- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Másodfokú egyenletek
- Egyenletrendszerek
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Szöveges feladatok
- Százalékszámítás
- Egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Függvények ábrázolása
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- Egybevágósági transzformációk
- Feladatok függvényekkel
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
- Gráfok
- Középpontos hasonlóság
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Vektorok
- Trigonometria
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Trigonometria
Egységkör
Azt a kört a koordinátarendszerben, aminek középpontja az origo és a sugara 1, egységkörnek nevezzük.
Szögfüggvények derékszögű háromszögben
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{a}{c} \)
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{b}{c} \)
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{szög melletti befogó} } = \frac{a}{b} \)
Koszinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének koszinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{ szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Szinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének szinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Tangens derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének tangensét a következőképp értelmezzük:
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó } }{ \text{szög melletti befogó} } \)
Háromszög szinusz gammás területképlete
\( T = \frac{a \cdot b \cdot \sin{\gamma} }{2} \)
Körszelet területe
A körszelet területét úgy kapjuk, hogy először kiszámoljuk, hogy mekkora területű a körcikk, aztán pedig kivonjuk belőle az ebbe beleeső egyenlőszárú háromszög területét:
\( T_{\text{sz}} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi - \frac{ r^2 \cdot \sin{alpha} }{2} \)
Adjuk meg az alábbi szögek szinuszának és koszinuszának pontos értékeit!
0°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 180°
a) Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 100 méter távolságban van. Milyen magas a torony?
b) Egy 50 méter magas világítótorony tetejéről egy hajó 14°-nyi depresszió szög (vízszinteshez képest lefele mért szög) alatt látszik. A torony alja éppen a tenger szintjében van. Milyen távol van a hajóa torony aljától?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 12 cm hosszúak, és az alapon fekvő szöge 70 fokosak. Mekkora az alap és mekkora a háromszög területe?
b) Egy másik egyenlőszárú háromszögben az alap 16 cm, a szárak pedig 12 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögei és a terület?
c) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 10 cm-esek, a szárak által bezárt szög pedig 50 fokos. Mekkora a háromszög területe és az alapja?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy trapéz két alapja 20 cm és 10 cm, az egyik szára 12 cm és ez a szár 60°-os szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe és negyedik oldala?
b) Egy másik trapézban a hosszabbik alapon fekvő szögek 45 és 60 fokosak, a trapéz magassága 12 cm, a trapéz területe pedig 156 cm2. Mekkorák a trapéz oldalai?
a) Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek a területe, amelynek szárai 12 cm hosszúak, és a szárak által bezárt szög 30 fok.
b) Egy másik egyenlő szárú háromszögről azt tudjuk, hogy az alapon fekvő szögei 30 fokosak, és a szárak 10 cm hosszúak. Mekkora a háromszög területe?
c) Egy paralelogramma oldalainak hossza 16 cm és 12 cm, az általuk bezárt szög 30°. Mekkora a paralelogramma területe?
d) Egy paralelogramma egyik átlójának hossza 7 cm és ez az átló 40 fokos szöget zár be a paralelogramma 12 cm hosszú oldalával. Mekkora a paralelogramma területe?
e) Egy trapézról tudjuk, hogy a két alapja 16 cm és 10 cm, az egyik szára 8 cm és ez a szár 60 fokos szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe?
Számoljuk ki annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 13 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 5 cm távolságban haladó szelővel.
a) Egy szikla tetején álló világítótoronyhoz vezető út a vízszinteshez képest 14°-os szögben emelkedik. Az út a szikla aljától indul és egyenesen halad a torony lábához, a hossza 150 méter. Milyen magas a szikla és hány fokos szögben látszik a vízszinteshez képest az 50 méter magas torony tetejéből az út eleje?
b) Egy másik világítótorony 30 méter magas sziklára épült. A torony teteje 15°-os emelkedési szögben, az alja 10°-os emelkedési szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?
c) Egy hegycsúcs tengerszint feletti magasságát szeretnénk megmérni. A hegycsúcs alatt elterülő völgyben 1800 méteres tengerszint feletti magasságban lézeres mérőeszközzel megállapítjuk, hogy a hegy csúcsa éppen 6854,11 méter távolságban van. A lézernyaláb emelkedési szöge 24 fokos. Milyen magas a hegycsúcs?
a) Egy toronyantennához 640 m hosszú egyenes út vezet, melynek emelkedési szöge 10°. Az út elejéről az antenna csúcsa az úthoz képest 20° emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az antenna?
b) Egy hegycsúcs 7 fokos emelkedési szögben látszik egy vele szomszédos 3089 méter magas hegyről. Ha a hegycsúcs irányában elindulunk egy 1 km hosszú 45 fokos lejtőn lefelé, akkor a lejtő aljáról ugyanennek a hegycsúcsnak a teteje 11,2 fokos emelkedési szögben látszik. Milyen magas a hegycsúcs?
Számoljuk ki az adott derékszögű háromszögekben a hiányzó oldalakat és szögeket, ha
a) $a=12, \beta=48° $
b) $b=14, \alpha=34° $
c) $a=6, b=8$
a) Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a vízszintes talajjal?
b) Egy egyenlőszárú háromszög alapja 12 centiméter, a szárai pedig 16 centiméteresek. Mekkorák a háromszög szögei?
a) Egy húrtrapéz két párhuzamos oldalának hossza 20 cm és 8 cm, az alapon fekvő szögei $\alpha=60°$. Mekkorák az oldalak és a trapéz területe?
b) Egy húrtrapéz két párhuzamos oldalának hossza 10 cm és 6 cm, területe $40 cm^2$. Mekkorák a trapéz szögei?
c) Egy egyenlőszárú trapéz szárai 30 fokos szöget zárnak be az egyik alappal. A szárak hossza 8 cm, a trapéz területe $36 cm^2$. Mekkora a trapéz kerülete?
Egy függőleges tartórúdra a talajtól 4 m magasan mozgásérzékelős lámpát szereltek, ami 140°-os nyílásszögű forgáskúpban világít függőlegesen lefelé.
a) Milyen messze van a lámpától a legtávolabbi megvilágított pont?
b) Megvilágítja-e az érzékelő lámpája azt a tárgyat, amelyik a talajon a tartórúd aljától 15 m távolságra van?
Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.
Ezt a kört egységkörnek nevezzük.
Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.
Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…
Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.
Itt van, mondjuk ez a P pont.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
Nos, ez a radián egész érdekesen működik:
a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.
Van itt ez a szög, ami fokban számítva
És most lássuk mi a helyzet radiánban.
A kör kerületének a képlete .
Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .
A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,
így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis
Nos így kapjuk, hogy
Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.
Kezdjük ezzel, amikor
Ezt jegyezzük föl.
A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.
Jön a Pitagorasz-tétel:
Most nézzük meg mi van akkor, ha
Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.
És most jön a Pitagorasz-tétel.
Az esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.
Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.
-nál túl sok számolásra nincs szükség.
Ahogyan –nál és -nál sem.
És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.
Az x koordinátát hívjuk Bobnak,
az y koordinátát pedig…
Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.
Legyen mondjuk koszinusz.
A másik pedig szinusz.
Rögtön folytatjuk.
Van itt ez az egység sugarú kör.
Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,
a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.
A két irány által bezárt szög lehet pozitív,
és lehet negatív.
A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.
A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.
Az y koordinátáját -nak.
Most pedig számoljuk ki néhány szög szinuszát és koszinuszát.
A sinx és cosx periodikus függvények.
A hegycsúcsok magasságát egy ügyes kis trükkel lehet megmérni...
Kell hozzá egy lézeres távolságmérő…
Szögmérővel ellátva.
A távolságmérővel becélozzuk a hegycsúcs tetejét…
És lemérjük a távolságot.
Aztán megmérjük ezt a szöget.
És most jön a trükk.
Van itt ez a derékszögű háromszög…
Ebben a háromszögben itt a hegycsúcs magassága.
És mindjárt meg is tudjuk mondani, hogy ez mennyi ez a magasság.
Egy nagyon ravasz képlet segítségével.
Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát
A hegycsúcs magassága meg is van.
Hogyha pedig tudjuk, hogy mekkora a mérési pont tengerszintfeletti magassága…
Csak hozzáadjuk ehhez az 1926,1 métert…
És meg is van a hegycsúcs tengerszintfeletti magassága.
És most nézzünk meg egy másik érdekes történetet.
Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 100 méter távolságban van. Milyen magas a torony?
A 32 fokos emelkedési szög ezt jelenti…
A vízszinteshez képest 32 fok fölfelé…
És ez itt a 100 méter.
Megint van egy derékszögű háromszög…
Amiben a torony magassága az egyik befogó…
És a 100 méter a másik befogó.
Ez a történet a háromszög két befogójáról szól…
Az ilyen esetekre pedig itt jön most egy újabb képlet.
Sőt, essünk túl mindegyiken…
Az ilyen derékszögű háromszöges problémáknál szinuszt, koszinuszt és tangenst fogunk használni.
A szinusz már megvan.
Itt jön a koszinusz…
És itt van még a tangens…
Most az egyik befogót keressük, és a másik befogót ismerjük…
Vagyis a három közül az fog kelleni, amiben két befogó szerepel.
És most nézzük, mi van ezzel a szinusszal…
És most néhány nagyon izgalmas kérdésre fogunk választ kapni.
Kezdjük azzal, hogy vajon hogyan lehet megmérni azt, hogy egy
csillag milyen távol van a Földtől.
Vannak persze az életben ennél sokkal fontosabb kérdések is,
például az, hogy hogyan szerezzünk több követőt az Instragramon,
de mégis foglalkozzunk most egy picit a csillagokkal.
A csillag távolságának kiszámolásához egy trükköt fogunk
használni. Megmérjük, hogy milyen szögben látszik a csilla a
Földről nézve nyáron… és télen.
Ez alapján pedig ki tudjuk számolni ezt a szöget.
Aminek a fele is egész lesz.
Azt már tudjuk, hogy milyen messze van a Föld a Naptól…
Úgy kb. 150 millió kilométerre.
És ez a két adat éppen elég is.
A csillagászok ugyanis magányos éjszakáikon kifejlesztettek egy függvényt a
derékszögű háromszögekre, amit szinusz névre kereszteltek el.
szöggel szemközti befogó
sin α = _______________________
átfogó
Ha mondjuk α = 1◦ akkor a csillag távolsága:
x = 8823,53 millió km
Van aztán egy ilyen is:
szög melletti befogó
__________________
átfogó
És végül itt van még ez:
szöggel szemközti befogó
______________________
szög melletti befogó
És most lássunk néhány érdekes történetet.
Kezdjük azzal, hogy milyen magasan áll a kecske…
mármint ez a kecske.
Ha tudjuk, hogy a szikla lábától 28 méterre…
éppen 30 fokos szögben látni a szikla tetejét.
x=16,17 méter
Egy másik világítótorony 30m magas sziklára épült. A torony teteje 15◦-os szögben, az alja
10◦-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?
m = 15,59 méter
Van itt ez a háromszög, amiben a csúcsokat az ABC nagy
betűivel jelöljük…
Az oldalakat pedig kis betűkkel úgy, hogy az A csúccsal
szemben az a oldal van, a B csúccsal szemben a b…
Most pedig megismerkedünk a háromszögek nevezetes
pontjaival és vonalaival.
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal
egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot
magasságpontnak nevezzük.
Vannak tompaszögű háromszögek is…
a magasságpont ilyen esetekben a háromszögön kívül tartózkodik.
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal
felezőpontjával összekötő szakasz.
Nos, ezek is mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot
hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1
arányban osztja.
A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei szintén egy pontban
metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és a
háromszög köré írható kör középpontja.
A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik
egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek
területének kiszámolására.
És itt egy kevésbé ismert képlet is:
Jönnek a trapézok…
A trapéz olyan négyszög, aminek van kép párhuzamos oldala.
Ezeket hívjuk a trapéz alapjának.
És most lássuk a trapéz szögeit.
A trapéz területét általában így szokták kiszámolni:
Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög ugyanakkora,
olyankor a trapéz szimmetrikus.
A szimmetrikus trapézt szokás még egyenlő szárú trapéznak
is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.
Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van
köré írható köre.
Innen ered a harmadik elnevezés: húrtrapéz.
De nem csak valami random helyre…
Hanem úgy, hogy derékszögű háromszögeket kapjunk.
Egy másik trapézban a hosszabbik alapon fekvő szögek 45 és 60 fokosak, a trapéz magassága 12 cm a trapéz területe pedig 156 cm2. Mekkorák a trapéz oldalai?
A körök területének a kiszámolása nem túl izgalmas elfoglaltság.
Van itt rá ez a kis képlet:
A körök területének a kiszámolása nem túl izgalmas elfoglaltság.
Van itt rá ez a kis képlet:
Hogyha például a kör sugara 16 cm, akkor a területe…
Most nézzük, mi a helyzet a körcikkek területével.
A körcikk területe úgy aránylik a kör területéhez…
mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360o-hoz.
Próbáljuk is ki:
KÖRCIKK TERÜLETE:
És most lássunk valami izgalmasabbat.
Kell hozzá egy védősisak, egy kis benzin, néhány befőttesüveg, védőszemüveg…
Á, mégse, ez már túl izgalmas lenne.
Helyette inkább számoljuk ki ennek a körszeletnek a területét.
A körszelet területét úgy kapjuk meg, hogy először kiszámoljuk, hogy mekkora területű ez a körcikk…
aztán pedig kivonjuk belőle ennek az egyenlőszárú háromszögnek a területét.
Számoljuk ki például annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 13 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 5 cm távolságban haladó szelővel.
Készítsünk egy rajzot.
Itt van a kör.
Ez a szelő…
Ami a kör középpontjától 5 cm távolságban halad.
És itt volna a körszelet.
A körszelet területéhez szükségünk van a középponti szögre.
Amit ebből a derékszögű háromszögből fogunk kinyerni.
A szög melletti befogó és az átfogó segítségével.
