Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Analízis 2

Kategóriák
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás
  • Paraméteres görbék
  • Differenciálegyenletek
  • Izoklinák
  • Lineáris rekurzió
  • Laplace transzformáció
  • Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok
  • Fourier sorok
  • Mátrixok, vektorok, vektorterek
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
  • Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések
  • Kétváltozós függvények
  • Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság
  • Kettős és hármas integrál

Laplace transzformáció

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
Laplace transzformáltak teszt
01
 
A Laplace transzformált
02
 
Diffegyenletek megoldása Laplace transzformációval teszt
02
 
Inverz Laplace transzformált
03
 
Diffegyenletek megoldása Laplace transzformációval és az inverz Laplace transzformáció
04
 
Elsőrendű diffegyenletek megoldása Laplace transzformációval
05
 
Másodrendű diffegyenletek megoldása Laplace transzformációval
06
 
Még egy másodrendű egyenlet megoldása Laplace transzformációval
07
 
Differenciálegyenlet-rendszerek megoldása Laplace transzformációval
08
 
Inhomogén differenciálegyenlet-rendszerek megoldása / Laplace
09
 
FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval
10
 
FELADAT | Differenciálegyenlet-rendszer Laplace transzformációval
11
 
FELADAT | Differenciálegyenlet-rendszer Laplace transzformációval
12
 
FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval
13
 
FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval
14
 
FELADAT | Differenciálegyenlet-rendszer Laplace transzformációval
15
 
FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval
16
 
FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval
17
 
FELADAT | Differenciálegyenlet-rendszer Laplace transzformációval
18
 
FELADAT | Inverz Laplace-transzformáció
19
 
FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval
20
 
FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval
21
 
FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval

Laplace transzformált

Az $f(x)$ függvény Laplace transzformáltja a következő integrálás:

\( f(x) \rightarrow F(s) = \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-sx} \; dx \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Laplace transzformáltak

Néhány függvény Laplace transzformáltja:

\( f(x)=C \rightarrow F(s)=\frac{C}{s} \)

\( f(x)=x^n \rightarrow F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} \)

\( f(x)=e^{ax} \rightarrow F(s)=\frac{1}{s-a} \)

\( f(x)=\sin{(ax)} \rightarrow F(s)=\frac{a}{s^2+a^2} \)

\( f(x)=\cos{(ax)} \rightarrow F(s)=\frac{s}{s^2+a^2} \)

\( f(x)=x^n e^{ax} \rightarrow F(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \)

\( f(x)=e^{ax} \sin{ (bx)} \rightarrow F(s)=\frac{b}{(s-a)^2+b^2} \)

\( f(x)=e^{ax} \cos{ (bx) } \rightarrow F(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \)

\( f(x)=x \sin{(ax)} \rightarrow F(s)=\frac{2as}{\left(s^2+a^2\right)^2} \)

\( f(x)=x \cos{(ax)} \rightarrow F(s)=\frac{s^2-a^2}{\left(s^2+a^2\right)^2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Inverz Laplace transzformáltak

Néhány függvény inverz Laplace transzformáltja:

\( F(s)=\frac{C}{s} \rightarrow f(x)=C\)

\( F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} \rightarrow f(x)=x^n \)

\( F(s)=\frac{1}{s-a} \rightarrow f(x)=e^{ax} \)

\( F(s)=\frac{a}{s^2+a^2} \rightarrow f(x)=\sin{(ax)} \)

\( F(s)=\frac{s}{s^2+a^2} \rightarrow f(x)=\cos{(ax)} \)

\( F(s)=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \rightarrow f(x)=x^n e^{ax} \)

\( F(s)=\frac{b}{(s-a)^2+b^2} \rightarrow f(x)=e^{ax} \sin{ (bx)} \)

\( F(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} \rightarrow f(x)=e^{ax} \cos{ (bx) } \)

\( F(s)=\frac{2as}{\left(s^2+a^2\right)^2} \rightarrow f(x)=x \sin{(ax)} \)

\( F(s)=\frac{s^2-a^2}{\left(s^2+a^2\right)^2} \rightarrow f(x)=x \cos{(ax)} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Mi a Laplace transzformáltja az alábbi függvényeknek?

a) \( f(x)=4\sin{(3x)}+e^{5x}-7x^4 \)

b) \( g(x)=\sin{(3x)}e^{5x} \)

c) \( f(x)=\frac{ \sin^2{x}}{e^{3x}} \)

d) \( g(x)=2x \cos{x} \left( \sin{x} + 5 \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Adottak az alábbi Laplace transzformáltak, mik lehettek az eredeti függvények?

a) \( F(s)= \frac{s}{s^2+16} \)

b) \( F(s)=\frac{1}{ (s-7)^4 } \)

c) \( F(s)=\frac{7s}{s^2-6s+13} \)

d) \( G(s)=\frac{7s}{s^2-6s+8} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y'+2y=5e^{3x}+4 \quad y(0)=3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y'+y=12\cos{(3x)}e^{2x} \quad y(0)=4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y''-7y'+12y=2e^{2x} \quad y(0)=3 \quad y'(0)=9 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y''-4y'+5y=2e^{3x} \quad y(0)=2 \quad y'(0)=6 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.

\( x'=x+4y \quad x(0)=2 \)

\( y'=2x-y \quad y(0)=-2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.

\( x'=2y+3x \quad x(0)=1 \)

\( y'=-2x+3y+4e^t \quad y(0)=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y''-7y'+12y=2\sin{2x} \quad y(0)=0 \quad y'(0)=1 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.

\( x'=5x-y \quad x(0)=-1 \)

\( y'=3x+y \quad y(0)=2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.

\( x'=-8y \quad x(0)=1 \)

\( y'=2x \quad \;\; y(0)=-2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y''-2y'+y=x \quad y(0)=0 \quad y'(0)=-1 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y''+2y'+2y=0 \quad y(0)=0 \quad y'(0)=1 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.

\( x'=-3x+4y \quad x(0)=1 \)

\( y'=-x+y \quad \;\; y(0)=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y''+2y'+5y=0 \quad y(0)=1 \quad y'(0)=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y''=-y \quad y(0)=1 \quad y'(0)=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenlet-rendszert a Laplace transzformáció segítségével.

\( x'=-8y \quad x(0)=1 \)

\( y'=2x \quad \;\; y(0)=-2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Végezzük el az inverz Laplace-transzformációt.

\( F(s)=\frac{3s+2}{s^2-2s} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a nagyszerű Laplace transzformáció segítségével.

\( y''+y'-2y=30\cos{x} \qquad y(0)=0 \quad y'(0)=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y' -y = 5 \sin{2x} \qquad y(0)=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet a Laplace transzformáció segítségével.

\( y' -5y = e^{5x}-5x+6 \qquad y(0)=1 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

A Laplace-transzformáció egy olyan függvénytranszformáció, aminek révén egyes függvényekkel kapcsolatos problémákra kaphatunk egyszerűen választ. A Laplace transzformáció, Laplace transzformáltak kiszámolása, Függvények Laplace transzformáltjai, Mire jó a Laplace transzformáció? Szuper-érthetően elmeséljük, hogy mi az inverz Laplace transzformált. Megnézzük néhány függvény inverz Laplace transzformáltját. Az inverz Laplace transzformált kiszámítása, Inverz Laplace transzformált táblázat, Parciális törtekre bontás. Itt azt is megtudhatod, hogyan lehet differenciálegyenleteket megoldani az inverz Laplace transzformáció segítségével. A Laplace transzformáció, Diffegyenletek megoldása Laplace transzformációval, Parciális törtekre bontás, Inverz Laplace transzformáció. Végezetül pedig, ássuk, hogyan kell megoldani differenciálegyenlet-rendszereket. Egy szuper-könnyű módszert fogunk nézni, ami a Laplace transzformáció segítségével hihetetlenül megkönnyíti a differenviálegyenlet-rendszerek megoldását.



A Laplace transzformált

Diffegyenletek megoldása Laplace transzformációval és az inverz Laplace transzformáció

Elsőrendű diffegyenletek megoldása Laplace transzformációval

Másodrendű diffegyenletek megoldása Laplace transzformációval

Még egy másodrendű egyenlet megoldása Laplace transzformációval

Inverz Laplace transzformált

A Laplace transzformációnál csak egy rosszabb dolog létezik…

az inverz Laplace transzformáció.

Van nekünk itt egy Laplace transzformáltunk,

és ebből kéne valahogyan kideríteni azt, hogy mi volt az eredeti függvény.

Nos ez.

Itt jön egy nehezebb.

Még talán erre hasonlít a legjobban…

Kéne viszont az n! a számlálóba.

De az igazi rémtörténetek csak most jönnek.

Lássuk, mi történik ezzel:

Nos, ez attól függ, hogy a nevezőt szorzattá lehet-e alakítani.

Most úgy tűnik nem, ugyanis negatív van a gyök alatt.

Ilyenkor egy másik nagyon remek dolgot csinálunk: teljes négyzetté egészítünk ki.

Most nézzük mi van a másikkal:

És most elkezdünk nézelődni, hátha megtaláljuk ezeket valahol a Laplace transzformáltak között.

Nos, lássuk csak…

Ez majdnem jó.

De csak majdnem, a számlálóban ugyanis van még nekünk egy .

Ez a másik viszont jó lesz…

egy kis rásegítéssel.

Azokban az esetekben, amikor a nevező szorzattá alakítható egy másik nagyon izgalmas tevékenységbe vágunk bele…

amit parciális törtekre bontásnak hívnak.

Most pedig tényleg jó lenne végre megtudni, hogy mire használhatnánk ezt az egészet.

Nos, ezzel fogjuk folytatni…

És most lássuk, mire jó a Laplace transzformáció.

A Laplace transzformált segítségével megszüntethető a globális felmelegedés.

Ja, mégse...

viszont meg tudunk oldani vele differenciálegyenleteket.

Itt egy egyenlet, és most megoldjuk a Laplace transzformálás segítségével.

Vesszük mindkét oldal Laplace transzformáltját.

Az y Laplace transzformáltja legyen Y.

A kérdés, hogy mi lesz  Laplace transzformáltja.

Nos ez:

Ha most valahogyan vissza tudnánk Laplace transzformálni Y-t, akkor meg is lenne a megoldás.

Ehhez inverz Laplace transzformációra lesz szükségünk, amit parciális törtekre bontás segítségével fogunk csinálni.

Kétféle típusú parciális tört van:

Most mindegyik tényező elsőfokú, így mindegyik parciális tört az első típusú.


Differenciálegyenlet-rendszerek megoldása Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet-rendszer Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet-rendszer Laplace transzformációval

Inhomogén differenciálegyenlet-rendszerek megoldása / Laplace

FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet-rendszer Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet-rendszer Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval

FELADAT | Inverz Laplace-transzformáció

FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval

FELADAT | Differenciálegyenlet Laplace transzformációval

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim