Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság

1.

a) Itt van ez a függvény

\( f(x,y)=3x+4y\)

és igazoljuk, hogy 

$$ \lim_{ (x,y) \to (2,1)}{ 3x+4y} = 10 $$

b) Itt van ez a függvény

\( f(x,y)=x^2+x+y^2+7\)

és igazoljuk, hogy 

$$ \lim_{ (x,y) \to (1,2)}{ x^2+x+y^2+7} = 13 $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{2x+5y}{x-3y} } = ? $$

b) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{4xy}{2x^2+xy+y^2} } = ? $$

c) $$ \lim_{ (x,y) \to (1,2)}{ \frac{(x-1)^2(y-2)}{(x-1)^2+(y-2)^2} } = ? $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Számítsuk ki az alábbi határértékeket.

a) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{4xy^2}{x^2+y^2} } = ? $$

b) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{12xy}{x^2+y^4} } = ? $$

c) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{12xy}{x^4+y^4} } = ? $$

d) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{x^6+y^6} = ? $$

e) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{x^2+y^2}{x^4+y^4} } = ? $$

f) $$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{ \frac{x^2y}{x^2+x^2y^4} } = ? $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 \)

Adjuk meg az x és y szerinti parciális deriváltjait.

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= x^2+3y^2 \)

Differenciálható-e az $ R(1,2)$ pontban?

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)=x\cdot \cos{y} \)

és igazoljuk, hogy 

$$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{x\cdot \cos{y}} = 0 $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= \frac{x^2-y^2}{x-y} \)

és igazoljuk, hogy 

$$ \lim_{ (x,y) \to (1,1)}{ \frac{x^2-y^2}{x-y} } = 2 $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= x^2+3y^2+5 \)

és igazoljuk, hogy 

$$ \lim_{ (x,y) \to (1,2)}{  x^2+3y^2+5 } = 18 $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= \frac{ x^2y}{ x^2+y^2 } \)

és igazoljuk, hogy 

$$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{  \frac{ x^2y}{ x^2+y^2 } } = 0 $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= \frac{ x^4+y^4 }{ x^2+y^2 } \)

és igazoljuk, hogy 

$$ \lim_{ (x,y) \to (0,0)}{  \frac{ x^4+y^4 }{ x^2+y^2 } } = 0 $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= x^2+y^2 \)

és igazoljuk, hogy 

$$ \lim_{ (x,y) \to (3,4)}{  x^2+y^2 } = 25 $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= 4x^2+y^2 \)

Differenciálható-e az $ R(1,2)$ pontban?

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= x^2y \)

Differenciálható-e az $ R(2,3)$ pontban?

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= xy^2 \)

Differenciálható-e az $ R(1,0)$ pontban?

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Itt van ez a függvény

\( f(x,y)= xy^2 \)

Differenciálható-e az $ R(2,1)$ pontban?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Kétváltozós függvények határértékének kiszámolása, Az epszilon-deltás definíció kétváltozós függvények határértékénél, Becslések, Háromszög-egyenlőtlenség, Kétváltozós függvények határértéke feladatok megoldással. A határérték vizsgálata y=mx egyenletű egyenesek mentén, A határérték létezésének szükséges feltétele, Tipikus ZH feladatok kétváltozós határértékre. Kétváltozós függvények differenciálhatóságának definíciója, Az érintősík, mint legjobb lineáris közelítés, Totális differenciálhatóság, Parciális differenciálhatóság, A totális differenciálhatóság és a parciális differenciálhatóság kapcsolata, Parciális deriváltak kiszámolása, Első és másodrendű parciális deriváltak. A totális differenciálhatóság igazolása, Az epszilon-deltás definíció kétváltozós függvények totális deriváltjánál, Becslések, Háromszög-egyenlőtlenség.



Kétváltozós függvények határértéke

A totális és a parciális differenciálhatóság

A totális differenciálhatóság vizsgálata

Kétváltozós függvények határértéke - azért van remény...

FELADAT | Kétváltozós határérték epszilon-deltás kiszámolása

FELADAT | Kétváltozós határérték epszilon-deltás kiszámolása

FELADAT | Kétváltozós határérték epszilon-deltás kiszámolása

FELADAT | Kétváltozós határérték epszilon-deltás kiszámolása

FELADAT | Kétváltozós határérték epszilon-deltás kiszámolása

FELADAT | Kétváltozós határérték epszilon-deltás kiszámolása

FELADAT | Totális deriválhatóság

FELADAT | Totális deriválhatóság

FELADAT | Totális deriválhatóság

FELADAT | Totális deriválhatóság

Újabb kétváltozós határértékek