Néhány nagyon vicc es mátrixokkal kapcsolatos fogalommal fogunk megismerkedni.

Az első ilyen fogalom a sarokdetermináns vagy másnéven sarokfőminor.

Van itt egy mátrix:

Ennek a mátrixnak az első sarokfőminora ez a 2-es

A második sarokfőminor a

bal felső -es determináns

A harmadik sarokfőminor a

bal felső -as determináns

Ennek kiszámolása elég unalmas, de a kifejtési tétellel az jön ki, hogy

A negyedik sarokfőminor pedig

az egész mátrix determinánsa

Amit még az előzőnél is unalmasabb kiszámolni, de a kifejtési tétel szerint

A másik nagyon vicces fogalom a mátrixok definitsége lesz.

A definitség megállapításához pedig éppen ezek a főminorok fognak nekünk kelleni, pontosabban az, hogy milyen előjelűek.

Most éppen az első sarokfőminor pozitív, a második szintén pozitív,

a harmadik és negyedik pedig negatív.

Lássuk a definitséget.

Az -es mátrix

pozitív definit,

ha

negatív definit,

ha

pozitív szemidefinit,

ha

negatív szemidefinit,

ha

indefinit,

ha

minden sajátérték:

minden sajátérték:

minden sajátérték:

minden sajátérték:

van és sajátérték

és

-es mátrixoknál a definitség a sarokfőminorok alapján is eldönthető:

mindkét sarokfőminor

pozitív

az első negatív, a

második pozitív

az első pozitív, a

második nulla

az első negatív, a

második nulla

a többi esetben

-es mátrixoknál a definitség már nehezebben dönthető el a sarokfőminorok alapján:

minden sarokfőminor

pozitív

váltakozva - + - +

de mínusszal indul

Ha és nem az előző két esettel van dolgunk,

akkor biztosan indefinit.

Ha akkor nem tudni, ilyenkor csak

a sajátértékek kiszámolásával dönthető el.

Lássunk néhány mátrixot és állapítsuk meg a definitségüket.

Vannak itt ezek a mátrixok, döntsük el, hogy milyen definitek.

A sajátértékeket csak a legvégső esetben számoljuk ki, ha a sarokfőminorokkal szerencsétlenül járunk. Kezdjük az -val.

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Az mátrixnak minden sarokfőminora pozitív, tehát pozitív definit.

Nézzük mi van a mátrixszal.

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Itt is jön a kifejtési tétel, de nem szeretnék senkit untatni vele, az eredmény -15

A mátrix sarokfőminorai váltakozó előjellel - + - + - … ezért negatív definit.

Jöhet a .

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Már megint a kifejtési tétel, de ne húzzuk az időt, az eredmény 1

A sarokfőminorok itt is váltakozó előjelűek, de most + - +

Negatív definit csak olyankor van, ha a váltakozás mínusszal indul, tehát ez most nem lehet negatív definit.

Pozitív definit sem, mert akkor minden sarokfőminor pozitív, tehát marad a két szemidefinit és az indefinit.

A szemidefiniteknél viszont a mátrix determinánsa nulla.

Most ami nem éppen nulla, tehát indefinit.

A mátrix sarokfőminorai alapján nem lehet pozitív vagy negatív definit,

viszont miatt szemidefinit sem lehet ezért indefinit.

Végül lássuk mi van -vel.

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Hát ennél rosszabb nem is történhetett volna.

Ha a mátrix determinánsa nulla, akkor vagy valamelyik

szemidefinit vagy indefinit, de csak úgy tudjuk eldönteni,

ha kiszámoljuk a sajátértékeit.

Lássuk tehát a sajátértékeket.

A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki

Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.

Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.

és összevonunk

végül kiemelünk

A sajátértékek:

Kiemelünk 3-at

Mindhárom sajátértékre teljesül, hogy

a mátrix tehát pozitív szemidefinit.

Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig

különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-

vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.

Így hát is diagonalizálható.

Lássuk a hasonló mátrixokat!

így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,

csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.