Felsős matek (teljes)

Egy számban maguk a számjegyek másnéven az alaki értékek.

Egy szám helyiértékeit a helyiérték-táblázatának felírásával kapjuk meg. Ezek lehetnek egyesek, tizesek, százasok, ezresek, stb.

Egy szám valódi értékét az alaki értéke és helyiértéke határozza meg. Az alaki és helyiértékeket össze kell szorozni, aztán összeadni.

A helyiértékes számíráshoz számjegyeket (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) és helyiértékeket (egyes, tizes, százas, ezres, ...) használunk. A kettő együttes alkalmazásával lehet megérteni, hogy mekkora is egy szám valódi nagysága. A helyiértékes számírás nagy előnye, hogy elég véges sok számjegy (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) bármekkora szám felírásához.

A hármas csoportosítás vagy másnéven ezres tagolás lényege, hogy a nagyobb számok is könnyen kiolvashatóak legyenek. Ha egy számot így akarsz felírni, akkor jobbról kezdve kell hármasával csoportosítani a számjegyeit.

A számegyenes a számok nullától való távolságát mutatja meg.

A számegyenes mindig jobbra fele növekszik, tehát jobbra fele egyre nagyobb számok lesznek rajta, ezt egy jobbra mutató nyíllal jelöljük a végén.

Így a nullától balra a negatív számok, jobbra a pozitív számok vannak.

Egy szám ellentettje azt jelenti, hogy kicseréljük az előjelét.

Ha kezdetben pozitív volt, akkor negatív lesz.

Hogyha pedig negatív volt, akkor pozitív lesz.

A 0 ellentettje pedig 0 marad.

Egy szám abszolútértéke a nullától való távolságát jelenti. A jele két függőleges vonal.

Az abszolútértéket úgy is meg lehet jegyezni, hogy lényegében a következőt csinálja mindig:

- ha a szám nemnegatív (0 vagy pozitív), akkor az abszolútértéke önmaga lesz

- ha a szám negatív, akkor az abszolútértéke az ellentettje lesz

Még egyszerűbben, ha negatív előjelet látsz, azt le kell vágni, különben nem kell csinálni semmit.

A rómaiak minden számot úgy építettek föl, mintha építőkockákat használtak volna. Az építőkockáik az I, V, X, L, C, D, M betűkkel jelölték, amelyek 1-et, 5-öt, 10-et, 50-et, 100-at és 1000-et jelentenek.

A zárójel egy fontos matematikai szimbólum, ami a műveleteknél a műveletek sorrendjét befolyásolja. A zárójelben szereplő műveleteket mindig előbb kell elvégezni, mint a többi műveletet.

Ha több művelet szerepel egymás mellett, akkor a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk őket.

A műveleti sorrendben a zárójel az első.

Ezt követik a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.

Az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.

A hatványozás a szám önmagával vett szorzatait rövidíti.

Ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor a kitevők összeadódnak.

Ha azonos alapú hatványokat osztunk, akkor a kitevők kivonódnak.

Hatvány hatványa a kitevők szorzata.

Minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.

Egy nem nulla szám negatív egész kitevőjű hatványát úgy számolhatjuk ki, hogy a reciprokát a kitevő ellentettjére emeljük.

A tizes számrendszerbe való átváltás lépései.

A kettes számrendszerbe átváltáshoz elkezdjük a számot 2-vel maradékosan osztogatni, amíg már csak a 0 marad.

Halmazokat úgy kapunk, hogy valamilyen elemeket különböző tulajdonságaik szerint csoportosítunk.

Azt a halmazt, amiben egyetlen elem sincs, üreshalmaznak nevezzük.

Két halmaz metszete azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak.

Két halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak.

Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem.

Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

Az együttható a betűs kifejezés előtt álló szám.

Az algebrai kifejezésekben a betűket változóknak nevezzük.

A betűs kifejezéseket nevezzük algebrai kifejezéseknek.

Az önmagában álló számokat nevezzük konstansnak.

Egynemű kifejezések azok a betűs kifejezések, amik csak az együtthatójukban különböznek.

Az egynemű kifejezések mindig összevonhatóak.

A kiemelés a zárójelfelbontás megfordítása.

Törtek és algebrai törtek egyszerűsítésének módszerei.

Ha a törtekből nem lett volna elég, itt jönnek az algebrai törtek.

Ha a szorzás mindkét tényezője többtagú, akkor az első tényező első tagjával szorozzuk végig a másik tényező tagjait, majd pedig folytatjuk az első tényező második tagjával.

A helyettesítési érték azt jelenti, hogy a betűs kifejezés helyére írjuk be a behelyettesítendő értéket.

A hatványozás a szám önmagával vett szorzatait rövidíti.

Ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor a kitevők összeadódnak.

Ha azonos alapú hatványokat osztunk, akkor a kitevők kivonódnak.

Hatvány hatványa a kitevők szorzata.

Minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.

Egy nem nulla szám negatív egész kitevőjű hatványát úgy számolhatjuk ki, hogy a reciprokát a kitevő ellentettjére emeljük.

Ha egy szorzat mindkét tényezője ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

Ha egy törtnek a számlálója és nevezője is ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

A túl nagy vagy éppen túl pici számok leírására találták ki a normálalakot.

A százalékalap az a szám, amihez a százalékszámítás során viszonyítunk. Ez jelenti mindig a 100%-ot. Ha például egy osztályba 20 gyerek jár és közülük 8 lány, 12 fiú, akkor a 20 gyerek lesz a 100%, aminek valahány százaléka lány és valahány százaléka fiú. 

A százalékláb a százalékszámításos feladatban a százalék. Ennyi százalékát kell kiszámítani a százalékalapnak.

A százalékérték a százalékalap és a százalékláb szorzata, tehát a végeredmény.

A százalékértéket megkapjuk úgy, hogy a százalékalapot és a százaléklábat összeszorozzuk.

A százalékalap a százalérték és a százalékláb hányadosa.

A százalékláb a százalékérték és a százalékalap hányadosa.

Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.

A mérleg elv lényege, hogy amikor megoldunk egy egyenletet, az egyenlőségjel mindkét oldalán ugyanazokat a műveleteket kell elvégeznünk. Az egyenlet mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadhatjuk, vagy az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a számot kivonhatjuk. És az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nem nulla számmal megszorozhatjuk, vagy mindkét oldalt ugyanazzal a nem nulla számmal eloszthatjuk.

Elsőfokú egyenletek megoldása a mérlegelv segítségével.

Ha törtet látunk az egyenletben, akkor az az első lépés, hogy megszabadulunk attól, mégpedig úgy, hogy beszorzunk a nevezővel

Két mennyiség akkor egyenesen arányos, hogyha az egyiket valahányszorosára változtatjuk, akkor a másik is ugyanennyiszeresére változik.

Tipikus példa egy vonatjegy ára és a megtett távolság. Hogyha például a jegy 0,4 euróba kerül kilométerenként, akkor 1 kilométer 0,4 euró, 2 kilométer kétszer annyi, vagyis 0,8 euró, 3 kilométer háromszor annyi, vagyis 1,2 euró és így tovább. Egy másik tipikus példa a munkavégzéses feladatok. Ha például egy teherautó 400 tonna földet tud elszállítani, akkor két ugyanolyan teherautó kétszer annyit, vagyis 800 tonnát, három teherautó 1200 tonnát, és így tovább.

Két mennyiség akkor fordítottan arányos, hogyha az egyiket valahányszorosára változtatjuk, akkor a másik ugyanennyied részére változik.

Tipikus példa fordított arányosságra a munkavégzéssel kapcsolatos kérdések. Ha egy adott munkát egy gép 12 óra alatt tud megcsinálni, akkor két ugyanolyan géppel 6 óra alatt lehet végezni, három egyforma géppel pedig 4 óra alatt. Vagyis a 12-t osztjuk a gépek számával. Egy másik tipikus példa, hogy egy rakományt 10 fordulóval tudnak teherautóval elszállítani. Ha két teherautót használunk akkor 10/2=5 forduló kell, és így tovább.

A mértékegységátváltásokat úgy a legkönyebb megjegyezni, ha az előtag neveket jegyezzük meg, mint deci, centi, milli, stb.

Négyzetméter, négyzetdeciméter, négyzetcentiméter, négyzetmilliméter...

köbméter, köbdeciméter, köbcentiméter, köbmilliméter...

A mágikus átváltás liter és köbdeciméter között.

Hét, nap, óra, perc, másodperc átváltásai.

Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.

Két pont közti részt szakasznak nevezzük.

Ha egy síkot egy egyenessel kettévágunk, akkor két félsík keletkezik.

Ha a teret egy síkkal két részre vágjuk, akkor két féltér keletkezik.

Két félegyenes által közrezárt belső tartományokat szögnek nevezzük.

A szög csúcsa a két félegyenes metszéspontja, a szög szárai pedig a félegyenesek. A belső részt szögtartománynak is nevezzük.

Ha egy szög 0° és 90° közé esik, akkor hegyesszögnek nevezzük.

Ha egy szög pontsoan $90°$-os, akkor derékszögnek is nevezzük.

Ha egy szög $90°$ és $180°$ közé esik, akkor tompaszögnek nevezzük.

Ha egy szög pontosan $180°$-os, akkor egyenesszögnek is nevezzük.

Ha egy szög $180°$ és $360°$ közé esik, akkor homorúszögnek nevezzük.

Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.

Pont és egyenes távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk az egyenesre.

A távolság pedig ennek a szakasznak a hossza.

Pont és sík távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk a síkra.

A pont és sík távolsága pedig ennek a szakasznak a hossza.

Ha a két egyenes metszi egymást, akkor a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.

Ha a két egyenes egymással párhuzamos, akkor a távolságukat úgy kapjuk meg, hogy az egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.

És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.

Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.

Ha a két sík metszi egymást, olyankor egy egyenesben metszik egymást és a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.

Ha a két sík párhuzamos, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk meg, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot, a pontbl merőlegest állítunk a síkra, és a távolságuk ennek a szakasznak a hossza.

Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza.

Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak és egyforma irányúak is, akkor ezeket a szögeket egyállású szögeknek nevezzük.

Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak, de irányuk ellentétes, akkor ezeket a szögeket váltószögeknek nevezzük.

Ha két váltószöget a csúcsuknál összeillesztünk, akkor ezeket a szögeket csúcsszögeknek nevezzük.

Ha két szög szárai párhuzamosak és az egyik száruk közös, akkor ezeket a szögeket kiegészítő szögnek nevezzük.

Ha két szög 90 fokra egészíti ki egymást, akkor pótszögeknek hívjuk őket.

Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.

Azokat a síkidomokat, amelyek határoló vonalai csak egyenes szakaszok, sokszögeknek nevezzük.

A konkáv síkidom az, amelyikben el lehet bújni.

A konvex síkidom az, amelyikbe nem lehet elbújni.

Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.

Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Ezeket az egyenes szakaszokat nevezzük a sokszög oldalainak. 

Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakasz alkotta zárt görbe határol. Ezeket a szakaszokat oldalaknak, vagy másként oldaléleknek nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az oldalélek találkoznak, a sokszög csúcsainak hívjuk.

A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat a sokszög átlójának nevezzük.

Az egyenlőszárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal.

Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).

Azok a háromszögek, amelyeknek van 90°-os szöge.

A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög.

A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge.

A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.

A magasságvonal a háromszög egy csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges. A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.

A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Ezek metszéspontja a súlypont.

A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelezőmerőlegesei metszéspontja. Hogyan lehet megszerkeszteni egy háromszög köré írható körét

A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög köré írható körének középpontja.

Ha egy háromszög oldalfelezőpontjait összekötjük, akkor a háromszög középvonalait kapjuk.

A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög.

Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.

Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.

A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok.

A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

A deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely. 

A kerület az alakzatot körülvevő vonal hossza. Ha azalkat egy sokszög, akkor a kerület az oldalai hosszának összege.

A kerületet K-val jelöljük.

A területet úgy képzelhetjük el legegyszerűbben, hogy hány db. 1x1-es négyzettel fedhető le egy alakzat.

Ahány 1x1-es négyzettel lefedhető, annyi a területe.

A területet T betűvel jelöljük.

Képlet téglatest térfogatára és felszínére.

Képlet kocka térfogatára és felszínére.

Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.

A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.

Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.

A kocka térfogata az oldalélének köbe.

Kocka felszíne az oldallapjai területének összege.

A tengelyes tükrözés során egy egyenesre tükrözünk, amit tengelynek nevezünk.

Egy alakzatot vagy sokszögek tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek a hatására a tükörképe önmaga.

Hogyan kell megszerkeszteni egy alakzat középpontosan tükrözött képét, és mik a középpontos tükrözés tulajdonságai.

Egy alakzat vagy sokszög akkor középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga lesz.

A módusz a leggyakoribb érték.

A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

A törteket és az egész számokat így egyben racionális számoknak nevezzük.

Az irracionális számok nagyon rondák, végtelen hosszúak és nem ismétlődőek.

A racionális és irracionális számok együttesét valós számoknak nevezzük.

A negatív, a pozitív egészek és a nulla alkotja az egész számok halmazát.

A derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

A Pitagorasz-tétel megfordításával el lehet dönteni, hogy egy háromszög derékszögű-e.

A Pitagoraszi számhármasok olyan számok, amelyekre teljesül a Pitagorasz-tétel.