- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Paraméteres görbék
- Differenciálegyenletek
- Izoklinák
- Lineáris rekurzió
- Laplace transzformáció
- Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok
- Fourier sorok
- Mátrixok, vektorok, vektorterek
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések
- Kétváltozós függvények
- Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság
- Kettős és hármas integrál
Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság
1.
a) Itt van ez a függvény
\( f(x,y)=3x+4y\)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (2,1)}{ 3x+4y} = 10 $$
b) Itt van ez a függvény
\( f(x,y)=x^2+x+y^2+7\)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (1,2)}{ x^2+x+y^2+7} = 13 $$
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{2x+5y}{x-3y} } = ? $$
b) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{4xy}{2x^2+xy+y^2} } = ? $$
c) $$ \lim_{ (x,y) \to (1,2)}{ \frac{(x-1)^2(y-2)}{(x-1)^2+(y-2)^2} } = ? $$
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{4xy^2}{x^2+y^2} } = ? $$
b) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{12xy}{x^2+y^4} } = ? $$
c) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{12xy}{x^4+y^4} } = ? $$
d) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^6+y^6} = ? $$
e) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{x^2+y^2}{x^4+y^4} } = ? $$
f) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{x^2y}{x^2+x^2y^4} } = ? $$
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 \)
Adjuk meg az x és y szerinti parciális deriváltjait.
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= x^2+3y^2 \)
Differenciálható-e az $ R(1,2)$ pontban?
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)=x\cdot \cos{y} \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{x\cdot \cos{y}} = 0 $$
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= \frac{x^2-y^2}{x-y} \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (1,1)}{ \frac{x^2-y^2}{x-y} } = 2 $$
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= x^2+3y^2+5 \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (1,2)}{ x^2+3y^2+5 } = 18 $$
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= \frac{ x^2y}{ x^2+y^2 } \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{ x^2y}{ x^2+y^2 } } = 0 $$
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= \frac{ x^4+y^4 }{ x^2+y^2 } \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{ x^4+y^4 }{ x^2+y^2 } } = 0 $$
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= x^2+y^2 \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (3,4)}{ x^2+y^2 } = 25 $$
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= 4x^2+y^2 \)
Differenciálható-e az $ R(1,2)$ pontban?
Megnézem, hogyan kell megoldani
14. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= x^2y \)
Differenciálható-e az $ R(2,3)$ pontban?
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= xy^2 \)
Differenciálható-e az $ R(1,0)$ pontban?
Megnézem, hogyan kell megoldani
16. Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= xy^2 \)
Differenciálható-e az $ R(2,1)$ pontban?
Kétváltozós függvények határértéke
Az $f(x,y)$ függvény határértéke az $R(x_0, y_0)$ pontban $B$, ha minden $\epsilon > 0$-ra van $\delta > 0$ úgy, hogy ha $(x,y)$ eleme az $R(x_0, y_0)$ pont $\delta$ sugarú környezetének, vagyis ha
\( 0 < \sqrt{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 } < \delta \)
akkor
\( \mid f(x,y) - B \mid < \epsilon \)
Parciális derivált
Az $f(x,y)$ kétváltozós függvény $x$ szerinti parciális deriváltja:
\( \lim_{(x, y_0) \to (x_0, y_0)}{ \frac{ f(x,y_0) - f(x_0, y_0) }{ x-x_0 }}=f'_x(x_0,y_0)=\frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta x} \)
Az $f(x,y)$ kétváltozós függvény $y$ szerinti parciális deriváltja:
\( f'_y(x_0,y_0)=\frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta y} \)
Totális differenciálhatóság
Az $f(x,y)$ kétváltozós függvény totálisan differenciálható az $(x_0, y_0)$ helyen, ha léteznek olyan $A$ és $B$ valós számok, hogy
\( \lim_{ (x,y) \rightarrow (x_0, y_0) } \frac{ f(x,y) - \left( A(x-x_0) + B(y-y_0)+f(x_0, y_0) \right) }{ \sqrt{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} }= 0 \)
Végezzük el az alábbi feladatokat.
a) Itt van ez a függvény
\( f(x,y)=3x+4y\)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (2,1)}{ 3x+4y} = 10 $$
b) Itt van ez a függvény
\( f(x,y)=x^2+x+y^2+7\)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (1,2)}{ x^2+x+y^2+7} = 13 $$
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{2x+5y}{x-3y} } = ? $$
b) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{4xy}{2x^2+xy+y^2} } = ? $$
c) $$ \lim_{ (x,y) \to (1,2)}{ \frac{(x-1)^2(y-2)}{(x-1)^2+(y-2)^2} } = ? $$
Számítsuk ki az alábbi határértékeket.
a) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{4xy^2}{x^2+y^2} } = ? $$
b) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{12xy}{x^2+y^4} } = ? $$
c) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{12xy}{x^4+y^4} } = ? $$
d) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^6+y^6} = ? $$
e) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{x^2+y^2}{x^4+y^4} } = ? $$
f) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{x^2y}{x^2+x^2y^4} } = ? $$
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 \)
Adjuk meg az x és y szerinti parciális deriváltjait.
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= x^2+3y^2 \)
Differenciálható-e az $ R(1,2)$ pontban?
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)=x\cdot \cos{y} \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{x\cdot \cos{y}} = 0 $$
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= \frac{x^2-y^2}{x-y} \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (1,1)}{ \frac{x^2-y^2}{x-y} } = 2 $$
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= x^2+3y^2+5 \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (1,2)}{ x^2+3y^2+5 } = 18 $$
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= \frac{ x^2y}{ x^2+y^2 } \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{ x^2y}{ x^2+y^2 } } = 0 $$
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= \frac{ x^4+y^4 }{ x^2+y^2 } \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{ x^4+y^4 }{ x^2+y^2 } } = 0 $$
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= x^2+y^2 \)
és igazoljuk, hogy
$$ \lim_{ (x,y) \to (3,4)}{ x^2+y^2 } = 25 $$
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= 4x^2+y^2 \)
Differenciálható-e az $ R(1,2)$ pontban?
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= x^2y \)
Differenciálható-e az $ R(2,3)$ pontban?
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= xy^2 \)
Differenciálható-e az $ R(1,0)$ pontban?
Itt van ez a függvény
\( f(x,y)= xy^2 \)
Differenciálható-e az $ R(2,1)$ pontban?
Kétváltozós függvények határértékének kiszámolása, Az epszilon-deltás definíció kétváltozós függvények határértékénél, Becslések, Háromszög-egyenlőtlenség, Kétváltozós függvények határértéke feladatok megoldással. A határérték vizsgálata y=mx egyenletű egyenesek mentén, A határérték létezésének szükséges feltétele, Tipikus ZH feladatok kétváltozós határértékre. Kétváltozós függvények differenciálhatóságának definíciója, Az érintősík, mint legjobb lineáris közelítés, Totális differenciálhatóság, Parciális differenciálhatóság, A totális differenciálhatóság és a parciális differenciálhatóság kapcsolata, Parciális deriváltak kiszámolása, Első és másodrendű parciális deriváltak. A totális differenciálhatóság igazolása, Az epszilon-deltás definíció kétváltozós függvények totális deriváltjánál, Becslések, Háromszög-egyenlőtlenség.
