Határozott integrálás

1. 

a) \( \int_0^1 x^2 \; dx = \; ? \)

b) Számoljuk ki, hogy mekkora a területe annak a tartománynak, ami az $f(x)=x^2-4x $ függvény és az x tengely között van a $[0,6]$ intervallumon.

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2$ és $g(x)=-x^2+4x+16$ függvények között van.

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Számoljuk ki a területet, ami az $f(x)=x^2-6x+10$ és $g(x)=2x+10$ függvények között van.

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Számoljuk ki az $f(x)=-x^2+3x+4$ függvény $x=3$-nál húzható érintője által határolt területet.

Megnézem, hogyan kell megoldani


5.

a) \( \int_1^\infty \frac{5}{x^4} \; dx = \; ? \)

b) \( \int_{-\infty}^1 e^{2x-2} \; dx = \; ? \)

c) \( \int_{-\infty}^\infty \frac{4x^3}{ \left( x^4+1 \right)^4} \; dx = \; ? \)

d) \( \int_0^1 \frac{1}{ \sqrt{x} } \; dx = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Az $f(x)=x^3$ függvényt megforgatjuk az x tengely körül. Számoljuk ki az így keletkező forgástest térfogatát és felszínét 0-tól 1-ig.

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Az $f(x)=x^3$ függvényt megforgatjuk az y tengely körül. Számoljuk ki az így keletkező forgástest térfogatát és felszínét 0-tól 3-ig.

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Az $f$ integrálható függvény a $[0,a]$ intervallumon, és primitív függvénye $F$. Számítsuk ki ezt az integrált:

\( I=\int_0^a f(x) \; dx \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Határozzuk meg a $p>0$ paraméter értékét úgy, hogy $ \int_0^p (3x^2-24x+20) \; dx =  0$ teljesüljön!

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.

\( f(x)=2\sqrt{x} \quad g(x)=\frac{x^2}{4} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.

\( f(x)=(x-1)^2 \quad g(x)=2-(x-1)^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Számoljuk ki az $f$ és $g$ függvények grafikonjai közötti területet.

\( f(x)=-x^2+18 \quad g(x)=x^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Határozzuk meg azon síkidom területének mérőszámát, amit az $f(x)=\sqrt{x+5}$ függény grafikonja, az $x=-1$ pontban húzott érintő és az $x$ tengely határol!

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Határozzuk meg azon síkidom területének mérőszámát, amit az $f(x)=-x^2-6x-5$ függény grafikonja az $x$ tengellyel bezár.

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Határozzuk meg azon síkidom területének mérőszámát, amelyet az $f(x)=\ln{x}$ függvény grafikonja, az $x_0=e$ abszcisszájú pontjában húzott érintő és az $x$ tengely határol!

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Határozzuk meg annak a síkidomnak a területét, amelyet az $f(x)=x^2-7x+14$ függvény grafikonja, a függvény grafikonjához az $x_0=4$ abszcisszájú pontjában húzott érintő és az $y$ tengely határol!

Megnézem, hogyan kell megoldani


17. Mekkora az a terület, amit az $f$ függvény és a koordinátatengelyek határolnak?

\( f(x)=\frac{x}{e^{x^2}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


18. Határozzuk meg annak a síkidomnak a területét, amelyet az $f(x)=\sqrt{x+2}$ és $g(x)=\sqrt{3x-12}$ függvények grafikonjai és az $x$ tengely határol.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

A határozott integrálás a függvények görbe alatti területének kiszámolására használható. Mutatjuk is, hogyan: Függvények görbe alatti területe, A határozott integrálás, A határozott integrálás fogalma, Határozott integrálás feladatok megoldással, Határozott integrál területszámítás, Newton-Leibniz formula, Primitív függvény, A primitív függvény megváltozása, Két függvény közötti terület kiszámolása. Megnézzük, mi is a Riemann-integrál precíz definíciója, melyek azok a függvények amelyek Riemann-integrálhatóak és melyek nem. Kiderül mi az alső és felső integrál közelítőöszeg, bebizonyítjuk a Newton-Leibniz formulát, végül megnézzük mi az integrálfüggvény és mi a kapcsolat az integrálfüggvény és a primitívfüggvény között. Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen határértékek. Végül azt is gyorsan és szuper-érthetően elmeséljük, hogyan kell kiszámolni a forgástestek térfogatát és felszínét. Megnézzük, mi van olyankor, amikor az x tengely körül forgatunk és azt is, hogy mi történik, amikor az y tengely körül.



A görbe alatti terület és két függvény görbéi közti terület

A határozott integrálás függvények görbe alatti területének kiszámolásával foglalkozik.

Van itt egy függvény, aminek a-tól b-ig a görbe alatti területe.

Mindez persze akkor, ha f(x) integrálható az [a,b] intervallumon és létezik primitív függvénye ezen az intervallumon.

Ez a bizonyos primitív függvény a F(x), másnéven a határozatlan integrál.

Ha ilyen primitív függvény nem létezik, nos akkor a görbe alatti terület kiszámolása rémálommá változik.

A rémálmokkal egy külön képsor foglalkozik majd.

Most inkább próbáljuk ki, hogyan működik ez a tétel és nézzük meg, mekkora mondjuk az x2 görbe alatti területe 0 és 1 között.

Szóval Newton és Leibniz szerint ez a terület:

Itt jön a primitív függvény:

És ebbe kell behelyettesíteni először az 1-et, aztán pedig a 0-t.

Most nézzük meg hogyan tehetnénk mindezt izgalmasabbá.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

A terv a következő:

Először kiszámoljuk a piros függvény görbe alatti területét a és b között,

aztán a sárga függvény területét is,

végül a kettőt egymásból kivonjuk.

Ugyanakkor azt sem ártana tudnunk, mennyi lehet a és b.

Nos ez az a és b azt tudja, hogy ilyenkor a két függvény egyenlő.

Ezt az egyenletet kell tehát megoldanunk.

Az ilyen típusú tartományokat, mint aminek a területét most éppen kiszámoltuk normáltartománynak nevezzük.

A normáltartományokat alulról is és felülről is egy függvény határolja,

oldalai pedig x=a és x=b.

Megeshet, hogy az egyik oldalon a két függvény találkozik,

sőt, lehet, hogy mindkét oldalon.

Az ilyen normáltartományok területe:

vagy ha éppen a g függvény van felül, mint például itt a rajzunkon,

akkor fordítva.

Ennek a módszernek a haszna, hogy csak egyszer kell integrálni. Nézzük is meg.

Számoljuk ki például ezt a területet, ami az f és g függvények között van.

Először kiszámoljuk a metszéspontokat,

aztán jöhet az integrálás.


Egy függvény és az érintője által határolt terület

Van itt egy függvény,

amihez érintőt húzunk az x=3-nál.

Így keletkezik két tartomány.

Az egyiket a függvény, az érintő és az y tengely határolja,

a másikat a függvény, az érintő és az x tengely.

Számoljuk ki ezeknek a tartományoknak a területét.

Nos alighanem szükségünk lesz az érintő egyenletére.

Szerencsére éppen itt jön:

Most pedig térjünk a tárgyra.

A két terület közül sokkal könnyebb azt kiszámolnunk, ahol az y tengely határol.

Ez ugyanis egy normáltartomány, és így elég a két függvény különbségét integrálni:

A másik terület kiszámolása jóval kellemetlenebb lesz.

Előszöris szükségünk van ezekre a metszéspontokra.

Most pedig lássuk a területeket.

A keresett terület:


Az improprius integrál

Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.

Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.

Végtelenig fogunk integrálni.

Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:

Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,

és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.

Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.

A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:

De könnyebb őket így megjegyezni.

Itt jön egy másik:

Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:

Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.

Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.

Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.

Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.

Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.

Nos íme:

De a megoldás menete ugyanaz.

Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az

függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk

és 1-től végtelenig is.

Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.

Nos az  esettel majd külön foglalkozunk.

Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.

Először az 1-et helyettesítjük be,

aztán lássuk mi történik, ha .

Tehát ha a kitevő pozitív szám,

akkor itt nulla jön ki.

Ha a kitevő negatív…

nos akkor a határérték végtelen.

Ha  éppen 1:

Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.

Ha  akkor a kitevő pozitív,

és ilyenkor az integrál divergens.

Ha pedig  éppen 1:

Mindezt összefoglalva, ha  akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.

Ha  akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.

Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.


Egy fontos függvénytípus improprius integrálja

Integrálás végtelenig, Az improprius integrál, Konvergens és divergens integrálok, Integrálás végtelentől végtelenig, Véges és végtelen atárértékek.

Most pedig egy nagyon vicces dolgot fogunk csinálni.

Végtelenig fogunk integrálni.

Számoljuk ki például, hogy vajon mekkora lehet ez a terület:

Úgy fogunk -ig integrálni, hogy először integrálunk -ig,

és aztán azt mondjuk, hogy na akkor te most menj -be.

Nos lássuk csak mennyi lehet vajon ez a határérték.

A kiszámolásához jól jöhetnek ezek:

De könnyebb őket így megjegyezni.

Itt jön egy másik:

Nos az is előfordulhat, hogy mindkét határ végtelen:

Ilyenkor kettéosztjuk az integrálást, mondjuk nullánál.

Igazából ez a terület 1/3+1/3 vagyis 2/3 de úgy működik a határozott integrálás, hogy az x tengely alatti területek negatív előjellel jönnek ki.

Nos ezért kaptuk azt, hogy nulla.

Ezeket a végtelenbe elnyúló integrálásokat improprius integrálnak nevezzük.

Amiket eddig láttunk, azok az x tengely irányában nyúltak el a végtelenbe, de olyan is van, ami az y tengely mentén.

Nos íme:

De a megoldás menete ugyanaz.

Ha integráljuk a pozitív számegyenesen az

függvényt, akkor 0-tól 1-ig is improprius integrált kapunk

és 1-től végtelenig is.

Nézzük meg először, hogy mi a helyzet akkor, ha 0-tól 1-ig integrálunk.

Nos az  esettel majd külön foglalkozunk.

Most lássuk mennyi lesz ez a határérték.

Először az 1-et helyettesítjük be,

aztán lássuk mi történik, ha .

Tehát ha a kitevő pozitív szám,

akkor itt nulla jön ki.

Ha a kitevő negatív…

nos akkor a határérték végtelen.

Ha  éppen 1:

Most lássuk, mi van 1 és végtelen között.

Ha  akkor a kitevő pozitív,

és ilyenkor az integrál divergens.

Ha pedig  éppen 1:

Mindezt összefoglalva, ha  akkor 0 és 1 között az integrál divergens, 1-től végtelenig konvergens.

Ha  akkor 0 és 1 között konvergens és 1-től végtelenig divergens.

Ha pedig , nos akkor mindenhol divergens.


Riemann-integrálhatóság, integrálfüggvény

Két függvény grafikonja közötti tartomány területe

Forgástest térfogata és felszíne

FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Paraméteres integrálás

FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Határozott integrálás

FELADAT | Határozott integrálás