idő kell hozzá, hogy elemezzük.

Így aztán az emberiség előbb-utóbb lekukázták a római számokat.

Kitaláltak a római számok helyett valami sokkal jobbat.

És mindjárt látni fogjuk a titkot, amitől ez tényleg sokkal jobb a római számoknál.

De ehhez kellett még valami, ami nem volt a rómaiaknál…
Megjelenik a nulla.

És most…
Itt jön a hatalmas trükk…

Nézzük meg még egyszer?
Végülis miért ne…

Bummm…

A trükk az, hogy újrahasznosítjuk a számjegyeket.
Vagyis a 10-re nem használunk új jelet, hanem a korábbi 1-esből és 0-ból rakjuk össze.

És aztán szép sorban megyünk tovább.
Aki nem egy barlangban élt eddig, ezt már annyira megszokta, hogy föl sem tűnik.

De ettől ez még egy hatalmas ötlet.

A rómaiak ott akadtak el, hogy náluk a jelek mindig ugyanazokat a számokat jelentették…

Ez volt a rómaiaknál az 1-es:

De az már nem jutott eszükbe, hogy ez a jel a 11 legyen és ne a 2:

A rómaiak minden számot egyesével építettek föl.
Mintha építőkockákat használtak volna.

Hogyha le akarták írni mondjuk azt a számot, hogy 17…
Akkor ezt úgy rakták össze, mint egy kirakót:

És így bizony elég nehéz összerakni mondjuk azt a számot, hogy 1526…
Túl sok építőkocka kell hozzá.

Ebben az új rendszerben viszont 0-tól 9-ig minden számra különböző jeleket használunk…
És aztán ezekkel a számjegyekkel már akármilyen nagy számot le lehet írni.

Ezt hívjuk helyiértékes számírásnak.

Amikor itt van ez a két darab 1-es…
Akkor itt a két egyes nem ugyanazt jelenti.

Mert az egyik 1-es valójában 10-et jelent.

És ezzel eljutottunk a helyiértékes számírás lényegéhez.

Ez a szám, hogy 1562…
Valójában ezt jelenti.

Ezeket hívjuk helyiértékeknek.

Helyiérték-táblázat:

Ez a szám, hogy 1526 négy darab számjegyből áll.
Magukat a számjegyeket úgy hívjuk, hogy alaki érték.

Az alaki értékek az 1, az 5, a 2 és a 6.

De ezek a számok nem ugyanannyit érnek, hiszen az 5 például 500-at jelent, a 2 meg csak 20-at.

Így kapjuk meg az alaki értékből a valódi értéket…
 

A rómaiak még minden számot egyesével építettek föl.
Mintha építőkockákat használtak volna.

Hogyha le akarták írni mondjuk azt a számot, hogy 38…
Akkor ezt úgy rakták össze, mint egy kirakót:
Huh, még épp kifért…

Mostanában egy kicsit egyszerűbben oldjuk meg ezt a problémát…
Csak veszünk egy 3-ast meg egy 8-ast…

És kész is.

Ez a helyiértékes számírás lényege.

A kirakó darabjait nyugodtan ki is dobhatjuk.
A 38-hoz nincs szükség ezekre.

Csak a 10 darab számjegyre van szükség…

És még annyit kell tudnunk, hogy milyen helyiértéken szerepelnek.

Hogyha itt van például ez a szám, hogy
 

Akkor ebben az egyik 5-ös nem ugyanazt jelenti, mint a másik.
Azt, hogy melyik 5-ös mit jelent, nagyon könnyű eldönteni…
Egyszerűen csak megnézzük, hogy hányadik helyen áll.

Ezt hívjuk helyiértéknek.

Magukat a számjegyeket úgy hívjuk, hogy alaki érték.

De ezek a számjegyek nem ugyanannyit érnek, hiszen az egyik 5-ös 500, a másik meg csak 5.

És így jutunk el a valódi értékhez.

A valódi érték a számjegyek tényleges értékét adja meg.

A rómaiak rengeteget bajlódtak az 1000-nél nagyobb számok írásával.

És 3999-nél fel is adták a dolgot.
Az 4000-et már nem voltak képesek leírni.

A helyiértékes számírásnál viszont csak a végtelen a határ.

A Jupitert például már a rómaiak is ismerték…
De azt nem tudták, hogy az átlagos távolsága a Naptól 778412027 kilométer.

Mondjuk úgysem tudták volna leírni…

Bővítenünk kell egy kicsit a helyiérték-táblázatunkat…

Eddig ezernél járunk…

Aztán jön a tízezer.

Aztán a százezer…

De ez a szám még ennél is nagyobb…

Azért, hogy könnyebb legyen átlátni a helyiértékeket, a számjegyeket hármasával csoportosítjuk.

Így kiderül, hogy idáig százezer…

Aztán jön a millió…

A tízmillió…
És a százmillió.

Meg is vagyunk.

 
csoportokat hozunk létre.

És a Szaturnusz még messzebb van…

És színre lép a milliárd…

A milliárd a milliónak az ezerszerese.
Vagyis ezer millió éppen egy milliárd. 

A Szaturnusz távolsága…

Itt van ez a szám:
 

Rendezzük hármas csoportokba a számjegyeit, és adjuk meg a számjegyek alaki értékét és valódi értékét.

A hármas csoportokhoz mindig hátulról kezdjük el számolgatni a számjegyeket.
És hármasával tegyünk egy pontot.

Szuper, így már látszanak is a hármas csoportok…

Most betesszük ide a helyiérték-táblázatba…
 

A rómaiak nem gondolkodtak túl sokat a számokon…
Az 1-et egy vonal jelentette náluk…
A 2-t két vonal…
És a 3-at három vonal.

Hamarosan ők is rájöttek, hogy egy idő után le kell állni ezzel, mert 10-et már nem lehet tíz vonallal jelölni…
Így hát kénytelenek voltak újabb jeleket is kitalálni.

A 30-cal kezdődő számok három darab X-el indultak…
Aztán jönnek a 40-nel kezdődők…

És az 50-nel kezdődők…

Az 50-re megint egy újabb jelet találtak ki a rómaiak.
Egy L betűt.

És ahogyan a 4-et is úgy jelölik, hogy IV…
A 40-et is inkább így írjuk, hogy XL.

És így már el tudtak számolni egészen 89-ig.
Közben pedig jegyezzünk meg egy fontos szabályt.

A római számok úgy működnek, hogy sosem lehet ugyanabból a jelből egymás után háromnál több.
És ahogy egyre nagyobb számokat akarunk felírni, egyre több újabb elem kell.

Külön jel kell a 100-ra…
Aztán az 500-ra…

Készítsünk egy listát…

És most írjunk át néhány számot római számra...

Ha a 4-et úgy kell írni, hogy IV, mert 5 mínusz 1…
Akkor logikus lenne a 49-re az, hogy IL mert 50 mínusz 1.

De a 49-et nem így írjuk.

Újabb szabály.

Ez a kivonósdi csak az egymás utáni jelekre használható.
 

És most fordítsuk meg. Írjuk át a római számokat arab számokra.