Paraméteres görbék

1. Adjuk meg az Arkhimédészi spirál paraméteres görbe képletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Adjuk meg a ciklois paraméteres görbe képletét.

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.

\( x=\cos^3{t} \quad y=\sin^3{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Vannak itt ezek a paraméteres görbék. Ábrázoljuk őket koordinátarendszerben és találjuk ki, hogy így melyik függvény grafikonját kaptuk.

a)

\( x(t)=t+3 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=\sqrt{t} \)

b)

\( x(t)=e^t+1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=e^{2t}-2 \)

c)

\( x(t)=3+\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)

\( y(t)=2+\sin{t} \)

d)

\( x(t)=3\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)

\( y(t)=2\sin{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék görbületét.

a)

\( x(t)= 6 \cdot \cos{t} \)

 \( y(t)=2 \cdot \sin{t} \)

b)

\( x(t)= 4 \cdot \cos{t} \)

 \( y(t)=3 \cdot \sin{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6.

a) Adjuk meg az \( y=x^2 \) parabola simulókörét az origóban.

b) Adjuk meg a koszinusz függvény simulókörét az origóban.

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Adjuk meg az alábbi görbe kísérő triéderét.

\( r(t)=(2\cos{t},2 \sin{t}, t) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Adjuk meg az alábbi görbe görbületét és torzióját.

\( r(t)=(2\cos{t},2 \sin{t}, t) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi görbe síkgörbe, adjuk meg a görbe síkjának normálvektorát és számoljuk ki a görbületet.

\( r(t)=(\sin{t}, \cos{t}, \sin{t}) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék Descartes-koordinátás egyenleteit, és ábrázoljuk is őket.

a)

\( x(t)=t-2 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=\sqrt{t}+1 \)

b)

\( x(t)=t-1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=t^2-2 \)

c)

\( x(t)=t+1 \qquad t \in [0,+ \infty) \)

\( y(t)=t^3-1 \)

d)

\( x(t)=1+\cos{t} \qquad t \in [0, 2\pi) \)

\( y(t)=1+\sin{t} \)

e)

\( x(t)=3+\cos{t} \qquad t \in [0, 2\pi) \)

\( y(t)=2+\sin{t} \)

f)

\( x(t)=-2+\cos{t} \qquad t \in [0, \pi) \)

\( y(t)=1+\sin{t} \)

g)

\( x(t)=3+2\cos{t} \qquad t \in [0,2\pi) \)

\( y(t)=1+2\sin{t} \)

h)

\( x(t)=2+3\cos{t} \qquad t \in [0,\pi) \)

\( y(t)=1+2\sin{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Adjuk meg az alábbi ellipszisek paraméteres egyenleteit, majd ábrázoljuk is őket.

a) \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \)

b) \( \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Adjuk meg az alábbi paraméteres görbék Descartes-koordinátás egyenleteit, és ábrázoljuk is őket.

a)

\( x(t)=\cosh{t} \qquad t \in R \)

\( y(t)=\sinh{t} \)

b)

\( x(t)=3\cosh{t} \qquad t \in R \)

\( y(t)=2\sinh{t} \)

c)

\( x(t)=-2\cosh{t} \qquad t \in R \)

\( y(t)=2\sinh{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.

\( x=R(t-\sin{t}) \quad y=R(1-\cos{t}) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,\pi]$ intervallumon.

\( x=\cos^3{t} \quad y=\sin^3{t} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Adjuk meg a sebességvektort és számoljuk ki az alábbi görbe ívhosszát a $[0,3]$ intervallumon.

\( x=t^3 \quad y=6t^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Mik azok a paraméteres görbék? Hogyan néznek ki és mire jók tulajdonképpen? Már mutatjuk is. Itt mindent megtudhatsz a paraméteres görbékről egyszerű példákon keresztül szuper-érthetően. Megnézzük mi az Arkhimédészi spirál, milyen a kör paraméterezése és az is kiderül mire jó ez az egész valójában. Itt gyorsan és szuper-érthetően megtudhatsz mindent a paraméteres görbékről egyszerű példákon keresztül. Megnézzük mi az a ciklois, milyen a kör paraméterezése és az is kiderül mire jó ez az egész valójában. Paraméteres görbék egyenlete, a görbét bejáró pont sebességvektora és a paraméteres görbe ívhossza egyszerű példákon keresztül.



Mik azok a paraméteres görbék?

Újabb paraméteres görbék: a ciklois

Paraméteres görbék deriváltja, a sebességvektor és a görbe ívhossza

FELADAT | Paraméteres görbe sebességvektora és ívhossza

FELADAT | A ciklois sebességvektora és ívhossza

FELADAT | Az asztrois sebességvektora és ívhossza

Paraméteres görbék a koordinátarendszerben, ellipszis, hiperbola

Torzió, görbület, simulósík

FELADAT | Paraméteres görbék

FELADAT | Paraméteres görbék

FELADAT | Paraméteres görbék

A görbület

Simulókör, paraméteres görbék evolutája

Főnormálisvektor, simulósík, kísérő triéder

A torzió