- Helyiértékes számírás, egész számok, negatív számok, római számok
- Műveletek és a műveleti sorrend
- Sorbarendezéses feladatok, kombinatorika
- Számrendszerek és a hatványozás alapjai
- Halmazok
- Írásbeli összeadás, kivonás, szorzás, osztás
- Törtek
- Tizedes törtek
- Betűs kifejezések: az algebra
- Hatványozás, a hatványozás azonosságai, normálalak
- Százalékszámítás
- Nyitott mondatok
- Egyenletek megoldása, a mérleg-elv
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Szöveges feladatok (könnyebb feladatok)
- Szöveges feladatok (nehezebb feladatok)
- Függvények, hozzárendelések és grafikonok
- Mértékegységek, mértékegységek átváltása
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Sokszögek, konvex/konkáv, átlók, szögek
- Kerület és terület
- Téglalapok és négyzetek
- Háromszögek, háromszögek területe
- Négyszögek, négyszögek területe
- A kör
- Testek térfogata és felszíne
- Hasábok felszíne és térfogata
- Gúlák térfogata és felszíne
- Tükrözések, forgatások, egybevágósági transzformációk
- Koordinátarendszer, pontok koordinátái
- Szerkesztések, vonalzó, körző, szögmérő
- Háromszögek nevezetes pontjainak szerkesztése
- Tengelyesen vagy középpontosan szimmetrikus alakzatok szerkesztése
- Oszthatóság, LNKO, LKKT, prímszámok
- Adatgyűjtés, grafikonok, diagramok, statisztika
- Gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség
- Lineáris függvények ábrázolása
- A négyzetgyök és az irracionális számok
- A Pitagorasz-tétel
Háromszögek, háromszögek területe
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Egyenlő szárú háromszög
Az egyenlő szárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal, amiket szárnak nevezünk. És hát van ugye a harmadik oldal, ez az alap.
Annyit érdemes megjegyezni róla, hogy az alaphoz tartozó súlyvonal, magasságvonal, oldalfelező merőleges és szögfelező mind egybeesik. És ez egyúttal a háromszög szimmetriatengelye is.
És azt is jó tudni róla, hogy az alapon fekvő szögek egyformák.
Szabályos háromszög
Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).
Szabályos háromszögben a körülírt kör középpontja, a magasságpont és a súlypont is egybeesnek.
Derékszögű háromszög
Derékszögű háromszögnek van $90°$-os szöge.
A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük, a másik kettőt pedig befogónak.
Hegyesszögű háromszög
A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög, azaz $0°$-nál nagyobbak, de $90°$-nál kisebbek.
Tompaszögű háromszögek
A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge, azaz egy olyan szöge, ami $90°$-nál nagyobb, de $180°$-nál kisebb.
Háromszög egyenlőtlenség
A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
$a+b>c \qquad a+c>b \qquad b+c>a$
Háromszög magasságvonala és a magasságpont
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot magasságpontnak nevezzük.
Ha a háromszög tompaszögű, akkor a magasságpont a háromszögön kívülre esik.
Háromszög súlyvonala és a súlypont
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja.
Továbbá a súlyvonal felezi a háromszög területét.
Háromszög köré írható kör
A háromszög oldalfelezőmerőlegesei mindig egy pontban metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és emiatt a háromszög köré írható kör középpontja.
Háromszögbe írható kör
A háromszög belső szögfelezői mindig egy pontban metszik egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Háromszög középvonala
Ha egy háromszög oldalfelezőpontjait összekötjük, akkor a háromszög középvonalait kapjuk.
A középvonalak párhuzamosak a háromszög oldalaival és éppen fele olyan hosszúak.
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Egy háromszög két szöge 65° és 54°. Mekkora a hiányzó harmadik szöge? Mekkorák a külső szögei?
b) Egy háromszög két szöge 62° és 56°. Mekkora a hiányzó harmadik szöge? Mekkorák a külső szögei?
c) Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei 65°-osak. Mekkora a szárak által közbezárt szög?
d) Egy másik egyenlő szárú háromszögben a szárak által bezárt szög 48°. Mekkorák az alapon fekvő szögei?
e) Egy egyenlőszárú háromszögben a szárszög 15°-kal kisebb, mint az alapon fekvő szögek. Mekkorák a szögei?
f) Egy másik egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szögek kétszer akkorák, mint a szárszög. Mekkorák a szögei?
g) Egy egyenlőszárú háromszög egyik szöge 48°. Mekkora lehet a másik két szöge?
Döntsük el, hogy szerkeszthető-e háromszög ezekkel az oldalakkal:
a) $a=5 \; cm, \; b=7 \; cm, \; c=2 \; cm$.
b) $a=4 \; dm, \; b=5 \; dm, \; c=10 \; dm$.
c) $a=8 \; cm, \; b=4 \; cm, \; c=5 \; cm$.
a) Mit nevezünk a háromszög magasságvonalának, súlyvonalának?
b) Milyen arányban osztja a súlypont a súlyvonalakat?
c) Mit nevezünk a háromszög középvonalának?
d) Mi a háromszög köré és a háromszögbe írható kör középpontja?
a) Egy háromszög egyik oldala $10\; cm$, a hozzá tartozó magasság $6\; cm$. Mekkora a háromszög területe?
b) Egy háromszög területe $42 \; cm^2$ és az egyik oldalhoz tartozó magasság $6\; cm$. Mekkora ez az oldal?
c) Itt jön egy újabb háromszög, aminek egyik oldala $8 \; cm$, a háromszög területe $56 \;cm^2$. Mekkora az oldalhoz tartozó magasság?
d) Egy háromszög egyik oldala $84 \; cm$, a hozzá tartozó magasság $5\; dm$. Hány $dm^2$ a háromszög területe?
e) Egy háromszög területe $50\; cm^2$ és az egyik oldalhoz tartozó magassága $50 \; mm$. Hány cm ez az oldal?
f) Egy háromszög egyik oldala $1,5 \; m$, a háromszög területe $30 \; dm^2$. Hány dm az oldalhoz tartozó magasság?
a) Mekkora a háromszög területe, ha az egyik oldala $16\; cm$ és a hozzá tartozó magassága $9\; cm$?
b) Egy háromszög területe $56 \; cm^2$ és a $b$ oldalhoz tartozó magasság $7\; cm$. Mekkora a $b$ oldal?
c) Egy háromszög területe $64 \; cm^2$ és a $c$ oldal $16\; cm$. Mekkora a hozzá tartozó magasság?
d) Egy háromszög $b$ oldala $12\; cm$, a hozzá tartozó magasság $10\; cm$. A $c$ oldalhoz tartozó magasság $15\; cm$. Mekkora a $c$ oldal?
a) Egy háromszög két szögét ismerjük. Az egyik $120$ fokos, a másik $126$ fokos. Mekkorák a háromszög belső szögei?
b) Egy háromszög egyik külső szöge $56°$-kal nagyobb, mint a hozzá tartozó belső szög. Mekkora az $\alpha$ belső szög?
c) Egy egyenlőszárú háromszög egyik külső szöge $118°$. Mekkorák a belső szögei?
a) Egy háromszög egyik oldalának hossza \(8,5\; cm\), a hozzá tartozó magasság \(2\; dm\). Mekkora a háromszög területe?
b) Egy háromszög területe \(60\; cm^2\), egyik oldalának hossza \(10\; cm\). Mekkora az oldalhoz tartozó magassága?
Mekkora annak a háromszögnek a \(b\) oldalhoz tartozó magassága, amelynek \(b\) oldala \(30\; mm\), a oldala \(4\; cm\), és az \(a\) oldalához tartozó magassága \(6\; cm\) hosszúságú?
a) Egy derékszögű háromszög két befogójának nagysága \(4\) és \(7\; cm\) hosszúságú. Mekkora a háromszög területe?
b) Egy derékszögű háromszög egyik befogója \(1,5\; dm\), területe \(60\; cm^2\). Hány \(dm\) a másik befogója?
És most nézzük, mit tudnak a háromszögek.
Vannak hegyes-szögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge hegyes-szög.
És vannak tompaszögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge tompaszög.
Ja, nem.
A tompaszögű háromszögeknek csak az egyik szöge lehet tompaszög.
Hogyha ugyanis két tompaszögük is lenne…
Hát igen, így már nem kapnánk háromszöget…
Van még egy harmadik kategória is…
Ezek a derékszögű háromszögek.
Ezt jó tudni, írjuk is föl magunknak valahova ide.
És így szépen megjelent egymás mellett a háromszög mindhárom belső szöge.
Vannak aztán a háromszögnek külső szögei is.
A B csúcsnál a külső szög…
Hát, az nem ez…
A B csúcsnál a külső szög az ez.
De lehet ez is.
A külső szögek tehát ilyen kiegészítő szögek.
És bármely háromszögben a külső szögek összege 360o.
Ezt is felírhatnánk ide…
De inkább mégse.
A háromszögek belső szögeinek az összege ugyanis mindig 180 fok.
Így hát nem lehet benne két olyan szög, ami 90 foknál nagyobb.
Most pedig essünk túl néhány dögunalmas formaságon.
A háromszögek csúcsait az ABC nagy betűivel jelöljük.
És a szögeket pedig görög betűkkel jelöljük.
Hogyha veszünk most még egy ugyanilyen háromszöget…
És így szépen egymás mellé rakjuk őket…
Akkor ez a szög itt éppen 180o.
Ezek a szögek pedig váltószögek…
Tehát egyforma nagyok.
Vagyis bármely háromszög belső szögeinek összege éppen 180o.
A belső szögek összege mindig 180 fok.
És van itt még valami…
A háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
Csak így tudunk belőlük háromszöget építeni.
Hogyha a c oldal hosszabb lenne, mint az a és b oldal összege…
Bárhogyan is próbálkozunk…
Nem lesz belőle háromszög.
Ezt a nem túl bonyolult dolgot hívjuk háromszög-egyenlőtlenségnek.
HÁROMSZÖGEK
Háromszög-egyenlőtlenség
Minden háromszögben bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál.
Ezt háromszög-egyenlőtlenségnek hívják.
A háromszögek egyik speciális típusa az egyenlő szárú háromszögek.
Az egyenlő szárú háromszögek úgy működnek, hogy van két ugyanakkora oldaluk…
Ezeket hívjuk száraknak.
És van még egy harmadik oldal, amit alapnak nevezünk.
.
Az egyenlő szárú háromszögek tengelyesen szimmetrikusak.
Vagyis az alapon fekvő szögek egyformák.
A szárak által bezárt szöget pedig a szimmetriatengely felezi.
Az alapot a-val szoktuk jelölni…
A szárakat pedig b-vel.
Az a oldallal szemben van az A csúcs…
És az A csúcsnál van az a szög.
A szárakat b-vel jelöljük.
És ezek béta szöget zárnak be az alappal.
Hogyha az egyenlő szárú háromszögben az alap is ugyanolyan hosszú, mint a szárak…
Akkor szabályos háromszöget kapunk.
A szabályos háromszögnek minden oldala ugyanakkora.
És minden szöge is ugyanakkora.
Mivel pedig a háromszögek belső szögeinek összege 180 fok…
Végül itt jön még egy speciális háromszögfajta…
A derékszögű háromszög.
A derékszögű háromszögnek azt az oldalát, ami a derékszöggel szemben van, átfogónak hívjuk.
átfogó
A másik két oldal pedig, amik befogják a derékszögű csúcsot…
Azok a befogók.
befogó
És még egy dolog…
A derékszöget lehet jelölni így is…
Meg így is.
A csúcsokat úgy szoktuk a derékszögű háromszögekben elnevezni, hogy mindig a C csúcsnál legyen a derékszög.
És a vele szemben lévő oldalt vagyis az átfogót hívjuk c-nek.
A másik két csúcs A és B…
És velük szemben van az a és b oldal, amik mindketten befogók.
Kezdetnek ennyit a háromszögekről.
