Barion Pixel Matek 10. osztály | mateking
 
26 témakör, 323 rövid és szuper érthető epizód
Ezt a nagyon laza Matek 10. osztály kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.
4 980 Ft fél évre

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 26 szekcióból áll: Bizonyítási módszerek, matematikai logika, Másodfokú egyenletek, Egyenletrendszerek, Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek, Függvények ábrázolása, Szöveges feladatok, Százalékszámítás, Egyenlőtlenségek, Síkgeometria, Egybevágósági transzformációk, Feladatok függvényekkel, Kombinatorika, Valószínűségszámítás, Statisztika, Gráfok, Középpontos hasonlóság, Vektorok, Trigonometria, Sorozatok határértéke (emelt szint), Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint), Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek, Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint), Deriválás (emelt szint), Függvények érintője (emelt szint), Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint), Az integrálás (emelt szint)

Bizonyítási módszerek, matematikai logika

Másodfokú egyenletek

Egyenletrendszerek

  • -

    A behelyettesítő módszer az egyenletrendszerek megoldásának egyik technikája, ami során az egyik ismeretlent kifejezzük a másikkal.

  • -

    Az egyenlő együtthatók módszere egy megoldási technika az egyenletrendszerekhez, ami során a két egyenletet összeadjuk vagy kivonjuk egymásból.

Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek

  • -

    Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

  • -

    Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.

  • -

    Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

  • -

    Megnézzük, hogy milyen izgalmak fordulhatnak elő a gyökös egyenletek világában. Hogyan kell megoldani egy gyökös egyenletet? Mikor lehet egy egyenletet négyzetre emelni? Milyen kikötéseket kell tenni egy gyökös egyenlet megoldásánál? Törtes gyökös egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető gyökös egyenletek.

Függvények ábrázolása

Szöveges feladatok

Százalékszámítás

  • -

    A százalékalap az a szám, amihez a százalékszámítás során viszonyítunk. Ez jelenti mindig a 100%-ot. Ha például egy osztályba 20 gyerek jár és közülük 8 lány, 12 fiú, akkor a 20 gyerek lesz a 100%, aminek valahány százaléka lány és valahány százaléka fiú. 

  • -

    A százalékláb a százalékszámításos feladatban a százalék. Ennyi százalékát kell kiszámítani a százalékalapnak.

  • -

    A százalékérték a százalékalap és a százalékláb szorzata, tehát a végeredmény.

  • -

    A százalékértéket megkapjuk úgy, hogy a százalékalapot és a százaléklábat összeszorozzuk.

  • -

    A százalékalap a százalérték és a százalékláb hányadosa.

  • -

    A százalékláb a százalékérték és a százalékalap hányadosa.

  • -

    Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.

Egyenlőtlenségek

  • -

    Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.

  • -

    Az elsőfokú egyenlőtlenségeknél még izgalmasabbak a másodfokú egyenlőtlenségek.

Síkgeometria

  • -

    Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.

  • -

    Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki pont és sík távolságát?

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki pont és egyenes távolságát?

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki két egyenes távolságát?

  • -

    Hogyan számítjuk egyenes és sík távolságát?

  • -

    Hogyan számíthatjuk ki két sík távolságát?

  • -

    Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza.

  • -

    A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög.

  • -

    Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.

  • -

    Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.

  • -

    A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok.

  • -

    A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

  • -

    A deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely. 

  • -

    Ha egy kör átmérőjét összekötjük a körvonal egy másik, tetszőleges C pontjával, akkor a C csúcsnál derékszöget kapunk.

  • -

    A kerületi szög egy körben lévő szög úgy, hogy a szög csúcsa a körvonal egy pontja, szárai pedig vagy a kör két húrja, vagy egy húrja és egy érintője.

  • -

    Egy körben egy adott ívhez tartozó bármely középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög nagyságának.

  • -

    Egy kör adott ívéhez tartozó kerületi szögek mind ugyanakkorák.

  • -

    A húrnégyszög egy olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.

  • -

    Két szimmetrikus körív, amely megadja azokat a pontokat, amik alatt egy szakasz azonos szögben látható.

  • -

    Kör kerületének és területének képletei.

  • -

    Mi az a körcikk, és hogyan számolható ki az ívhossza és területe.

Egybevágósági transzformációk

  • -

    A tengelyes tükrözés során egy egyenesre tükrözünk, amit tengelynek nevezünk.

  • -

    Egy alakzatot vagy sokszögek tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek a hatására a tükörképe önmaga.

  • -

    Hogyan kell megszerkeszteni egy alakzat középpontosan tükrözött képét, és mik a középpontos tükrözés tulajdonságai.

  • -

    Egy alakzat vagy sokszög akkor középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga lesz.

  • -

    A pont körüli forgatáshoz kell egy pont, ami körül forgatunk, na és persze egy szög.

  • -

    Egy alakzatot vagy sokszöget forgás-szimmetrikusnak nevezünk, hogyha van olyan O pont, ami körül egy 0 és 360 fok közé eső szöggel elforgatva a sokszöget önmagába tudjuk forgatni.

  • -

    Az eltolás során az alakzat lényegében ugyanaz marad, csak kicsit arrébb kerül.

  • -

    Két alakzat akkor egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, ami az egyiket a másikba viszi.

  • -

    Háromszögek egybevágóságának 4 esete.

Feladatok függvényekkel

  • -

    A másodfokú függvény olyan függvény, amelynek legmagasabb fokú tagja másodfokú.

  • -

    Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Kombinatorika

  • -

    Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

  • -

    $n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.

  • -

    Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

  • -

    Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

  • -

    Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

  • -

    Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

  • -

    Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Valószínűségszámítás

Statisztika

  • -

    A módusz a leggyakoribb érték.

  • -

    A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

  • -

    Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.

  • -

    Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.

  • -

    Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.

  • -

    Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.

  • -

    A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.

  • -

    A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:

Gráfok

  • -

    A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.

  • -

    Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.

  • -

    A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.

  • -

    Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.

  • -

    Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

  • -

    Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.

  • -

    Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.

  • -

    Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.

Középpontos hasonlóság

  • -

    Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező megfelelő szakaszok arányával.

  • -

    A középpontos hasonlósági transzformációhoz adott egy O pont, ez a középpont, és egy lambda nem nulla valós szám, ez a hasonlóság aránya.

  • -

    Háromszögek hasonlóságának 4 esete.

  • -

    Derékszögű háromszögben az átfogó magasságának talppontja az átfogót két olyan részre bontja, melyeknek a mértani közepe a magasság:

  • -

    Derékszögű háromszög egy befogója mértani közepe az átfogónak és a befogóra eső vetületének.

  • -

    Hasonló alakzatok területe négyzetesen, térfogata köbösen aránylik egymáshoz.

  • -

    Bármely háromszögben egy csúcshoz tartozó belső szögfelező a szöggel szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában fogja kettéosztani.

Vektorok

  • -

    A vektor egy irányított szakasz.

  • -

    Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

  • -

    Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

  • -

    Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Trigonometria

  • -

    Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?

  • -

    Derékszögű háromszögben a szinusz a szöggel szemközti befogó és átfogó hányadosa. A koszinusz a szög melleti befogó és átfogó hányadosa. A tangens a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó hányadosa.

  • -

    Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a koszinusz. Mire jó a a koszinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása koszinusz szögfüggvény segítségével.

  • -

    Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a szinusz. Mire jó a szinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása szinusz szögfüggvény segítségével.

  • -

    Derékszögű háromszögben egy szög tangense a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó hányadosa.

  • -

    A háromszög területe kiszámítható a két oldal és a közrefogott szög szinuszának szorzataként, osztva 2-vel.

  • -

    Ha a kört kettéosztjuk egy húrjával, akkor körszeleteket kapunk. A körszelet területe az őt magába foglaló körcikk és egyenlőszárú háromszög különbsége.

Sorozatok határértéke (emelt szint)

Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)

Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek

  • -

    Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.

  • -

    Azokat a síkidomokat, amelyek határoló vonalai csak egyenes szakaszok, sokszögeknek nevezzük.

  • -

    A konkáv síkidom az, amelyikben el lehet bújni.

  • -

    A konvex síkidom az, amelyikbe nem lehet elbújni.

  • -

    Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.

  • -

    Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Ezeket az egyenes szakaszokat nevezzük a sokszög oldalainak. 

  • -

    Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakasz alkotta zárt görbe határol. Ezeket a szakaszokat oldalaknak, vagy másként oldaléleknek nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az oldalélek találkoznak, a sokszög csúcsainak hívjuk.

  • -

    A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat a sokszög átlójának nevezzük.

  • -

    Az egyenlőszárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal.

  • -

    Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).

  • -

    Azok a háromszögek, amelyeknek van 90°-os szöge.

  • -

    A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög.

  • -

    A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge.

  • -

    A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.

  • -

    A magasságvonal a háromszög egy csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges. A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.

  • -

    A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Ezek metszéspontja a súlypont.

  • -

    A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelezőmerőlegesei metszéspontja. Hogyan lehet megszerkeszteni egy háromszög köré írható körét

  • -

    A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög köré írható körének középpontja.

  • -

    Ha egy háromszög oldalfelezőpontjait összekötjük, akkor a háromszög középvonalait kapjuk.

  • -

    Néhány képlet háromszögek területére. A jól ismert klasszikus területképlet mellett nézünk még két másikat is.

  • -

    A Hérón-képletet akkor használjuk, ha ismert a háromszög mindhárom oldala.

  • -

    A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög.

  • -

    Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.

  • -

    Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.

  • -

    A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok.

  • -

    A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

  • -

    A deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely. 

Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)

  • -

    sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

  • -

    Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

  • -

    Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

  • -

    A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.

Deriválás (emelt szint)

  • -

    Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

  • -

    A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

  • -

    Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

  • -

    Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

  • -

    A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya.

Függvények érintője (emelt szint)

  • -

    A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

Az integrálás (emelt szint)

  • -

    Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

  • -

    Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

  • -

    Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

  • -

    A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

  • -

    Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

  • -

    Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.