Analízis 2 képsor tartalma:

Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet megoldása, A karakterisztikus egyenlet, A karakterisztikus egyenlet megoldása, Két valós megoldás esete, Egy valós megoldás esete, Két komplex megoldás esete, Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet megoldóképlete, A differenciálegyenlet megoldása.

A képsor tartalma

Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet

Íme itt van ez az egyenlet.

Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.

Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.

Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.

De szerencsére ez a típus kivétel.

Lássuk mit kell tenni vele.

Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami

Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.

Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.

A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.

A differenciálegyenlet megoldása:

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van és akkor

Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor

Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van

És most lássuk a megoldást.

A karakterisztikus egyenlet:

Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.

Itt jön a karakterisztikus egyenlet:

Hát ez se volt túl nehéz.

Végül nézzük meg a harmadik típust.

Nos itt van egy kis gond.

Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.

Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy

Most pedig lássuk a megoldást.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.

Lássuk, mi történik olyankor.

A homogén egyenlet és megoldása:

Ha két valós megoldása van:

Ha egy valós megoldása van:

Ha két komplex megoldása van:

Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)

Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.

Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,

utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.

A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos

karakterisztikus egyenletet.

És most jöhet a partikuláris megoldás.

Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.

Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.

De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,

vagy éppen trigonometrikus.

A partikuláris megoldás

Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

És az általános megoldás:

Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.

Van azonban itt még egy kis bökkenő.

Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.

A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.

Most tehát nincs rezonancia,

de a következő képsorban lesz…

A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.

Van itt ez az egyenlet:

A homogén egyenlet megoldása:

És most jöhet a partikuláris megoldás.

Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.

A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.

A konstans szorzó ilyenkor nem számít.

És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.

Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.

Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.

Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.

Megjelent a rezonancia.

Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.

Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia

így aztán kell még egy x-es szorzó.

Ezt hívjuk kettős rezonanciának.

A megoldás innentől a szokásos.

Szokásosan unalmas.

Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.

Van itt ez a két egyenlet:

A karakterisztikus egyenletek:

A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy

Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha

És ilyenkor a próbafüggvény:

 

Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet

11
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet megoldása, A karakterisztikus egyenlet, A karakterisztikus egyenlet megoldása, Két valós megoldás esete, Egy valós megoldás esete, Két komplex megoldás esete, Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet megoldóképlete, A differenciálegyenlet megoldása.

Itt jön egy fantasztikus
Analízis 2 képsor.
Végül is miért ne néznél meg
még egy képsort?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!