12 témakör, 172 rövid és szuper érthető lecke

Ez a remek Analízis 2 kurzus 172 rövid és szuper-érthető lecke segítségével 12 témakörön keresztül vezet végig az izgalmas Analízis 2 rögös útjain. Mindezt olyan könnyed stílusban, mintha csak a rántotta elkészítésének problémájáról lenne szó.

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 12 szekcióból áll: Mátrixok, vektorok, vektorterek, Lineáris egyenletrendszerek, Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések, Határozatlan integrálás, Határozott integrálás, Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok, Fourier sorok, Kétváltozós függvények, Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság, Kettős és hármas integrál, Differenciálegyenletek, Laplace transzformáció

MÁTRIXOK

 

VEKTOROK

 

EGY KIS GEOMETRIA

 

VEKTORTEREK

  • Az axiómák - Végre valami izgalom...
  • Koordináták - A valós feletti n dimenziós vektortér jele Rn ahol n a vektorok koordinátáinak számát jelöli.
  • Lineárisan független vektorok - Egy vektorrendszer elemei linárisan függetlenek, ha egyik vektor sem állítható elő a többi segítségével. 
  • Lineárisan összefüggő vektorok  - Egy vektorrendszer elemei linárisan összefüggők, ha van olyan vektor közöttük, amelyik előállítható a többi vektor segítségével. 
  • Generátorrendszer - Vektorknak egy halmaza, amely segítségével minden egyéb vektortérbeli vektor előállítható. Lássuk hogyan.
  • Bázis - A lineárisan független generátorrendszer.
  • Alterek - W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez. 
  • Rang - Vektorrendszer rangja és mátrix rangja.
  • Gram-Schmidt ortogonalizáció - Egy remek délutáni program, amivel egy bázisból olyan bázist lehet fabrikálni, ahol a bázisvektorok egymásra merőlegesek. 

 

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

 

A DETERMINÁNS, SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR

  • A determináns definíciója - A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.
  • Sarrus szabály - Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására. 
  • A kifejtési tétel - Egy túl jó módszer a determináns kiszámplására.
  • Szinguláris és invertálható mátrixok - Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla. Regulárisnak pedig azokat, amelyeknek nem nulla. 
  • A determináns tulajdonságai - Remek tulajdonságai vannak a determinánsoknak. 
  • Sajátvektor - Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.
  • Sajátérték - Egy mátrix  sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.
  • Karakterisztikus egyenlet - A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet. 
  • A diagonális alak - Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.
  • Mátrixok definitsége - Hát ez is egy érdekes ügy. 
  • Kvadratikus alakok - Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...
  • Kvadratikus alakok definitsége - A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget. 
 

LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK

INTEGRÁLÁS, PRIMITÍV FÜGGVÉNY

  • Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
  • Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
  • Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
  • Alapintegrálok - Tekintsük át a fontosabb függvények integráljait.
  • Integrálási szabályok - Lássuk, milyen integrálási szabályok vannak... 
  • Szorzatok integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak szorzatok integrálására. 
  • Törtek integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak törtek integrálására. 
  • Parciális integrálás - Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.
  • Összetett függvények integrálása - Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
  • Helyettesítéses integrálás - Bizonyos esetekben érdemes bevezetni egy helyettesítést, amivel az integrálás egyszerűbbé válik. Nézzük meg, hogyan! 
  • Parciális törtek - A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.
  • Racionális törtfüggvények integrálása - A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.
  • Polinomosztás - A parciális törtekre bontás előtt néha polinomosztás is kell. Nézzük mikor és hogyan.
  • Trigonometrikus függvények integrálása - A trigonometrikus kifejezések integrálása meglehetősen vicces feladat. Csak jó humorérzékűeknek ajánlott...
  • Tangens x-feles helyettesítés - Az egyik legfontosabb helyettesítéses integrálási módszer elsőfokú trigonometrikus kifejezéseket tartalmazó törtekre.

HATÁROZOTT INTEGRÁLÁS

  • Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
  • Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
  • Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
  • Két függvény közötti terület kiszámolása - Néhány tipikus feladat két függvény grafikonjai által közrezárt terület kiszámítására.
  • Improprius integrál - Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása.

SOROK

 

HATVÁNYSOROK ÉS TAYLOR SOROK

FOURER SOROK

 

KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

  • Mik azok a kétváltozós függvények? - Néhány elképesztően izgalmas példa kétváltozós függvényekre.
  • Lokális szélsőértékek - A kétváltozós függvények minimumai és maximumai olyanok, mint hegycsúcsok és völgyek.
  • Nyeregpont - Ez egy speciális pont a kétváltozós függvények felületén, amely bizonyos irányok szerint maximum, míg más irányok mentén minimum.
  • Parciális deriválás - A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
  • x szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol x-et tekintjük változónak.
  • y szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol y-t tekintjük változónak.
  • Másodrendű deriváltak - Az első deriváltak tovább deriválása újra parciális deriválással történik. Így négy darab másodrendű deriváltat kapunk. Két tiszta másodrendű deriváltat és két vegyes másodrendű deriváltat. 
  • Young tétel - A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.
  • Stacionárius pont - Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
  • Hesse mátrix - A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen gyeregpontja van-e.
  • Érintősík - Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ezesetben most egy sík lesz az érintő. 
  • Az érintősík normálvektora - Az érintősík normálvektora a parciális derivltakból keletkező vektor, amit gradiensnek vagy másként deriváltvektornak is neveznek. 
  • Gradiens - A parciális derivltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek. 
  • Deriváltvektor - A parciális derivltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek. 
  • Iránymenti derivált - Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.
  • Implicit deriválás tétele - Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.
 

KETTŐS ÉS HÁRMAS INTEGRÁL

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK

 

LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ

Visszajelzés