Analízis 2 epizód tartalma:
Itt röviden és szuper-érthetően meséljük el neked, hogy mik azok a kvadratikus alakok. | Kvadratikus alakok mátrixa, Polinomok, Homogén polinomok, Kvadratikus alak felírása mátrix alapján. |
Ha szimmetrikus mátrix és egy vektor -ben, akkor a
kifejezést kvadratikus alaknak nevezzük.
Ezek a kvadratikus alakok nagyon barátságosak, nézzünk is meg egy példát.
Legyen mondjuk
és
A hozzájuk tartozó kvadratikus alak
Számoljuk ki. A szorzásokat kell hozzá elvégezni, kezdjük hátulról.
Aztán még ezeket is összeszorozzuk.
És felbontjuk a zárójeleket.
Íme itt a kvadratikus alak.
Azért hívják kvadratikusnak vagyis négyzetesnek, mert ez mindig egy homogén másodfokú kifejezés. Ez azt jelenti, hogy az x-ek vagy négyzeten vannak benne,
vagy elsőfokúak, de akkor meg vannak szorozva egy másik elsőfokúval és így az is négyzetesnek számít.
Nézzünk meg egy másik kvadratikus alakot is.
és
Most az mátrix -as, így az vektornak is 3 koordinátája van.
Rettenetes lenne viszont megint elvégezni a szorzásokat, főleg, hogy most -as.
Szerencsére van itt egy trükk. Nem is olyan nagy trükk.
A kvadratikus alak valahogy úgy fog kinézni, hogy lesz benne aztán lesz és , meg lesznek vegyes tagok.
A kérdés csak az, hogy hány darab lesz ezekből. A válasz pedig éppen az mátrix.
Hát ez kész.
A dolog fordítva is működik, tehát ha van egy kvadratikus alak, akkor abból fel tudjuk írni a mátrixát.
ez például jó is:
Van itt egy kvadratikus alak:
A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,
egy olyan vektort amire
és egy olyan vektort amire
Olyan vektort könnyű találni,
amire a kvadratikus alak pozitív.
Olyat már nehezebb, amire negatív,
de azért ilyen is van.
Aztán van itt egy másik kvadratikus alak is:
A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,
egy olyan vektort amire
és egy olyan vektort amire
Olyat most is könnyű találni,
amire a kvadratikus alak pozitív.
próbáljuk ki ezt:
Olyat viszont nehezebb, amire negatív.
Sőt, nemhogy nehezebb, hanem lehetetlen.
Ez a kvadratikus alak tehát
tud pozitív és negatív is lenni.
Ez a kvadratikus alak viszont
csak pozitív tud lenni
A kvadratikus alakoknak ezekkel az érdekes szokásaival fogunk most foglalkozni.
A kvadratikus alak
pozitív definit, ha minden
vektorra
negatív definit, ha minden
vektorra
pozitív szemidefinit, ha minden
vektorra
negatív szemidefinit, ha minden
vektorra
indefinit, ha van olyan és ,
hogy és
A definitség eldöntésében a kvadratikus alak mátrixa segít minket.
ha a kvadratikus alak mátrixa
pozitív definit
ha a kvadratikus alak mátrixa
negatív definit
ha a kvadratikus alak mátrixa
pozitív szemidefinit
ha a kvadratikus alak mátrixa
negatív szemidefinit
ha a kvadratikus alak mátrixa
indefinit
Van itt egy kvadratikus alak, a feladatunk az, hogy döntsük el a definitségét.
Lássuk a mátrixot!
Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.
Ehhez lássuk a sarokfőminorokat.
első sarokfőminor:
3
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
ez tutira 13
Hát úgy tűnik ez egy pozitív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is pozitív definit.
Nézzünk meg egy másikat is.
Van itt egy másik kvadratikus alak is, döntsük el ennek is a definitségét.
Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.
Ehhez jönnek a sarokfőminorok.
első sarokfőminor:
-5
második sarokfőminor:
harmadik sarokfőminor:
Hát úgy tűnik ez egy negatív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is negatív definit.