Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Analízis 2

Kategóriák
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás
  • Paraméteres görbék
  • Differenciálegyenletek
  • Izoklinák
  • Lineáris rekurzió
  • Laplace transzformáció
  • Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok
  • Fourier sorok
  • Mátrixok, vektorok, vektorterek
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
  • Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések
  • Kétváltozós függvények
  • Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság
  • Kettős és hármas integrál

Kétváltozós függvények

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
Parciális deriválás teszt
01
 
A kétváltozós függvények és a parciális deriválás
02
 
Érintősík teszt
02
 
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 1.0
03
 
Egyszerűbb kétváltozós függvények szélsőértékei és nyeregpontjai
03
 
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 2.0
04
 
Nehezebb kétváltozós függvények szélsőértékei és nyeregpontjai
04
 
Feltételes szélsőérték, Lagrange multiplikátor
05
 
Feltételes szélsőérték behelyettesítéssel
06
 
Kétváltozós függvények szintvonalai
07
 
Feltételes szélsőérték szintvonalakkal és a két másik módszerrel
08
 
Az érintősík egyenlete
09
 
Gradiensvektor, iránymenti derivált
10
 
Az implicit függvény deriválása
11
 
Gazdasági feladat kétváltozós függvényekkel
12
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
13
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
14
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
15
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
16
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
17
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
18
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
19
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
20
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
21
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
22
 
FELADAT | Érintősík egyenlete
23
 
FELADAT | Érintősík egyenlete
24
 
FELADAT | Érintősík egyenlete
25
 
FELADAT | Érintősík egyenlete
26
 
FELADAT | Érintősík egyenlete
27
 
FELADAT | Totális derivált
28
 
FELADAT | Első- és másodrendű derivált
29
 
FELADAT | Első- és másodrendű derivált
30
 
FELADAT | Gradiens
31
 
FELADAT | Gradiens
32
 
FELADAT | Gradiens
33
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
34
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

Kétváltozós függvény

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot. Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.

Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint a sík pontjainak koordinátáit.

A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy harmadik koordinátát, egy magasságot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x, y sík felett a függvény, ami egy felület.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Parciális deriválás a gyakorlatban

Az $ f(x,y) $ függvény $x$ szerinti parciális deriváltja:

\( f'_x (x,y) \)

Ez azt jelenti, hogy $x$ szerint deriválunk, $y$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $x$-essel, akkor marad

Az $ f(x,y) $ függvény $y$ szerinti parciális deriváltja:

\( f'_y (x,y) \)

Ez azt jelenti, hogy $y$ szerint deriválunk, $x$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $y$-ossel, akkor marad

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Young-tétel

A Young-tétel szerint vegyes másodrendű deriváltak egyenlők (egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható):

\( f''_{xy} (x,y) = f''_{yx} (x,y) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hesse mátrix

A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai

Első lépés:

\( \frac{ \delta f}{\delta x} = f'_x (x,y) \qquad \frac{ \delta f}{ \delta y} = f'_y (x,y) \)


Második lépés:

\( f'_x (x,y)=0 \)

\( f'_y (x,y)=0 \)

Az egyenletrendszer megoldásai a stacionárius pontok


Harmadik lépés:

\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)

Ha $ det  \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} > 0$, akkor lokális minimum van.

Ha $ det  \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} < 0$, akkor lokális maximum van.

Ha $ det  \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ negatív, akkor nyeregpont van.

Ha $ det  \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Stacionárius pont kétváltozós függvényre

Az $f(x,y)$ függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla, az $f(x,y)$ függvény stacionárius pontjainak nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Stacionárius pont többváltozós függvényre

Ha az $f$ többváltozós függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontban léteznek $f$ első parciális deriváltjai és

\( \delta_1 f(x_0)= \delta_2 f(x_0) = \dots = \delta_k f(x_0) = 0 \)

akkor $x_0$ az $f$ többváltozós függvény stacionárius pontja.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Szintvonal

A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans értéket veszi fel, azaz $f(x,y)=c$, az $f$ függvény szintvonalának nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Az érintősík egyenlete

Az $f(x)$ függvényhez a $P(x_0,y_0, z_0)$ pontban húzott érintősík egyenlete:

\( z=f'_x (x_0,y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+f(x_0,y_0) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gradiensvektor

Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.

Íme a derivált-vektor:

\( \underline{f}'(x_0,y_0)= \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \quad \text{röviden} \quad \underline{f}'=\begin{bmatrix} f'_x \\ f'_y \end{bmatrix} \)

A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Iránymenti derivált

Az iránymenti derivált azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetszőleges $\underline{v}$ irány mentén milyen meredeken emelkedik a függvény felülete.

Az $f(x,y)$ függvény $\underline{v}$ iránymenti deriváltja az $(x_0,y_0)$ pontban:

\( \frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta \underline{v} } = \underline{f}'(x_0, y_0) \cdot \underline{v} \)

(Itt $\underline{v}$ egységvektor)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Implicit függvény

Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Implicit függvény derivátlja

Ha $F(x,y)=0$ egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:

\( \frac{ \delta y }{\delta x} = - \frac{ F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)} \qquad \frac{ \delta x}{ \delta y} = - \frac{ F'_y(x,y)}{F'_x(x,y)} \)

 

Ha $F(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})=0$ egy $n$ változós implicit függvény, akkor az $x_i$, mint implicit függvény deriváltja az $x_j$ változó szerint:

\( \frac{ \delta x_i}{ \delta x_j} = - \frac{ F'_j (x_1, x_2, \dots , x_{n+1} ) }{ F'_i (x_1, x_2, \dots, x_{n+1} )} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Deriváljuk a következő függvényeket.

a) \( f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 \)

b) \( f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^3+y^3-3xy \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Keressük a következő függvények lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

a) \( f(x,y)=x^4+y^4-4xy \)

b) \( f(x,y)=e^{x-2}-x+\ln{\left( y^2+1 \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=xy+12$, a feltétel: $x^2+y^2=8$

b) $ f(x,y)=12-x^2-y^2 $, a feltétel: $x-y-4=0$

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=x^2+y^2+4 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $3x-y=2$

b) $ f(x,y)=x+y+4 \rightarrow \text{min.} $, a feltétel: $x^2+y^2=8$

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

$f(x,y)=4x^2+4y^2+5$, adjuk meg a szintvonalakat $c=0$, $c=5$, $c=10$ és $c=15$ esetben, utána pedig keressük meg a szélsőértékeket, és vizsgáljuk meg a konvexitást.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Keressük meg a szintvonalak segítségével a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=5x^2+5y^2 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $x-y=2$

b) $ f(x,y)=10xy \rightarrow \text{max.} $, a feltétel: $x+y=2$

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!

b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Számoljuk ki az $ f(x,y)=x^4-x^2y^3+\ln{x} $ iránymenti deriváltját a $ \underline{v}=(3,4) $ irány szerint az $(1,2)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Adjuk meg az $e^x+y^2=x^3+\ln{y}$ implicit függvény deriváltját!

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. Ha az $A$ típusú eladási ára \$x a $B$ típusúé \$y, akkor az alkalmazott áraktól függően az $A$ típusból $f(x,y)=29-3x+y$, a $B$ típusból pedig $g(x,y)=16+x-4y$, az eladható heti mennyiség 1000 darabban van megadva. Milyen eladási árakat kell alkalmazni, hogy a profit maximális legyen, ha az $A$ típusú termék előállítási költése \$2/darab míg a $B$ típusúé \$1/darab?

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=-x^3+30xy-30y^2+10 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=2x^2y+2xy-3y^2+10 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^3+2xy-4x^2-y^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=xy^2-y^2-2\ln{(xy)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=-8x+y+\frac{1}{x^2y} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=6xy-3x^2y-y^3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=2x^3+y^2+6xy+4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=2x+2y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^2+y^2+\frac{1}{x^2\cdot y^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)= \left( x^2-6x \right) \cdot \left( y^2-4y \right) \qquad x,y>0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(2,5, f(2,5))$ pontban!

\( f(x,y)= 4x^3y^2-xy-y^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(1,-1, f(1,-1))$ pontban!

\( f(x,y)= 6xy-3x^2y-y^3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Írjuk föl annak az érintősíknak az egyenletét, amely párhuzamos a $z=3x+2y-7$ síkkal és az $f(x)=2x^3y-y^2+3x$ függvényt érinti!

Megnézem, hogyan kell megoldani

25.

Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(0,2,1)$ pontban, az $f(x,y)=e^{\alpha \cdot x} + y \cdot \ln{ (xy^2+1)} $ függvényhez húzott érintő az $R(1,3,1)$ ponton?

Megnézem, hogyan kell megoldani

26.

Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(1,0,f(1,0))$ pontban, az $f(x,y)=\alpha \cdot x^2 \cdot e^y + y \cdot \ln{ (xy^2+\alpha) } $ függvényhez húzott érintő az $R(0,1,2)$ ponton?

Megnézem, hogyan kell megoldani

27.

Adjuk meg az $f(x,y)=2x \ln{ \left( x^2-xy^2-4 \right) }$ függvény totális deriváltját a $P(5,2)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

28.

Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!

\( f(x,y)=yx^5-2xy^3+4x-5 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

29.

Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!

\( f(x,y)=x^3-3xy^2-5y+e^{2x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

30.

Számoljuk ki az $f(x,y)=\arctan{\left( y^x \right) }$ gradiensét a $P_0 (1,2)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

31.

Számoljuk ki az $f(x,y)=\sin{ \left( \ln{\left( y^x \right) } \right)}$ gradiensét a $P_0(3,1)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

32.

Számoljuk ki az $f(x,y)=\cos{ \ln{ \left( x^y \right)} }$ gradiensét a $P_0(7,1)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

33.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( g(x,y)=2x^3-6xy+3y^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

34.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^2-xy+y^2+9x-6y+20 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt mindent megtudhatsz arról, hogy mik azok a kétvátozós függvények, és hogyan kell deriválni őket. Már mutatjuk is. Kétváltozós függvény szélsőértéke, Kétváltozós függvényeny nyeregpont, Lokális szélsőérték, Parciális deriválás, Parciális deriválás fogalma, Parciális deriválás feladatok megoldással, Parciális edrivált jele, x szerinti derivált, y szerinti derivált, x szerinti derivált jele, y szerinti derivált jele, Elsőrendű deriváltak, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Young tétel. Megmutatjuk azt is, hogy, hogyan kell kiszámolni kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait. Vicces lesz. Kétváltozós függvény szélsőértéke, Kétváltozós függvényeny nyeregpont, Lokális szélsőérték, Parciális deriválás, Parciális deriválás fogalma, Parciális deriválás feladatok megoldással, Parciális edrivált jele, x szerinti derivált, y szerinti derivált, x szerinti derivált jele, y szerinti derivált jele, Elsőrendű deriváltak, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Young tétel. Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Stacionárius pont, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit. Lesz szó arról, is, hogy mik akKétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Parciális deriválás, x szerinti derivált, y szerinti derivált, Elsőrendű deriváltak, Stacionárius pont, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit. Gyorsan és szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogy mi az a feltételes szélsőérték. Szemléletes ábrákon keresztül értheted meg a feltételes szélsőérték lényegét. Kiderül, mit jelent a Lagrange multiplikátor, megnézzük a Lagrange multiplikátor módszert és megoldunk néhány feltételes szélsőérték feladatot. Elmeséljük, hogyan lehet feltételes szélsőérték feladatokat megoldani behelyettesítéses módszerrel. Na persze nem mindig működik a behelyettesítés, olyankor marad a Lagrange-függvény. Megmutatjuk, mik azok a szintvonalak, hogyan lehet egy kétváltozós függvény szintvonalait fölrajzolni. Az is kiderül, hogy a szintvonalak hogyan segítenek abban, hogy a lokális szélsőértékeket és a függvény konvexitását megvizsgáljuk. Sőt, megnézzük mindhárom módszert a feltételes szélsőérték kiszámolására. A rajzolgatósat, a Lagrange-módszert és a behelyettesítéses módszert is. A derivált geometriai jelentése, Érintő, Érintősík, Az érintősík egyenlete, Az érintősík normálvektora, A parciális deriváltak és az érintősík. A parciális deriváltakból álló deriváltvektor, Gradiens, Iránymenti derivált, Milyen meredeken megy a hegymászó, Az iránymenti derivált kiszámolása, A gradiens irány. Végezetül pedig megtanulhatod, hogy mik azok az implicit függvények, Explicit és implicit módon megadott függvények deriválása, Az implicit deriválás, Az implicit függvények deriválásának képlete. Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Parciális deriválás, x szerinti derivált, y szerinti derivált, Elsőrendű deriváltak, Stacionárius pont, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit.



A kétváltozós függvények és a parciális deriválás

TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.

Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit.

A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy

harmadik koordinátát, egy magasságot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához                                

hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát,

kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai át-

örökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan

tulajdonságok, amik nem.

Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről

ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken.

A minimum és maximum fogalma viszont már átörökíthető.

Egy kétváltozós függvény maximumát úgy kell elképzelnünk, mit egy hegycsúcsot,

míg a minimumát pedig úgy, mint egy völgyet.

Lássunk néhány kétváltozós függvényt.

LOKÁLIS MINIMUM                              

NYEREGPONT                         

LOKÁLIS MAXIUM

A feladatunk az lesz, hogy kiderítsük, hol van a kétváltozós függvényeknek minimuma, maximuma,

vagy éppen ilyen nyeregpontja.

Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan most is deriválni kell majd,

itt viszont van x és y is, így hát x szerint és y szerint is fogunk deriválni,

ami kétszer olyan szórakoztató lesz.

Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

Lássuk a parciális deriváltakat.

PARCIÁLIS DERIVÁLTAK

Deriváljuk mondjuk ezt a függvényt.

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

   a deriválás során x-et deriváljuk, és y csak konstans

x szerint deriválunk,                                         

y most csak konstansnak számít,                       

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla                  

ha szorozva van valami x-essel, akkor marad      

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

a deriválás során y-t deriváljuk, és x csak konstans

y szerint deriválunk,

x most csak konstansnak számít,

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla

ha szorozva van valami y-ossal, akkor marad             

A parciális deriváltak jelölésére forgalomban van egy másik jelölés is.

Íme.

Mindkét jelölést használni fogjuk.

Itt jön egy másik függvény, deriváljuk ezt is.

ELSŐRENDŰ DERIVÁLTAK

MÁSODRENDŰ DERIVÁLTAK

Mindkét elsőrendű parciális deriváltat tovább deriválhatjuk x szerint is és y szerint is.

Így négy darab második deriváltat kapunk.

Ezek közül a két szélső az úgynevezett tiszta másodrendű derivált,

a két középső pedig a vegyes másodrendű derivált.

A vegyes másodrendű deriváltak általában egyenlők.

Nos egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható.

De inkább azt jegyezzük meg, hogy mindig egyenlők, kivéve a csak profiknak szóló részben, ahol a többváltozós deriválás precíz megfogalmazásáról lesz szó.

Most pedig lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.


Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 1.0

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum


Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 2.0

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

                  , ,

                 , ,

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum


Az érintősík egyenlete

Ha még emlékszünk rá, a derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége volt.

Az függvényhez a  pontban húzott érintő egyenlete:

Az egyváltozós függvények érintője egy egyenes, a kétváltozós függvények érintője egy sík.

A koordináták száma pedig eggyel nagyobb, tehát nem x és y, hanem x, y és z.

az egyváltozós függvényeknél a Az  függvényt a pontban érintő sík egyenlete:

Nos ez az érintősík egyenlete.

Lássunk egy példát.

Itt van mondjuk ez a függvény:

és keressük az érintősíkot a pontban.

Itt jön az érintősík egyenlete,

és ezeket kell kiszámolnunk.

Nos ez az érintősík egyenlete:

Ha felbontjuk a zárójeleket és nullára rendezzük,

akkor láthatjuk a sík normálvektorát.

És íme a normálvektor:

Az első két koordináta az x és y szerinti derivált,

a harmadik koordináta pedig mindig mínusz egy.

Milyen  paraméter esetén halad át a  pontban, az

 függvényhez húzott érintő az  ponton?

Egy sík akkor megy át egy ponton, ha az adott pont koordinátáit a sík egyenletébe helyettesítve az teljesül.


Gradiensvektor, iránymenti derivált

A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT

Az  függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort

derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.

Íme a derivált-vektor:

, röviden .

A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani

az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált

azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-

leges  irány mentén milyen meredeken emelkedik

a függvény felülete.

Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,

aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a

 irányban indul el.

Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.

Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a  egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.

Az  függvény  iránymenti deriváltja az  pontban:

       (itt  egységvektor)                  

Lássunk erre egy példát!

Számoljuk ki az   iránymenti deriváltját a  irány szerint az  pontban. 

A képlet szerint az iránymenti derivált

Itt ez a fura  jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is

az iránymenti deriváltra: .

A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.

A derivált-vektor tehát

Eddig jó.

Most lássuk a vektort.

A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.

Mivel azonban most  nem egységnyi hosszúságú,

ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.

Elosztjuk saját hosszával:

Az iránymenti derivált tehát:

Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…

erre éppen tudunk válaszolni.

A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.

Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor

irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.

tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.


Az implicit függvény deriválása

IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYA

Az  egy explicit függvény, deriváltja annak rendje és módja szerint

Egy függvény akkor implicit, ha y nincs kifejezve, vagyis nem y=… alakú.

Implicit függvényt kapunk, ha  a függvényt elrontjuk, mondjuk így:

sőt még gyököt is vonunk

Na ez egy implicit függvény.

Ha most az így kapott implicit függvényt deriválnunk kéne, ezt úgy tehetjük meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk és y-t egy függvénynek tekintjük*.

mellesleg az is, hiszen .

Nos a jobb oldalon álló x deriváltja egészen biztosan 1.

A bal oldal már jóval izgalmasabb. Itt egy összetett függvény áll:

És szorozni kell még a belső függvény deriváltjával is.

Nekünk ebből -re vagyis az implicit módon megadott  függvény deriváltjára van szükségünk.

Próbáljuk meg kifejezni -t

Nos íme itt van.

Mivel pedig , ha ezt beírjuk y helyére…

Ez pedig éppen megegyezik az explicit deriválttal.

Fölmerül a kérdés, hogy miért fáradoztunk ezzel ennyit, ha végül ugyanazt kaptuk, csak sokkal bonyolultabban.

Nos a válasz az, hogy vannak sajnos olyan függvények, amelyeknek nincs explicit alakjuk.

Ennek a függvénynek van explicit alakja, ezért itt az implicit deriválással fölöslegesen fáradoztunk.

De itt van például ez.

Ebben y sehogy sem fejezhető ki, ezért kénytelenek vagyunk implicit módon deriválni.

Vagyis mindkét oldalt deriváljuk, de ne felejtsük el, hogy itt y egy függvény.

Tehát például  egy összetett függvény.

Az összetett függvény deriválási szabálya szerint:

Külső függvény deriváltja,

szorozva a belső függvény deriváltjával.

Lássuk tehát az implicit deriválást.

Az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk:

Nekünk y deriváltjára van szükségünk, ezért az egyik oldalon összegyűjtjük az összes -t, a többieket átküldjük a másik oldalra:

Aztán kiemeljük -t.

   és végül leosztunk: 

Nos ez volna az implicit módon megadott függvényünk deriváltja.

Most pedig lássuk az implicit függvények deriválási szabályát.

A módszer lényege, hogy megkönnyítse életünket.

Azt mondja, hogy ha  egy implicit függvény, akkor deriváltja:

Nos eddig nincsen ebben semmi bíztató, de lássuk hogyan működik ez a gyakorlatban.

Itt volna az implicit függvény:

amit nullára kell rendezni,

és elkeresztelni F-nek.

Mielőtt végzetes tévedések áldozatául esnénk, tisztázzuk, hogy itt  nem kétváltozós függvény, hanem implicit függvény.

Az  és az  közötti különbség ugyanis óriási.

Lássuk mi is a különbség!

 tényleg kétváltozós függvény, x és y szabadon megadható, ám

 nem kétváltozós, mert próbáljuk csak meg x helyére 0-t és y helyére a 1-et beírni.

Az jön ki, hogy 2=0 ami nem igaz, vagyis itt x és y közül csak az egyik adható meg szabadon, a másik nem. Na ezért lesz ez a függvény egyváltozós.

Most, hogy mindezt tisztáztuk, lássuk mit mond a képlet.

Az implicit deriválás képlete szerint ezt a függvényt kell deriválni a szokásos parciális deriválással x és y szerint.

És íme, itt az implicit derivált.

Pontosan ugyanaz jött ki, mint korábban,

csak most így sokkal egyszerűbben.

Erre jó az implicit deriválási szabály.

A szabály több változó esetén is működik.

Ha  egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:

Ha  egy n változós implicit függvény, akkor az , mint implicit függvény deriváltja az  változó szerint:

Nézzünk erre egy példát!

Ez egy kétváltozós implicit függvény.

Ugyan három betű van benne, x, y és z, de közülük csak kettő adható meg szabadon az egyenlőség miatt.

A kétváltozós függvényekben x és y szokott lenni a változó, tehát felfoghatjuk ezt a függvényt úgy, hogy

Z=valami x és y

Deriváljuk akkor most x és y szerint:


Gazdasági feladat kétváltozós függvényekkel

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

                  , ,

                 , ,

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum


FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

Feltételes szélsőérték, Lagrange multiplikátor

Feltételes szélsőérték behelyettesítéssel

Itt jön egy újabb izgalmas feltételes szélsőérték probléma.

  unter der  

Megint jön a Lagrange-függvény:

Aztán megoldjuk az egyenletrendszert:

Most csak egy stacionárius pont van.

Itt jönnek a második deriváltak.

Hát, ez pozitív definit, úgyhogy a jelek szerint feltételes minimum van a stacionárius pontban.

Most nézzünk meg erre egy másik megoldást is.

Ehhez nem kell Lagrange, egyszerűen behelyettesítjük szépen a feltételt az eredeti függvénybe.

Innentől ez egy sima egyváltozós függvény.

Ennek kell a minimuma.

Hát, deriváljuk.

Nem kell túl nagy zsenialitás, hogy a derivált előjelét megállapítsuk.

Úgy tűnik, a függvénynek x=6/10-ben minimuma van.

Már csak az y-t kell valahonnan előkeríteni.

Nézzünk meg még egyet.

  unter der 

És íme, a stacionárius pontok:

Ez itt egy feltételes minimum.

Ez pedig egy feltételes maximum.

Nekünk most csak a minimum kell.


Kétváltozós függvények szintvonalai

Feltételes szélsőérték szintvonalakkal és a két másik módszerrel

FELADAT | Érintősík egyenlete

FELADAT | Érintősík egyenlete

FELADAT | Érintősík egyenlete

FELADAT | Érintősík egyenlete

FELADAT | Érintősík egyenlete

FELADAT | Totális derivált

FELADAT | Első- és másodrendű derivált

FELADAT | Első- és másodrendű derivált

FELADAT | Gradiens

FELADAT | Gradiens

FELADAT | Gradiens

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim