Sokszögek, konvex/konkáv, átlók, szögek
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Síkidom
Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.
A zárt vonal azt jelenti, hogy fogjuk a ceruzát, elindulunk valahonnan... és hopp, visszaérünk ugyanoda, ahonnan indultunk. Síkodom például egy háromszög, vagy egy négyzet, de síkidom egy kör is, vagy éppen a kölönböző emojik. Egy síkidomot több különböző zárt vonal is atárolhat. Olyankor, amikor csak egy zárt vonal határolja, egyszerű síkidomnak nevezzük. Mindez sokkal könnyebben elképzelhető, ha megnézed az ehhez kapcsolódó epizódot.
Sokszög
Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Vagyis azok a síkidomok sokszögek, amelyek határoló vonalai csak egyenes szakaszokból állnak.
Konkáv síkidom
A konkáv síkidom az, amelyikben ki tudunk választani két olyan pontot, hogy az ezeket összekötő szakasznak egy része a síkidomon kívül halad. Egy kör vagy egy téglalap például nem konkáv, mert bárhogyan választunk benne két pontot, a pontokat összekötő szakasz is a síkidomban halad. De például egy szívecske már konkáv, mert ha a két kidudorodó részét összekötjük, akkor az összekötő vonal kívül halad. Mindez sokkal egyszerűbb, ha megnézed az ehhez a témához kapcsolódó epizódot.
Konvex síkidom
A konvex síkidom az, amelyikben akárhogy veszünk két belső pontot, az őket összekötő szakasz minden pontja a síkidom belsejében lesz.
Egy kör vagy egy téglalap például konvex, mert bárhogyan választunk benne két pontot, a pontokat összekötő szakasz is a síkidomban halad. De például egy szívecske már nem konvex, mert ha a két kidudorodó részét összekötjük, akkor az összekötő vonal kívül halad. Mindez sokkal egyszerűbb, ha megnézed az ehhez a témához kapcsolódó epizódot.
Szabályos sokszög
Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.
SOKSZÖG OLDALA
Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Ezeket az egyenes szakaszokat nevezzük a sokszög oldalainak.
SOKSZÖG CSÚCSA
Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakasz alkotta zárt görbe határol. Ezeket a szakaszokat oldalaknak, vagy másként oldaléleknek nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az oldalélek találkoznak, a sokszög csúcsainak hívjuk.
SOKSZÖG ÁTLÓI
A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat a sokszög átlójának nevezzük.
Egyenlő szárú háromszög
Az egyenlő szárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal, amiket szárnak nevezünk. És hát van ugye a harmadik oldal, ez az alap.
Annyit érdemes megjegyezni róla, hogy az alaphoz tartozó súlyvonal, magasságvonal, oldalfelező merőleges és szögfelező mind egybeesik. És ez egyúttal a háromszög szimmetriatengelye is.
És azt is jó tudni róla, hogy az alapon fekvő szögek egyformák.
Szabályos háromszög
Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).
Szabályos háromszögben a körülírt kör középpontja, a magasságpont és a súlypont is egybeesnek.
Derékszögű háromszög
Derékszögű háromszögnek van $90°$-os szöge.
A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük, a másik kettőt pedig befogónak.
Hegyesszögű háromszög
A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög, azaz $0°$-nál nagyobbak, de $90°$-nál kisebbek.
Tompaszögű háromszögek
A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge, azaz egy olyan szöge, ami $90°$-nál nagyobb, de $180°$-nál kisebb.
Háromszög egyenlőtlenség
A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
$a+b>c \qquad a+c>b \qquad b+c>a$
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
a) Mekkora egy szabályos hétszög belső szögeinek összege?
b) Mekkora egy szabályos 100-szög egy belső szöge?
a) Hány átlója van egy szabályos nyolcszögnek?
b) Hány átlója van egy szabályos 100-szögnek?
Dani és Dorka megosztják egymás között, hogy ki melyik síkidomot rajzolja meg a házi feladatukhoz. Dani csak vonalzót szeretne használni, Dorka viszont a görbe vonalakat kedveli. Válogassuk szét, hogy ki melyik síkidomot rajzolja meg!
Válogassuk szét a síkidomokat aszerint, hogy sokszögek vagy sem, illetve, hogy konvexek vagy konkávok.
Itt az ideje rendet tenni egy kicsit…
Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.
Bob tehát nem tekinthető síkidomnak, mert kiállnak belőle ezek a vonalak.
Az összes többi viszont síkidom.
A síkidomok közül most csak azokkal foglalkozunk, amikben nincsenek belül lukak.
A luk nélküli síkidomokat egyszerű síkidomoknak nevezzük.
Hogyha megszüntetjük itt a lukakat…
Hopp, akkor már ezek is egyszerű síkidomok lesznek.
Mivel csak egyszerű síkidomokkal foglalkozunk, hívjuk őket simán síkidomnak.
A síkidomok között vannak olyanok, ahol a határoló vonalak csak egyenes szakaszokból állnak.
Ezeket hívjuk sokszögeknek.
Vagyis mindegyik sokszög síkidom.
És itt jön még egy dolog…
Ez itt egy vár, felülről nézve.
Ami végülis szintén egy síkidom.
Ráadásul egy sokszög.
A várakat egy nagyon ravasz trükkel építették meg…
Amikor jön az ostromló tömeg…
És odaérnek a várfal tövébe…
A vár védői, a vár belsejéből is rálátnak a várfalra.
És így a várból tudják támadni az ostromlókat.
A dolog lényege ez.
Tudunk találni olyan pontokat, amik a váron belül vannak, de ha összekötjük őket, az összekötő szakasz mégis a váron kívül halad.
Egy háromszögben ez lehetetlen volna.
Ezért nem építenek háromszög alaprajzú várakat.
A vár-típusú sokszögeket konkáv sokszögeknek nevezzük.
A másik pedig a konvex.
Remek, újabb definíciók, ahol lehetetlen megjegyezni, hogy melyik az egyik és melyik a másik…
De csak mostanáig.
Itt jön ugyanis egy trükk.
Mindez nem csak sokszögekre, hanem bármilyen síkidomra is működik.
A konvex és konkáv szemléltetésére van egy unalomig ismert példa.
Várak nélkül…
A konkáv síkidom az, amelyikben el lehet bújni…
A konvex pedig, amiben nem lehet elbújni.
De hát miért akarna bárki is egy síkidomban elbújni?
És azon kívül, hogy ennek az elbújásnak semmi értelme, még simán összekeverhetjük, hogy most akkor a konkáv vagy a konvex az elbújós…
Úgyhogy maradjunk inkább a váraknál.
Most pedig folytassuk a sokszögekkel…
A sokszögeknél tartottunk…
És addig jutottunk, hogy vannak köztük konvexek és konkávok.
Most pedig nézzük meg, hogy mit tudnak még a sokszögek…
Vannak csúcsaik…
Oldalaik…
És szögeik.
Ráadásul mindegyikből ugyanannyi.
Ez itt például egy hatszög.
Vagyis hat darab csúcsa van, hat darab oldala és hat darab szöge.
Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.
Ez például egy szabályos hatszög.
Mint ahogyan ez is hatszög…
Csak éppen ez a másik hatszög nem szabályos.
Ennek is minden oldala egyforma hosszú…
De a szögei, azok nem ugyanakkorák.
Aztán itt van egy szabályos ötszög.
Ez egy szabályos négyszög…
Amit úgy hívunk, hogy négyzet.
És ez itt egy szabályos háromszög.
Végül nézzük meg, hogy mi történik akkor, ha egy sokszögnek kiválasztjuk két csúcsát…
És összekötjük őket.
Olyankor, amikor szomszédos csúcsokat választunk…
A sokszögnek az egyik oldalát kapjuk.
Amikor viszont a csúcsok nem szomszédosak…
Az így kapott szakaszt a sokszög átlójának nevezzük.
A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat átlónak nevezzük.
Egy háromszögben minden csúcs szomszédos egymással…
Úgyhogy a háromszögeknek nincsenek átlóik.
A négyszögeknek két darab átlójuk van.
A többi sokszögnek pedig…
Hát, azoknak már jó sok.
És most elérkezett az idő, hogy egy kicsit jobban megismerjük a háromszögeket.
És most nézzük, mit tudnak a háromszögek.
Vannak hegyes-szögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge hegyes-szög.
És vannak tompaszögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge tompaszög.
Ja, nem.
A tompaszögű háromszögeknek csak az egyik szöge lehet tompaszög.
Hogyha ugyanis két tompaszögük is lenne…
Hát igen, így már nem kapnánk háromszöget…
Van még egy harmadik kategória is…
Ezek a derékszögű háromszögek.
Ezt jó tudni, írjuk is föl magunknak valahova ide.
És így szépen megjelent egymás mellett a háromszög mindhárom belső szöge.
Vannak aztán a háromszögnek külső szögei is.
A B csúcsnál a külső szög…
Hát, az nem ez…
A B csúcsnál a külső szög az ez.
De lehet ez is.
A külső szögek tehát ilyen kiegészítő szögek.
És bármely háromszögben a külső szögek összege 360o.
Ezt is felírhatnánk ide…
De inkább mégse.
A háromszögek belső szögeinek az összege ugyanis mindig 180 fok.
Így hát nem lehet benne két olyan szög, ami 90 foknál nagyobb.
Most pedig essünk túl néhány dögunalmas formaságon.
A háromszögek csúcsait az ABC nagy betűivel jelöljük.
És a szögeket pedig görög betűkkel jelöljük.
Hogyha veszünk most még egy ugyanilyen háromszöget…
És így szépen egymás mellé rakjuk őket…
Akkor ez a szög itt éppen 180o.
Ezek a szögek pedig váltószögek…
Tehát egyforma nagyok.
Vagyis bármely háromszög belső szögeinek összege éppen 180o.
A belső szögek összege mindig 180 fok.
És van itt még valami…
A háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
Csak így tudunk belőlük háromszöget építeni.
Hogyha a c oldal hosszabb lenne, mint az a és b oldal összege…
Bárhogyan is próbálkozunk…
Nem lesz belőle háromszög.
Ezt a nem túl bonyolult dolgot hívjuk háromszög-egyenlőtlenségnek.
HÁROMSZÖGEK
Háromszög-egyenlőtlenség
Minden háromszögben bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál.
Ezt háromszög-egyenlőtlenségnek hívják.
A háromszögek egyik speciális típusa az egyenlő szárú háromszögek.
Az egyenlő szárú háromszögek úgy működnek, hogy van két ugyanakkora oldaluk…
Ezeket hívjuk száraknak.
És van még egy harmadik oldal, amit alapnak nevezünk.
.
Az egyenlő szárú háromszögek tengelyesen szimmetrikusak.
Vagyis az alapon fekvő szögek egyformák.
A szárak által bezárt szöget pedig a szimmetriatengely felezi.
Az alapot a-val szoktuk jelölni…
A szárakat pedig b-vel.
Az a oldallal szemben van az A csúcs…
És az A csúcsnál van az a szög.
A szárakat b-vel jelöljük.
És ezek béta szöget zárnak be az alappal.
Hogyha az egyenlő szárú háromszögben az alap is ugyanolyan hosszú, mint a szárak…
Akkor szabályos háromszöget kapunk.
A szabályos háromszögnek minden oldala ugyanakkora.
És minden szöge is ugyanakkora.
Mivel pedig a háromszögek belső szögeinek összege 180 fok…
Végül itt jön még egy speciális háromszögfajta…
A derékszögű háromszög.
A derékszögű háromszögnek azt az oldalát, ami a derékszöggel szemben van, átfogónak hívjuk.
átfogó
A másik két oldal pedig, amik befogják a derékszögű csúcsot…
Azok a befogók.
befogó
És még egy dolog…
A derékszöget lehet jelölni így is…
Meg így is.
A csúcsokat úgy szoktuk a derékszögű háromszögekben elnevezni, hogy mindig a C csúcsnál legyen a derékszög.
És a vele szemben lévő oldalt vagyis az átfogót hívjuk c-nek.
A másik két csúcs A és B…
És velük szemben van az a és b oldal, amik mindketten befogók.
Kezdetnek ennyit a háromszögekről.
