14 témakör, 236 rövid és szuper érthető lecke
Ez a remek Analízis 2 kurzus 236 rövid és szuper-érthető tananyag, 20 pdf és 32 tesztfeladatsor segítségével 14 témakörön keresztül vezet végig az izgalmas Analízis 2 rögös útjain. Mindezt olyan könnyed stílusban, mintha csak a rántotta elkészítésének problémájáról lenne szó.
Tartalomjegyzék:
A kurzus 14 szekcióból áll: Mátrixok, vektorok, vektorterek, Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze, Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések, Határozatlan integrálás, Határozott integrálás, Paraméteres görbék, Differenciálegyenletek, Izoklinák, Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok, Fourier sorok, Kétváltozós függvények, Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság, Kettős és hármas integrál, Laplace transzformáció
MÁTRIXOK
- Mátrixok - A mátrixok rendkívül barátságosak. Egy nXk-as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, aminek n darab sora és k darab oszlopa van.
- Mátrix műveletek - Skalárral szorzás, mátrixok összeadása, mátrixok szorzása..
- Négyzetes és diagonális mátrixok - A négyzetes mátrix azt jelenti, hogy ugyanannyi sora van, mint ahány oszlopa. A diagonális mátrix olyan négyzetes mátrix, aminek a főátlón kívüli elemei nullák.
- Transzponált - A transzponálás tükrözi a mátrixot a főátlóra. Nézzük meg, hogyan.
VEKTOROK
- Skaláris szorzat - A skaláris szorzat két vektor közti művelet, ami csinál belőlük egy számot.
- Vektoriális szorzat - Ez pedig egy olyan szorzás, amely a két vektorból csinál egy harmadik vektort..
- Diadikus szorzat - Két vektor diadikus szorzata egy mátrix. Lássuk milyen..
- Két vektor közti szög - Két vektor által bezárt szög kiszámolása a skaláris szorzat segítségével.
EGY KIS GEOMETRIA
- Az egyenes egyenlete - Az egyenes síkbeli egyenlete és az egyenes térbeli egyenletrendszere.
- A sík egyenlete - Lássuk mi lesz a sík egyenlete - térben.
- Két pont közti vektor - Síkban és térben.
- Két pont távolsága - Síkban és térben.
VEKTORTEREK
- Az axiómák - Végre valami izgalom...
- Koordináták - A valós feletti n dimenziós vektortér jele Rn ahol n a vektorok koordinátáinak számát jelöli.
- Lineárisan független vektorok - Egy vektorrendszer elemei linárisan függetlenek, ha egyik vektor sem állítható elő a többi segítségével.
- Lineárisan összefüggő vektorok - Egy vektorrendszer elemei linárisan összefüggők, ha van olyan vektor közöttük, amelyik előállítható a többi vektor segítségével.
- Generátorrendszer - Vektorknak egy halmaza, amely segítségével minden egyéb vektortérbeli vektor előállítható. Lássuk hogyan.
- Bázis - A lineárisan független generátorrendszer.
- Alterek - W altér V-ben, ha részhalmaza és maga is vektortér a V-beli műveletekre. Nos ez remek, de nézzük meg, mit is jelet mindez.
- Rang - Vektorrendszer rangja és mátrix rangja.
- Gram-Schmidt ortogonalizáció - Egy remek délutáni program, amivel egy bázisból olyan bázist lehet fabrikálni, ahol a bázisvektorok egymásra merőlegesek.
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
- Együttható mátrix - Az egyenletrendszer együtthatóiból álló mátrix.
- Gauss elimináció - Az egyenletrendszer megoldásának egy szuper, de koránt sem a legszuperebb módja.
- Elemi bázistranszformáció - Az egyenletrendszerek megoldásának legszuperebb módja.
- Szabadságfok - A szabad változók száma, amelyeket nem lehet levinni a bázistranszformáció során.
- Rang - A transzformációba bevont változók száma.
- Vektorrendszer rangja - A vektorrendszerben a lineárisan független vektorok maximális száma. Lássuk hogyan számolható ki.
- Végtelen sok megoldás, általános megoldás - Mikor van az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása? Az általános megoldás kiszámolása..
- Inverz mátrix nxn-es eset - Lássuk hogyan kell kiszámolni mátrixok inverzét. Kezdjük az nxn-es mátrixokkal.
- Inverz mátrix nxk-as eset - Most pedig olyan mátrixok inverzét próbáljuk meg kiszámolni, amelyek nem négyzetesek.
A DETERMINÁNS, SAJÁTÉRTÉK, SAJÁTVEKTOR
- A determináns definíciója - A determináns úgy működik, hogy minden négyzetes mátrixból csinál egy valós számot. Hogy miért, és, hogy hogyan, az mindjárt kiderül.
- Sarrus szabály - Egy nem túl jó módszer a determináns kiszámolására.
- A kifejtési tétel - Egy túl jó módszer a determináns kiszámplására.
- Szinguláris és invertálható mátrixok - Azokat a mátrixokat nevezzük szingulárisnak, amelyek determinánsa nulla. Regulárisnak pedig azokat, amelyeknek nem nulla.
- A determináns tulajdonságai - Remek tulajdonságai vannak a determinánsoknak.
- Sajátvektor - Egy mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, ami azt tudja, hogy megszorozva a mátrixszal az eredeti vektor skalárszorosát kapjuk. Ez igazán remek, de, hogy pontosan miért, nos ez mindjárt kiderül.
- Sajátérték - Egy mátrix sajátértéke egy valós szám, amely azt mondja meg, hogy a sajátvektor hányszorosát kapjuk akkor, ha azt a mátrixszal szorozzuk.
- Karakterisztikus egyenlet - A sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet.
- A diagonális alak - Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor képesek vagyunk előállítani a mátrix diagonális alakját. Lássuk ez miért ilyen roppant fontos.
- Mátrixok definitsége - Hát ez is egy érdekes ügy.
- Kvadratikus alakok - Éjszaka nem ajánlatos összefutni velük az utcán...
- Kvadratikus alakok definitsége - A kvadratikus alakok mátrixa segít eldönteni a definitséget.
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK
- Lineáris transzformációk és mátrixaik - Egy lineáris transzformáció a V1 és V2 vektorterek közötti leképezés.
- Képtér - A képtér egy olyan altér V2-ben, amely azokból a vektorokból áll, amiket a V1-beli vektorokból csinál a leképezés.
- Magtér - A magtér egy olyan altér V1-ben, amelyek képe a leképezés során nullvektor.
- Dimenzió tétel - A képtér és a amgtér dimenzióinak összege éppen V1 dimenziója.
- Transzformáció mátrixa - Minden lineáris leképezés jellemezhető mátrixokkal. Lássuk, hogyan.
- Inverz transzformáció - A transzformáció inverzének mátrixa az erdedeti transzformáció mátrix inverze.
- Sajátbázis - Ha a mátrixnak létezik diagonális alakja, akkor van sajátbázisa, ami fantasztikus dolgokra képes.
- A diagonális alak - A diagonális alak előállítása.
- Homomorfizmusok - Na ezek is jó dolgok.
- Hasonló mátrixok - Ha A és B mátrixokra van olyan C mátrix, hogy A=C-1BC akkor azt mondjuk, hogy A és B hasonló mátrixok.
- Origó körüli forgatás mátrixa - A forgatás mátrixa.
- x tengelyre tükrözés mátrixa - Az x tengelyre tükrözés mátrixa.
- Vetítés az x tengelyre - A projekció mátrixa.
INTEGRÁLÁS, PRIMITÍV FÜGGVÉNY
- Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
- Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
- Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
- Alapintegrálok - Tekintsük át a fontosabb függvények integráljait.
- Integrálási szabályok - Lássuk, milyen integrálási szabályok vannak...
- Szorzatok integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak szorzatok integrálására.
- Törtek integrálása - Lássuk, milyen módszerek vannak törtek integrálására.
- Parciális integrálás - Ezzel a remek módszerrel szorzatokat tudunk integrálni úgy, hogy egy bonyolultabb integrálásból csinálunk egy egyszerűbb integrálást.
- Összetett függvények integrálása - Összetett függvényeket általában akkor tudunk integrálni, ha azok meg vannak szorozva a belső függvényük deriváltjával. Van is erre egy remek kis képlet.
- Helyettesítéses integrálás - Bizonyos esetekben érdemes bevezetni egy helyettesítést, amivel az integrálás egyszerűbbé válik. Nézzük meg, hogyan!
- Parciális törtek - A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.
- Racionális törtfüggvények integrálása - A racionális törtfüggvények integrálásához a függvényeket parciális törtekre kell bontani, majd a parciális törteket egyesével integrálni.
- Polinomosztás - A parciális törtekre bontás előtt néha polinomosztás is kell. Nézzük mikor és hogyan.
- Trigonometrikus függvények integrálása - A trigonometrikus kifejezések integrálása meglehetősen vicces feladat. Csak jó humorérzékűeknek ajánlott...
- Tangens x-feles helyettesítés - Az egyik legfontosabb helyettesítéses integrálási módszer elsőfokú trigonometrikus kifejezéseket tartalmazó törtekre.
HATÁROZOTT INTEGRÁLÁS
- Határozott és határozatlan integrálás - A határozott integrálással függvények görbéje alatti területeket tudunk kiszámolni, míg a határozatlan integrálással az úgynevezett primitív függvényt tudjuk meghatározni. A kétféle integrálás között a Newton-Leibniz formula létesít kapcsolatot.
- Primitív függvény - Egy f(x) függvény primitív függvénye az a F(x) függvény, amelyet deriválva f(x)-et kapjuk.
- Newton-Leibniz formula - A tétel, amely ezt a kapcsolatot leírja, az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.
- Két függvény közötti terület kiszámolása - Néhány tipikus feladat két függvény grafikonjai által közrezárt terület kiszámítására.
- Improprius integrál - Végtelenbe nyúló tartományok területének kiszámolása.
SOROK
- Mik azok a végtelen sorok? - A bolha ugrásai a számegyenesen.
- Konvergens és divergens sorok - Mikor konvergens és mikor divergens egy sor?
- A mértani sor - A mértani sor képlete, példák mértani sorokra.
- A mértani sor összegképlete - A mértani sorok összegének kiszámolása.
- Konvergenciakritériumok - A sorok konvergenciájának megállapítására vonatkozó képletek.
- Hányados-kritérium - Egy fontos konvergenciakritérium.
- Gyök-kritérium - Egy másik fontos konvergenciakritérium
- Leibniz-sorok - Speciáli sorok.
- Összehasonlító kritérium - A majoráns és a minoráns kritérium.
- Sorok összegének kiszámítása - Néhány trükk a sorok összegének meghatározására.
- Teleszkopikus sorok - Olyan sorok, amelyek valójában az első és az utolsó tagon kívül semmilyen más tagot nem tartamaznak.
- Hatványsorok - A végtelen sorok egy speciális fajtája.
- Konvergeciasugár - A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.
- Konvergencia tartomány - A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.
HATVÁNYSOROK ÉS TAYLOR SOROK
- Taylor Polinom és Taylor sor - Arra való, hogy különböző függvényeket polinomok segítségével közelítsünk, illetve előállítsuk hatványsorukat. Nagyon izgi - tényleg...
- Lagrange-féle maradéktag - Próbáljuk meg számológép nélkül kiszámolni 4 tizedesjegy pontossággal, hogy mennyi cos1. Nos erre jó a Lagrange-féle maradéktag.
- Hatványsorok - A végtelen sorok egy speciális fajtája.
- Konvergeciasugár - A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.
- Konvergencia tartomány - A hatványsorok konvergenciájának vizsgálata.
- Hatványsorba fejtés - Bizonyos függvények hatványsora előállítható a mértani sor összegképletének segítségével.
- Binomiális sor - Na ez is marhajó.
FOURER SOROK
- Mik azok a Fourier sorok - A Fourier sorok speciális függvénysorok, amelyeket periodikus függvényekre fejlesztettek ki.
- Fourier együtthatók - A Fourier sorokban szereplő együtthatókat sajna trigonometrikus függvények integrálásával tudjuk kiszámolni, ami néha egyáltalán nem kellmes.
- Fourier sorba fejtés - Lássunk néhány példát a Fourier sor kiszámolására.
- Fourier sor páratlan függvényeknél - Páratlan függvények Fourier sora részletes megoldással.
- Fourier sor páros függvényekre - Ez is nagyon izgalmas lesz...
- Fourier soros feladatok - Néhány izgalmas Fourier soros feladat részletes megoldással.
KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
- Mik azok a kétváltozós függvények? - Néhány elképesztően izgalmas példa kétváltozós függvényekre.
- Lokális szélsőértékek - A kétváltozós függvények minimumai és maximumai olyanok, mint hegycsúcsok és völgyek.
- Nyeregpont - Ez egy speciális pont a kétváltozós függvények felületén, amely bizonyos irányok szerint maximum, míg más irányok mentén minimum.
- Parciális deriválás - A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
- x szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol x-et tekintjük változónak.
- y szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol y-t tekintjük változónak.
- Másodrendű deriváltak - Az első deriváltak tovább deriválása újra parciális deriválással történik. Így négy darab másodrendű deriváltat kapunk. Két tiszta másodrendű deriváltat és két vegyes másodrendű deriváltat.
- Young tétel - A vegyes másodrendű deriváltak mindig egyenlők, ha a függvény kétszer folytonosan deriválható.
- Stacionárius pont - Az elsőrendű parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve egy egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenletrendszernek a megoldásai a stacionárius pontok.
- Hesse mátrix - A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen gyeregpontja van-e.
- Érintősík - Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ezesetben most egy sík lesz az érintő.
- Az érintősík normálvektora - Az érintősík normálvektora a parciális derivltakból keletkező vektor, amit gradiensnek vagy másként deriváltvektornak is neveznek.
- Gradiens - A parciális derivltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.
- Deriváltvektor - A parciális derivltakból keletkező vektort gradiensnek vagy másként deriváltvektornak neveznek.
- Iránymenti derivált - Azt mondja meg, hogy egy adott irányban haladva milyen meredeken emelkedik a felület. Nagyon érdekes. Az iránymenti derivált nagyon érdekes.
- Implicit deriválás tétele - Megismerkedünk az implicit függvényekkel, és ha már megismerkedtünk, nézzük meg, hogyan lehet deriválni őket.
KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS TOTÁLIS DERIVÁLHATÓSÁGA
- Kétváltozós függvények határértéke - Az egyváltozós függvények határértékének epszilon-deltás definícióját átültetjük a kétváltozós esetre.
- Módszerek a kétváltozós határérték kiszámolására - Megnézünk néhány kétváltozós határértéket és azt, hogy hogyan számoljuk ki őket.
- A totális differenciálhatóság - Hogyan vihatő át a deriválás szemléletes jelentése egyváltozós függvényekről kétváltozós függvényekre?
- Parciális deriválás - A kétváltozós függvényeket x és y szerint is tudjuk deriválni. Ezeket a különböző változók szerinti deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
- x szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol x-et tekintjük változónak.
- y szerinti derivált - A kétváltozós függvény azon parciális deriváltja, ahol y-t tekintjük változónak.
- Érintősík - Az egyváltozós függvények mintájára bevezetjük az érintő fogalmát. Ezesetben most egy sík lesz az érintő.
- Az érintősík normálvektora - Az érintősík normálvektora a parciális derivltakból keletkező vektor, amit gradiensnek vagy másként deriváltvektornak is neveznek.
KETTŐS ÉS HÁRMAS INTEGRÁL
- A kettősintegrál - A kettősintegrál kétváltozós függvények által meghatározaott felületek alatt elhelyezkedő térfogatok kiszámolására valók.
- Példák kettősintegrálra - Néhány feladat kettősintegrálok kiszámolására.
- x és y szerinti integrálás - A parciális deriválás megfordításaként először x majd y szerint integrálunk.
- Kettősintegrál normáltartományokon - Integrálás függvények által határolt tartományok felett.
- Az integrálás sorrendjének felcserélése - Vannak olyan esetek, amikor nem segít más, mint felcserélni az integrálás sorrendjét.
- Polárkoordináták - Az x és y hagyományos koordináták helyett egy pontot azzal jellemeznek, hogy milyen távol van az origótól és mekkora annak a szakasznak a forgás-szöge, amely az origóból a pontba vezet.
- Polárkoordinátás helyettesítés - Bizonyos kettősintegrálok kiszámolását megkönnyíti, ha inkább polárkoordinátákat használunk.
- A hármas integrál - Na itt már egy testen integrálunk négydimenziós függvényeket...
- Hengerkoordináták - A síkbeli polárkoordináták egyik térbeli kiterjesztése - de nem az igazi...
- Gömbi koordináták - A síkbeli polárkoordináták egy másik térbeli kiterjesztése - na ez az igazi...
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
- Mese a differenciálegyenletekről - A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amelyben az ismeretlenek függvények. Nos ez írtó izgi lesz...
- A differenciálegyenlet rendje - Azt mondja meg, hogy az ismeretlen függvény maximum hanyadik deriváltja szerepel az egyenletben.
- A differenciálegyenlet linearitása - Na ez egy határozottan jó tulajdonság, ami megkönnyíti az életünket.
- A differenciálegyenletek típusai - Készítünk egy listát a főbb típusokról, majd elkezdjük sorra venni a megoldási módszereket.
- Szeparábilis differenciálegyenlet - A legegyszerűbb típus, amin érdemes gyakorlatozni, hogy a bonyolultabb típusok megoldása előtt legyen egy kis rutin.
- Homogén fokszámú differenciálegyenlet - Na ez egy érdekes és kicsit speciális állatfajta, de tanulságos.
- Egzakt differenciálegyenlet - A differenciálegyenletek második fő típusa, sok helyen nincs benne a tananyagban.
- Integráló tényező - Vannak olyan egyenletek, amelyek ugyan nem egzaktak, de egy ügyes trükk segítségével egzakttá tehetők. Itt jön a trükk...
- Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet - Az egyik legfontosabb típus az y'+Py=Q alakú differenciálegyenlet, amelyre egy részletes megoldási tervet adunk.
- A v(x) függvény - Az y'+Py=Q alakú elsőrendű lineáris differenciálegyenlet egyik megoldási módszerében szereplő függvény.
- Lagrange szorzó - Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet egyik megoldási módszerében szereplő v(x) függvény.
- Elsőrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet - Egy speciális típus az y'+ay=Q alakú differenciálegyenlet, amelyet a próbafüggvéyn módszerrel oldunk meg.
- A próbafüggvény módszer - Egy olyan megoldási módszer, ahol a homogén egyenlet megoldása után a partikuláris megoldást határozatlan együtthatókkal keressük.
- Rezonancia elsőrendű egyenleteknél - Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...
- Homogén egyenlet - Azokat az egyenleteket nevezzük homogénnek, ahol nincs az ismeretlen függvényt tartalmazótól különböző tag. y"+ay'+by=0 alakú esetekkel fogunk foglalkozni.
- Homogén megoldás - A homogén egyenlet megoldása.
- Parikuláris megoldás - Az úgynevezett zavaró függvény alapján létrejövő megoldás, amit például a próbafüggvény módszer segítségével kaphatunk meg.
- Másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet - Egy speciális típus az y"+ay'+by=Q alakú differenciálegyenlet, amelyet a próbafüggvéyn módszerrel oldunk meg.
- Rezonancia másodrendű egyenleteknél - Ez olyankor van, ha a homogén megoldás és a partikuláris megoldás hasonlít egymásra. Lássuk mit is jelent ez...
LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ
- A Laplace transzformált kiszámolása - Hát ez egy elég rémes improprius integrálás, de azért kimondottan hasznos, tehát megér egy megnézést...
- Néhány függvény Laplace transzformáltja - Kiszámoljuk pár nevezetes függvény Laplace transzformáltját.
- Összeg és szorzat Laplace transzformáltja - Megnézzük hogyan viselkedik a Laplace transzformált összegeknél és szorzatoknál.
- Laplace transzformált táblázat - Fontosabb függvények Laplace transzformáltjai.
- Differenciálegyenletek megoldása Laplace transzformációval - Ez egy remek kis módszer az állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldására.
- Inverz Laplace transzformáció - Ez a Laplace transzformált vissza-iránya, ami a differenciálegyenletek megoldásának a végén tartogat izgalmakat.
- Elsőrendű differenciálegyenletek megoldása Laplace transzformációval - Ez egy remek kis módszer az állandó együtthatós elsőrendű differenciálegyenletek megoldására.
- Másodrendű differenciálegyenletek megoldása Laplace transzformációval - Ez egy remek kis módszer az állandó együtthatós másodrendű differenciálegyenletek megoldására.
