Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Matek 10. osztály

Kategóriák
  • Bizonyítási módszerek, matematikai logika
  • Másodfokú egyenletek
  • Egyenletrendszerek
  • Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
  • Függvények ábrázolása
  • Szöveges feladatok
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Egyenlőtlenségek
  • Síkgeometria
  • Egybevágósági transzformációk
  • Feladatok függvényekkel
  • Kombinatorika
  • Valószínűségszámítás
  • Gráfok
  • Statisztika
  • Középpontos hasonlóság
  • Vektorok
  • Trigonometria
  • Sorozatok határértéke (emelt szint)
  • Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
  • Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
  • Deriválás (emelt szint)
  • Függvények érintője (emelt szint)
  • Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
  • Az integrálás (emelt szint)

Trigonometria

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
00
 
Mese a szögfüggvényekről
01
 
Szinusz, Koszinusz, tangens derékszögű háromszögekben
02
 
Szinusz, koszinusz és tangens egyenlő szárú háromszögekben
03
 
Trapézok
04
 
A háromszögek szinusz gammás területképlete
05
 
Körcikk és körszelet területe
06
 
Izgalmasabb geometria feladatok szinusszal, koszinusszal és tangenssel
07
 
Újabb izgalmak szinusszal, koszinusszal és tangenssel...
08
 
FELADAT
09
 
FELADAT
10
 
FELADAT
11
 
FELADAT

Egységkör

Azt a kört a koordinátarendszerben, aminek középpontja az origo és a sugara 1, egységkörnek nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Koszinusz derékszögű háromszögekben

Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének koszinuszát a következőképp értelmezzük:

\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{ szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szinusz derékszögű háromszögekben

Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének szinuszát a következőképp értelmezzük:

\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szögfüggvények derékszögű háromszögben

\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{a}{c} \)

\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{b}{c} \)

\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{szög melletti befogó} } = \frac{a}{b} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Tangens derékszögű háromszögekben

Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének tangensét a következőképp értelmezzük:

\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó } }{ \text{szög melletti befogó} } \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Háromszög szinusz gammás területképlete

\( T = \frac{a \cdot b \cdot \sin{\gamma} }{2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Körszelet területe

A körszelet területét úgy kapjuk, hogy először kiszámoljuk, hogy mekkora területű a körcikk, aztán pedig kivonjuk belőle az ebbe beleeső egyenlőszárú háromszög területét:

\( T_{\text{sz}} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi - \frac{ r^2 \cdot \sin{alpha} }{2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Adjuk meg az alábbi szögek szinuszának és koszinuszának pontos értékeit!

0°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 180°

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

a) Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 80 méter távolságban van. Milyen magas a torony?

b) Ebből az 50 méter magas világítótorony tetejéről egy hajó 14°-nyi depresszió szög (vízszinteshez képest lefele mért szög) alatt látszik. Milyen távol van a hajó?

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 12 cm hosszúak, és az alapon fekvő szöge 70 fokosak. Mekkora az alap és mekkora a háromszög területe?

b) Egy másik egyenlőszárú háromszögben az alap 16 cm, a szárak pedig 12 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögei és a terület?

c) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 10 cm-esek, a szárak által bezárt szög pedig 50 fokos. Mekkora a háromszög területe és az alapja?

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Egy trapéz két alapja 20 cm és 10 cm, az egyik szára 12 cm és ez a szár 60°-os szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe és negyedik oldala?

b) Egy másik trapézban a hosszabbik alapon fekvő szögek 45 és 60 fokosak, a trapéz magassága 12 cm, a trapéz területe pedig 156 cm2. Mekkorák a trapéz oldalai?

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

a) Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek a területe, amelynek szárai 12 cm hosszúak, és a szárak által bezárt szög 30 fok.

b) Egy másik egyenlő szárú háromszögről azt tudjuk, hogy az alapon fekvő szögei 30 fokosak, és a szárak 10 cm hosszúak. Mekkora a háromszög területe?

c) Egy paralelogramma oldalainak hossza 16 cm és 12 cm, az általuk bezárt szög 30°. Mekkora a paralelogramma területe?

d) Egy paralelogramma egyik átlójának hossza 7 cm és ez az átló 40 fokos szöget zár be a paralelogramma 12 cm hosszú oldalával. Mekkora a paralelogramma területe?

e) Egy trapézról tudjuk, hogy a két alapja 16 cm és 10 cm, az egyik szára 8 cm és ez a szár 60 fokos szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe?

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Számoljuk ki annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 13 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 5 cm távolságban haladó szelővel.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

a) Egy szikla tetején álló világítótoronyhoz vezető út a vízszinteshez képest 14°-os szögben emelkedik. Az út a szikla aljától indul és egyenesen halad a torony lábához, a hossza 150 méter. Milyen magas a szikla és hány fokos szögben látszik a vízszinteshez képest az 50 méter magas torony tetejéből az út eleje?

b) Egy másik világítótorony 30 méter magas sziklára épült. A torony teteje 15°-os emelkedési szögben, az alja 10°-os emelkedési szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?

c) Egy hegycsúcs tengerszint feletti magasságát szeretnénk megmérni. A hegycsúcs alatt elterülő völgyben 1800 méteres tengerszint feletti magasságban lézeres mérőeszközzel megállapítjuk, hogy a hegy csúcsa éppen 6854,11 méter távolságban van. A lézernyaláb emelkedési szöge 24 fokos. Milyen magas a hegycsúcs?

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

a) Egy toronyantennához 640 m hosszú egyenes út vezet, melynek emelkedési szöge 10°. Az út elejéről az antenna csúcsa az úthoz képest 20° emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az antenna?

b) Egy hegycsúcs 7 fokos emelkedési szögben látszik egy vele szomszédos 3089 méter magas hegyről. Ha a hegycsúcs irányában elindulunk egy 1 km hosszú 45 fokos lejtőn lefelé, akkor a lejtő aljáról ugyanennek a hegycsúcsnak a teteje 11,2 fokos emelkedési szögben látszik. Milyen magas a hegycsúcs?

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Számoljuk ki az adott derékszögű háromszögekben a hiányzó oldalakat és szögeket, ha

a) $a=12, \beta=48° $

b) $b=14, \alpha=34° $

c) $a=6, b=8$

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

a) Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a vízszintes talajjal?

b) Egy egyenlőszárú háromszög alapja 12 centiméter, a szárai pedig 16 centiméteresek. Mekkorák a háromszög szögei?

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

a) Egy húrtrapéz két párhuzamos oldalának hossza 20 cm és 8 cm, az alapon fekvő szögei $\alpha=60°$. Mekkorák az oldalak és a trapéz területe?

b) Egy húrtrapéz két párhuzamos oldalának hossza 10 cm és 6 cm, területe $40 cm^2$. Mekkorák a trapéz szögei?

c) Egy egyenlőszárú trapéz szárai 30 fokos szöget zárnak be az egyik alappal. A szárak hossza 8 cm, a trapéz területe $36 cm^2$. Mekkora a trapéz kerülete?

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Egy függőleges tartórúdra a talajtól 4 m magasan mozgásérzékelős lámpát szereltek, ami 140°-os nyílásszögű forgáskúpban világít függőlegesen lefelé.

a) Milyen messze van a lámpától a legtávolabbi megvilágított pont?

b) Megvilágítja-e az érzékelő lámpája azt a tárgyat, amelyik a talajon a tartórúd aljától 15 m távolságra van?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Mese a szögfüggvényekről

Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.

Ezt a kört egységkörnek nevezzük.

Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.

Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…

Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.

Itt van, mondjuk ez a P pont.

Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,

a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.

A két irány által bezárt szög lehet pozitív,

és lehet negatív.

A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.

Nos, ez a radián egész érdekesen működik:

a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.

Van itt ez a szög, ami fokban számítva

És most lássuk mi a helyzet radiánban.

A kör kerületének a képlete .

Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .

A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,

így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis

Nos így kapjuk, hogy

Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.

Kezdjük ezzel, amikor

Ezt jegyezzük föl.

A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.

Jön a Pitagorasz-tétel:

Most nézzük meg mi van akkor, ha

Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.

És most jön a Pitagorasz-tétel.

Az  esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.

Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.

-nál túl sok számolásra nincs szükség.

Ahogyan –nál és -nál sem.

És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.

Az x koordinátát hívjuk Bobnak,

az y koordinátát pedig…

Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.

Legyen mondjuk koszinusz.

A másik pedig szinusz.

Rögtön folytatjuk.

Van itt ez az egység sugarú kör.

Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,

a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.

A két irány által bezárt szög lehet pozitív,

és lehet negatív.

A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.

A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.

Az y koordinátáját -nak.

Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.

A sinx és cosx periodikus függvények.


Szinusz, Koszinusz, tangens derékszögű háromszögekben

És most néhány nagyon izgalmas kérdésre fogunk választ kapni.

Kezdjük azzal, hogy vajon hogyan lehet megmérni azt, hogy egy

csillag milyen távol van a Földtől.

Vannak persze az életben ennél sokkal fontosabb kérdések is,

például az, hogy hogyan szerezzünk több követőt az Instragramon,

de mégis foglalkozzunk most egy picit a csillagokkal.

A csillag távolságának kiszámolásához egy trükköt fogunk

használni. Megmérjük, hogy milyen szögben látszik a csilla a

Földről nézve nyáron… és télen.

Ez alapján pedig ki tudjuk számolni ezt a szöget.

Aminek a fele is egész lesz.

Azt már tudjuk, hogy milyen messze van a Föld a Naptól…

Úgy kb. 150 millió kilométerre.

És ez a két adat éppen elég is.

A csillagászok ugyanis magányos éjszakáikon kifejlesztettek egy függvényt a

derékszögű háromszögekre, amit szinusz névre kereszteltek el.

                 szöggel szemközti befogó

sin α = _______________________

                             átfogó

Ha mondjuk α = 1◦ akkor a csillag távolsága:

x = 8823,53 millió km

Van aztán egy ilyen is:

  szög melletti befogó

__________________

          átfogó

És végül itt van még ez:

szöggel szemközti befogó

______________________

  szög melletti befogó

És most lássunk néhány érdekes történetet.

Kezdjük azzal, hogy milyen magasan áll a kecske…

mármint ez a kecske.

Ha tudjuk, hogy a szikla lábától 28 méterre…

éppen 30 fokos szögben látni a szikla tetejét.

x=16,17 méter

Egy másik világítótorony 30m magas sziklára épült. A torony teteje 15◦-os szögben, az alja

10◦-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?

m = 15,59 méter


Szinusz, koszinusz és tangens egyenlő szárú háromszögekben

Trapézok

Van itt ez a háromszög, amiben a csúcsokat az ABC nagy

betűivel jelöljük…

Az oldalakat pedig kis betűkkel úgy, hogy az A csúccsal

szemben az a oldal van, a B csúccsal szemben a b…

Most pedig megismerkedünk a háromszögek nevezetes

pontjaival és vonalaival.

A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal

egyenesére bocsátott merőleges.

Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot

magasságpontnak nevezzük.

Vannak tompaszögű háromszögek is…

a magasságpont ilyen esetekben a háromszögön kívül tartózkodik.

A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal

felezőpontjával összekötő szakasz.

Nos, ezek is mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot

hívjuk a háromszög súlypontjának.

További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1

arányban osztja.

A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei szintén egy pontban

metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és a

háromszög köré írható kör középpontja.

A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik

egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.

Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek

területének kiszámolására.

És itt egy kevésbé ismert képlet is:

Jönnek a trapézok…

A trapéz olyan négyszög, aminek van kép párhuzamos oldala.

Ezeket hívjuk a trapéz alapjának.

És most lássuk a trapéz szögeit.

A trapéz területét általában így szokták kiszámolni:

Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög ugyanakkora,

olyankor a trapéz szimmetrikus.

A szimmetrikus trapézt szokás még egyenlő szárú trapéznak

is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.

Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van

köré írható köre.

Innen ered a harmadik elnevezés: húrtrapéz.

De nem csak valami random helyre…

Hanem úgy, hogy derékszögű háromszögeket kapjunk.

Egy másik trapézban a hosszabbik alapon fekvő szögek 45 és 60 fokosak, a trapéz magassága 12 cm a trapéz területe pedig 156 cm2. Mekkorák a trapéz oldalai?

A körök területének a kiszámolása nem túl izgalmas elfoglaltság.

Van itt rá ez a kis képlet:


A háromszögek szinusz gammás területképlete

Körcikk és körszelet területe

A körök területének a kiszámolása nem túl izgalmas elfoglaltság.

Van itt rá ez a kis képlet:

Hogyha például a kör sugara 16 cm, akkor a területe…

Most nézzük, mi a helyzet a körcikkek területével.

A körcikk területe úgy aránylik a kör területéhez…

mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360o-hoz.

Próbáljuk is ki:

KÖRCIKK TERÜLETE:

És most lássunk valami izgalmasabbat.

Kell hozzá egy védősisak, egy kis benzin, néhány befőttesüveg, védőszemüveg…

Á, mégse, ez már túl izgalmas lenne.

Helyette inkább számoljuk ki ennek a körszeletnek a területét.

A körszelet területét úgy kapjuk meg, hogy először kiszámoljuk, hogy mekkora területű ez a körcikk…

aztán pedig kivonjuk belőle ennek az egyenlőszárú háromszögnek a területét.

Számoljuk ki például annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 13 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 5 cm távolságban haladó szelővel.

Készítsünk egy rajzot.

Itt van a kör.

Ez a szelő…

Ami a kör középpontjától 5 cm távolságban halad.

És itt volna a körszelet.

A körszelet területéhez szükségünk van a középponti szögre.

Amit ebből a derékszögű háromszögből fogunk kinyerni.

A szög melletti befogó és az átfogó segítségével.


Izgalmasabb geometria feladatok szinusszal, koszinusszal és tangenssel

Újabb izgalmak szinusszal, koszinusszal és tangenssel...

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim